推荐-高中数学人教A版必修5课件3.1.2不等式的性质

典例透析
IANLITOUXI
(7)正值不等式可乘方
文字语言
符号语言 作用
当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时乘方所 得的不等式与原不等式同向. a>b>0⇒an>bn(n∈N,且 n≥1) 不等式两边的乘方变形
归纳总结性质(7)可看作性质(6)的推广:当n是正奇数时,由a>b可 得an>bn.
【做一做2-7】 已知m>n>0,则下列不等式不成立的是 ( ). A.m2>n2 B.m3>n3 C.m4>n4 D.m-2>n-2 答案:D
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典例透析
IANLITOUXI
【做一做2-6】 已知a>b>0,则有( ).
A.3a<2b B.3a=2b
C.3a>2b 答案:C
D.3a与2b大小不确定
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归纳总结1.证明:∵a>b>0,c>0,∴ac>bc. ∵c>d>0,b>0,∴bc>bd.∴ac>bd. 2.这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式 两边分别相乘,这就是说,两个或更多个两边都是正数的同向不等 式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向. 3.a>b>0,c<d<0⇒ac<bd; a<b<0,c<d<0⇒ac>bd. 4.该性质不能逆推,如ac>bd a>b,c>d.
a≥b,c>0⇒ac≥bc a≥b,c<0⇒ac≤bc a<b,c>0⇒ac<bc a<b,c<0⇒ac>bc a≤b,c>0⇒ac≤bc a≤b,c<0⇒ac≥bc
不等式的同解变形
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典例透析
IANLITOUXI
归纳总结1.证明:ac-bc=(a-b)c. ∵a>b,∴a-b>0. 根据同号相乘得正,异号相乘得负,得当c>0时,(a-b)c>0,即ac>bc; 当c<0时,(a-b)c<0,即ac<bc. 2.该性质不能逆推,如ac>bc a>b. 3.ac>bc⇒a>b,c>0或a<b,c<0. 4.不等式两边仅能同乘(或除以)一个符号确定的非零实数. 【做一做2-5】 已知a>b,则( ).
第2课时 不等式的性质
-1-
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典例透析
IANLITOUXI
1.掌握不等式的性质及各自成立的条件. 2.能利用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式.
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∵x<1,∴x-1<0.
又3x2+1>0,∴(3x2+1)(x-1)<0.
∴3x3<3x2-x+1.
(2)∵5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)
=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1
=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,
∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2,
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典例透析
IANLITOUXI
归纳总结1.证明:
������ ������
> >
������⇒������ ������⇒������
+ +
������ ������
> >
������ ������
+ +
������ ������
题型 三
题型 四
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典例透析
IANLITOUXI
反思比较两个代数式大小的步骤: (1)作差:对要比较大小的两个数(或式子)作差; (2)变形:对差进行变形,变形的常见结果:常数、常数与完全平方 数的和、因式的积或商等; (3)判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号; (4)作出结论. 这种比较大小的方法通常称为作差比较法,其思维过程:作差→ 变形→判断符号→结论,其中变形是判断符号的前提.
误结论.
(4)以后经常用到“不等式取倒数”的性质:a>b,ab>0⇒1������
<
1 ������
,
应在会证明的基础上理解记忆.
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典例透析
IANLITOUXI
题型 一
题型 二
题型 三
题型 四
比较大小
【例1】 (1)比较下列两个代数式的大小:x2+3与3x;
(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2
=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)
=(a-b)2(a+b).
∵a>0,b>0,且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0.
∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.
题型 一
题型 二
⇒a+c>b+d.
2.此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加,即 两个或两个以上的同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不 等式同向.
3.两个同向不等式只能两边同时分别相加,而不能两边同时分别 相减.
4.该性质不能逆推,如a+c>b+d a>b,c>d.
【做一做2-4】 已知a<b,则( ). A.a+1<b+2 B.a+1=b+2
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典例透析
IANLITOUXI
(2)传递性
文字 如果第一个量大于第二个量,第二个量大于第三个量,那 语言 么第一个量大于第三个量
符号 语言
a>b,b>c⇒a>c
变形 作用
a≥b,b≥c⇒a≥c; a<b,b<c⇒a<c; a≤b,b≤c⇒a≤c
③若a>b,则a2>b2;
④若
a<b<0,则
������ ������
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典例பைடு நூலகம்析
IANLITOUXI
(8)正值不等式可开方
文字语言
符号语言 作用
当不等式的两边都是正数时,不等式两边开方所得的 不等式与原不等式同向 a>b>0⇒n a > n b(������∈N,且 n≥2) 不等式两边的开方变形
为当c=0时,ac2=bc2).
(3)“a>b>0⇒an>bn>0(n∈N,n≥1)”成立的条件是“n 为大于等于 1
的自然数,且 a>b>0”.假如去掉“n 为大于等于 1 的自然数”这个条
件,取
n=-1,a=3,b=2,那么就会出现
3-1>2-1,即
1 3
>
1 2
的错误结论;假如
去掉“b>0”这个条件,取 a=3,b=-4,n=2,那么就会出现 32>(-4)2 的错
典例透析
IANLITOUXI
(3)加法法则
文字语言 符号语言 变形 作用
不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原 不等式同向.
a>b⇒a+c>b+c a<b⇒a+c<b+c a≤b⇒a+c≤b+c a≥b⇒a+c≥b+c 不等式的移项,等价变形
名师点拨1.证明:∵(a+c)-(b+c)=a-b>0,∴a+c>b+c. 2.本性质可以逆推,可推广为a>b⇔a+c>b+c. 【做一做2-3】 不等式x2+x>3可变形为( ). A.x2>3+x B.x2+x+3>0 C.x2+x-3<0 D.x2+x-3>0 答案:D
典例透析
IANLITOUXI
不等式变形应注意的问题
剖析(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另
一个不带等号,那么等号是传递不过去的.如a≤b,b<c⇒a<c.
(2)在乘法法则中,要特别注意“乘数c的符号”.例如当c≠0时,有
a>b⇒ac2>bc2;若无c≠0这个条件,则a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(因
当且仅当
x=y=
1 2
,
且z=1
时取等号.
题型 一
题型 二
题型 三
题型 四
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典例透析
IANLITOUXI
不等式性质的应用
【例2】 对于实数a,b,c,给出下列命题:
①若a>b,则ac2>bc2;
②若a<b<0,则a2>ab>b2;
典例透析
IANLITOUXI
1.关于实数大小的比较 (1)事实:如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b等于零,那么a=b;如果 a-b是负数,那么a-b<0.反过来也对. (2)符号表示: a-b>0⇔a>b; a-b=0⇔a=b; a-b<0⇔a<b. (3)说明:“⇔”表示“等价于”,即“⇔”两边可以互相推出. (4)作用:比较两个代数式大小或证明不等式. 【做一做1】 已知x∈R,则x2+2与2的大小关系是 ( ). A.x2+2>2 B.x2+2≥2 C.x2+2<2 D.x2+2≤2 答案:B
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2.不等式的性质
(1)对称性
文字语言
不等式两边互换后,再将不等号改变方向,所得不等 式与原不等式等价
符号语言 a>b⇔b<a
作用
写出与原不等式等价且异向的不等式
名师点拨证明:∵a>b,∴a-b>0. 由正数的相反数是负数,得-(a-b)<0. 即b-a<0,∴b<a. 同理可证,如果b<a,那么a>b. 【做一做2-1】 与m≥(n-2)2等价的是( ). A.m<(n-2)2 B.(n-2)2≥m C.(n-2)2≤m D.(n-2)2<m 答案:C
题型 一
题型 二
题型 三
题型 四
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IANLITOUXI
【变式训练1】 (1)已知x<1,比较3x3与3x2-x+1的大小;
(2)设x,y,z∈R,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.
解(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).
A.3a>3b B.-2a>-2b
C.-a>-b D.-11a>-11b 答案:A
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(6)乘法单调性
文字语言
符号语言 作用
两边都是正数的两个同向不等式相乘,所得的不等式 与原不等式同向. a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 两个不等式相乘的变形
(2)已知a,b均为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.
分析我们知道,a-b>0⇔a>b,a-b<0⇔a<b,因此,若要比较两个代
数式的大小,只需作差,并与0作比较即可.
解(1)(x2+3)-3x=x2-3x+3=
������-
3 2
2
+
3 4
≥
3 4
>
0,
∴
������2
+
3
>
3������.
比较大小或证明不等式
归纳总结1.该性质不能逆推,如a>c a>b,b>c.
2.此性质可推广为a1>a2,a2>a3,a3>a4,…,an-1>an⇒a1>an. 3.此性质说明不等式具有传递性,它是不等关系传递的基础.
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C.a+1>b+2 D.a-1>b-2 答案:A
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(5)乘法法则
文字 语言 符号 语言
变形
作用
不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向不变;都乘 同一个负数时,不等号的方向一定要改变.
a>b,c>0⇒ac>bc a>b,c<0⇒ac<bc
【做一做2-8】 已知m>n>0,则下列不等式不成立的是 ( ). A. ������ > ������B. 3 ������ > 3 ������ C. 4 ������ > 4 ������D. 5 ������ < 5 ������
答案:D
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IANLITOUXI
(4)加法单调性
文字语言 符号语言
变形
作用
两个同向不等式相加,所得不等式与原不等式同向.
a>b,c>d⇒a+c>b+d a<b,c<d⇒a+c<b+d a≥b,c≥d⇒a+c≥b+d a≤b,c≤d⇒a+c≤b+d 由已知同向不等式推出其他不等式