人教A版高中数学选修2-2同步练习 导数的几何意义

第一章 1.1 1.1.3
A 级 基础巩固
一、选择题
1．(2018·海市校级期末)已知函数y ＝f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y ＝1
2x ＋2,则f(1)
＋f′(1)的值等于( C )
A ．1
B ．52
C ．3
D ．0
[解析] 由已知点M(1,f(1))在切线上,所以f(1)＝12＋2＝5
2,
切点处的导数为切线斜率,所以f′(x)＝1
2,
即f(1)＋f ′(1)＝3,故选C ．
2．曲线y ＝x 3
＋x －2在P 点处的切线平行于直线y ＝4x －1,则切线方程为( D ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4 C ．y ＝4x －8 D ．y ＝4x 或y ＝4x －4
[解析] y′＝lim Δx→0 Δy
Δx
＝lim Δx→0
[x ＋Δx
3
＋x ＋Δx －2]－x 3
＋x －2
Δx
＝lim Δx→0[(Δx)2＋3xΔx＋3x 2
＋1] ＝3x 2
＋1．
由条件知,3x 2
＋1＝4,∴x ＝±1,
当x ＝1时,切点为(1,0),切线方程为y ＝4(x －1), 即y ＝4x －4．
当x ＝－1时,切点为(－1,－4),切线方程为y ＋4＝4(x ＋1), 即y ＝4x ．
3．已知曲线y ＝2x 3
上一点A(1,2),则点A 处的切线斜率等于( D ) A ．0 B ．2 C ．4
D ．6
[解析] Δy＝2(1＋Δx)3
－2×13
＝6Δx＋6(Δx)2
＋(Δx)3
,lim Δx→0
Δy Δx
＝lim Δx→0[(Δx)2
＋6Δx＋6]＝6,故选D ．
4．(2018·济宁高二检测)设曲线y ＝ax 2
在点(1,a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行,则a 等于( A )
A ．1
B ．12
C ．－12
D ．－1
[解析] ∵y′|x ＝1＝lim Δx→0 a
1＋Δx 2
－a×1
2
Δx
＝lim Δx→0
2aΔx＋a Δx 2
Δx ＝lim Δx→0 (2a ＋aΔx)＝2a,
∴2a ＝2,∴a ＝1．
5．(2017·汉中高二检测)曲线y ＝13x 3－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－53处切线的倾斜角为( B ) A ．1 B ．π
4
C ．5π
4
D ．－π4
[解析] ∵y′＝lim Δx→0
[1
3
x ＋Δx 3
－2]－13
x 3
－2Δx
＝lim Δx→0[x 2＋xΔx＋13(Δx)2]＝x 2,
∴切线的斜率k ＝y′|x ＝1＝1． ∴切线的倾斜角为π
4
,故应选B ．
6．设f ′(x 0)＝0,则曲线y ＝f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线( B ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直
D ．与x 轴斜交
[解析] 由导数的几何意义知B 正确,故应选B ． 二、填空题
7．已知f(x)＝x 2
＋3x,则f ′(2)＝7． [解析] f′(x)＝lim Δx→0 x ＋Δx
2
＋3x ＋Δx －x 2
＋3x
Δx
＝lim Δx→02x ＋Δx＋3＝2x ＋3,
∴f′(2)＝7．
8．曲线y ＝x 3
在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为54． [解析] 因为f ′(3)＝lim Δx→0 3＋Δx 3
－33
Δx ＝27,
所以在点(3,27)处的切线方程为y －27＝27(x －3),
即y ＝27x －54．
此切线与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0),(0,－54)． 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝1
2×2×54＝54． 三、解答题
9．求曲线y ＝1x －x 上一点P ⎝
⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程． [解析] ∵y′＝lim Δx→0
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋Δx －1x －
x ＋Δx－x
Δx
＝lim Δx→0 －Δx x x ＋Δx －
Δx x ＋Δx＋x
Δx
＝lim Δx→0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x x ＋Δx －1x ＋Δx＋x
＝－1x 2－1
2x
．
∴y′|x ＝4＝－116－14＝－5
16
,
∴曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程为：
y ＋74＝－5
16(x －4)． 即5x ＋16y ＋8＝0．
10．已知曲线f(x)＝x ＋1x 上一点A(2,5
2),用导数定义求函数f(x)：
(1)在点A 处的切线的斜率； (2)在点A 处的切线方程．
[解析] (1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)
＝2＋Δx＋12＋Δx －(2＋12)＝－Δx
22＋Δx ＋Δx ,
Δy Δx ＝－Δx
22＋Δx ＋Δx
Δx ＝－1
22＋Δx
＋1,
∴lim Δx→0 Δy Δx ＝lim Δx→0[
－12
2＋Δx ＋1]＝3
4
,
故点A 处的切线的斜率为3
4
．
(2)切线方程为y －52＝3
4(x －2),
即3x －4y ＋4＝0．
B 级 素养提升
一、选择题
1．(2018·开封高二检测)已知y ＝f(x)的图象如图,则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( B )
A ．f ′(x A )>f ′(x
B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )
C ．f ′(x A )＝f ′(x B )
D ．不能确定
[解析] 由图可知,曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小,结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B ),选B ．
2．设P 为曲线C ：y ＝x 2
＋2x ＋3上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,π4],则点P 横
坐标的取值范围为( A )
A ．[－1,－1
2]
B ．[－1,0]
C ．[0,1]
D ．[12
,1]
[解析] 考查导数的几何意义．
由导数的定义可得y′＝2x ＋2,且切线倾斜角θ∈[0,π
4],
∴切线的斜率k 满足0≤k≤1,即0≤2x＋2≤1, ∴－1≤x≤－1
2．
二、填空题
3．如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则lim Δx→0 f
1＋Δx －f 1
Δx
＝－2．
[解析] 由导数的概念和几何意义知,
lim Δx→0
f 1＋Δx －f 1Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－4
2－0
＝－2．
4．(2018·全国卷Ⅱ理,13)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ．
[解析] ∵ y ＝2ln(x ＋1),∴ y′＝2
x ＋1．令x ＝0,得y′＝2,由切线的几何意义得切线斜率为2,又
切线过点(0,0),∴ 切线方程为y ＝2x ．
三、解答题
5．(2016·天津联考)设函数f(x)＝x 3
＋ax 2
－9x －1(a<0),若曲线y ＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行,求a 的值．
[解析] ∵Δy＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)
＝(x 0＋Δx)3
＋a(x 0＋Δx)2
－9(x 0＋Δx)－1－(x 3
0＋ax 2
0－9x 0－1) ＝(3x 2
0＋2ax 0－9)Δx＋(3x 0＋a)(Δx)2
＋(Δx)3
, ∴
Δy Δx
＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a)Δx＋(Δx)2
． 当Δx 无限趋近于零时,Δy Δx 无限趋近于3x 2
0＋2ax 0－9．
即f ′(x 0)＝3x 2
0＋2ax 0－9, ∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a
2
3．
当x 0＝－a 3时,f ′(x 0)取最小值－9－a
2
3．
∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行, ∴该切线斜率为－12． ∴－9－a
2
3
＝－12．
解得a ＝±3．又a<0,∴a ＝－3．
6．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝f(x)＝x 3
－2x 2
＋3相切,求a 的值及切点坐标． [解析] 设直线l 与曲线C 相切于点P(x 0,y 0), ∵f′(x)＝lim Δx→0 f
x ＋Δx －f x
Δx
＝lim Δx→0
x ＋Δx
3
－2x ＋Δx 2＋3－x 3－2x 2
＋3
Δx
＝3x 2
－4x,
∴k ＝f′(x 0)＝3x 2
0－4x 0． 由题意可知k ＝4,即3x 2
0－4x 0＝4, 解得x 0＝－2
3
或x 0＝2,
∴切点的坐标为(－23,49
27
)或(2,3)．
当切点为(－23,4927)时,有4927＝4×(－23)＋a,解得a ＝121
27．
当切点为(2,3)时,有3＝4×2＋a,解得a ＝－5． ∴当a ＝12127时,切点坐标为(－23,49
27)；
当a ＝－5时,切点坐标为(2,3)．
C 级 能力拔高
已知曲线f(x)＝x 2
＋1和g(x)＝x 3
＋x 在其交点处两切线的夹角为θ,求cosθ．
[解析] 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x 2
＋1，
y ＝x 3
＋x ，得x 3－x 2
＋x －1＝0,
即(x －1)(x 2
＋1)＝0,解得x ＝1, 所以交点P(1,2)．
因为f′(1)＝lim Δx→0 1＋Δx 2
＋1－2
Δx ＝2,
所以其切线l 1的方程为y －2＝2(x －1),即y ＝2x ． 因为g′(1)＝lim Δx→0
1＋Δx
3＋1＋Δx－1＋1
Δx
＝4,
所以其切线l 2的方程为y －2＝4(x －1), 即y ＝4x －2．
取切线l 1的方向向量为a ＝(1,2),切线l 2的方向向量为b ＝(1,4), 则cosθ＝a·b |a||b|＝95×17＝985
＝9
8585．。