人教版2019学年高中物理第六章万有引力与航天第4节万有引力理论的成就学案必修2

第4节 万有引力理论的成就
[学考报告]
[基 础 梳 理]
(1)称量条件：不考虑地球自转的影响。

(2)称量原理：地面上物体的重力等于地球对该物体的万有引力，即mg ＝G Mm R2。

(3)称量结果：地球的质量M ＝
gR2G。

注意 (1)上式中地面的重力加速度g 和地球半径R 在卡文迪许之前就已知道，而卡文迪许在实验室中测出了引力常量G ，利用上式就可算出地球的质量M 。

这意味着人们在实验室里测出了地球的质量。

(2)通过万有引力定律“称量”地球的质量，其中的思想基础与牛顿的月—地检验是一致的，即相信宇宙中天体运动和地面上物体的运动都服从相同的规律。

[典 例 精 析]
【例1】 (2018·4月浙江选考)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图1)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×106
km 。

已知引力常量G ＝6.67× 10
－11
N·m 2/kg 2
，则土星的质量约为( )
图1
A.5×1017
kg B.5×1026
kg C.7×1033kg
D.4×1036
kg
解析 由万有引力提供向心力知：G Mm r2＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2
r
化简得M ＝4π2r3GT2
，代入数值得M ＝5×1026
kg ，故选项B 正确。

答案 B
[基 础 梳 理]
1.计算天体质量的方法
分析围绕该天体运动的行星(或卫星)，测出行星(或卫星)的运行周期和轨道半径，由万有引力提供向心力即可求中心天体的质量。

由GMm r2＝m 4π2T2r ，得M ＝4π2r3GT2。

2.天体密度的计算方法 根据密度的公式ρ＝
M
4
3
πR3，只要先求出天体的质量就可以代入此式计算天体的密度。

(1)由天体表面的重力加速度g 和半径R ，求此天体的密度。

由mg ＝
GMm R2和M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3g 4πGR
(2)若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r ，运行周期为T ，中心天体的半径为R ，则由G Mm r2＝mr
4π2T2和M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3πr3
GT2R3。

注意 R 、r 的意义不同，一般地R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径，若绕近地轨道运行，则有R ＝r ，此时ρ＝
3π
GT2。

[典 例 精 析]
【例2】 地球表面的平均重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ，可估算地球的
平均密度为( ) A.
3g
4πRG B.3g
4πR2G C.g RG
D.
g RG2
解析 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg ＝G Mm R2
，又地球质量M ＝ρV ＝43
πR 3
ρ。

代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝3g
4πRG。

故选项A 正确。

答案 A
[即 学 即 练]
1.假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星。

若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的运行周期为T 1，已知引力常量为G 。

(1)则该天体的密度是多少？
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h ，测得在该处做圆周运动的周期为T 2，则该天体的密度又是多少？
解析 (1)设卫星的质量为m ，天体的质量为M ，卫星贴近天体表面运动时有G Mm R2＝m 4π2
T21R ，
M ＝
4π2R3
GT21。

根据数学知识可知天体的体积V ＝4
3
πR 3
，故该天体密度
ρ＝M V ＝4π2R3GT21·43
πR
3＝3πGT21。

(2)卫星距天体表面的高度为h 时有
G
Mm （R ＋h ）2＝m 4π2
T22
(R ＋h )得
M ＝
4π2（R ＋h ）3GT22，ρ＝M V ＝4π2（R ＋h ）3GT22·43
πR
3
＝3π（R ＋h ）3
GT22R 3。

答案 (1)3πGT21 (2)3π（R ＋h ）3
GT22R
3
计算天体质量和密度的方法
万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的三种表述方式可得三个不同的方程，即
①F 引＝G Mm r2＝ma ＝m v2r ，即M ＝
v2r
G
(v 、r 法) ②F 引＝G Mm r2
＝ma ＝m ω2
r ，即M ＝ω2r3G
(ω、r 法)
③F 引＝G Mm
r2＝ma ＝m
4π2r T2，即M ＝4π2r3
GT2
(T 、r 法) 上述三种表达式分别对应在已知环绕天体的线速度v 、角速度ω、周期T 时求解中心天体质量的方法。

以上各式中M 表示中心天体的质量，m 表示环绕天体的质量，r 表示两天体间距离，G 表示引力常量。

[基 础 梳 理]
1.基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。

2.常用关系
(1)G Mm
r2＝ma n ＝m v2r
＝m ω2
r ＝m
4π2
T2
r (2)忽略自转时，mg ＝G Mm R2
(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：
gR 2＝GM ，该公式通常被称为“黄金代换式”。

3.四个重要结论：设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动。

(1)由G Mm r2＝m
v2
r
得r 越大，v 越小。

(2)由G Mm r2
＝m ω2
r 得r 越大，ω越小。

(3)由G Mm r2＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2
r r 越大，T 越大。

(4)由G Mm r2
＝ma n 得a n ＝GM r2
，r 越大，a n 越小。

4.发现未知天体 (1)海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。

1846年9月23日，德国的加勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。

(2)其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。

[典 例 精 析]
【例3】 如图2所示，a 、b 、c 是地球大气层外圆形轨道上运动的三颗卫星，a 和b 质量相等，且小于c 的质量，则( )
图2
A.b 所需向心力最大
B.b 、c 的周期相同且大于a 的周期
C.b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度
D.b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度
解析 因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，而b 所受的引力最小，故A 错误；由
GMm r2＝4π2mr T2
，得T ＝2πr3GM ，所以T a <T b ＝T c ，B 正确；由GMm r2＝ma ，得a ＝GM r2
，所以a a >a b ＝a c ，C 错误；由G Mm
r2
＝m v2r
，得v ＝GM
r
，所以v a >v b ＝v c ，D 错误。

答案 B
[即 学 即 练]
2.(2018·浙江金丽衢十二校联考)NASA 的新一代詹姆斯韦伯太空望远镜推迟到2018年发射，到时它将被放置在太阳与地球的第二朗格朗日点L 2处，飘荡在地球背对太阳后方150万公里处的太空。

其面积超过哈勃望远镜5倍，其观测能量可能是后者70倍以上，L 2点处在太阳与地球连线的外侧，在太阳和地球的引力共同作用下，卫星在该点能与地球一
起绕太阳运动(视为圆周运动)，且时刻保持背对太阳和地球的姿势，不受太阳的干扰而进行天文观测。

不考虑其它星球影响，下列关于工作在L 2点的天文卫星的说法正确的是( )
图3
A.它绕太阳运动的向心力由太阳对它的引力充当
B.它绕太阳运动的向心加速度比地球绕太阳运动的向心加速度小
C.它绕太阳运行的线速度比地球绕太阳运行的线速度小
D.它绕太阳运行的周期与地球绕太阳运行的周期相等
解析 工作在L 2点的天文卫星绕太阳运动的向心力由太阳和地球对它的引力的合力充当，故A 错误；它绕太阳运动的周期、角速度等于地球绕太阳运行的周期、角速度。

由
a n ＝ω2r ，知它绕太阳运动的向心加速度比地球绕太阳运动的向心加速度大，故B 错误，
D 正确；由v ＝ωr 知ω相等，则它绕太阳运行的线速度比地球绕太阳运行的线速度大，故C 错误。

答案 D
1.已知引力常量G 、月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T ，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( ) A.月球的质量 B.地球的质量 C.地球的半径
D.地球的密度
解析 由天体运动的受力特点，得G Mm R2＝m
4π2T2·R ，可得地球的质量M ＝4π2R3
GT2。

由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B 正确。

答案 B
2.一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( ) A.测定飞船的运行周期
B.测定飞船的环绕半径
C.测定行星的体积
D.测定飞船的运行速度
解析 取飞船为研究对象，由G Mm R2＝m 4π2T2R 及M ＝43πR 3ρ，知ρ＝3π
GT2
，故选项A 正确。

答案 A
3.(2015·10月浙江学考)2015年9月20日“长征六号”火箭搭载20颗小卫星成功发射。

在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放。

假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
图4
A.20颗小卫星的轨道半径均相同
B.20颗小卫星的线速度大小均相同
C.同一圆轨道上的小卫星的周期均相同
D.不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同
解析 小卫星分别在不同的三层轨道上做匀速圆周运动，即它们的轨道半径不同，A 错误；由G Mm
r2＝m v2r
得v ＝
GM r ，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小，B 错误；由G Mm r2
＝m ω2
r 得ω＝GM
r3，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小，D 错误；由G Mm r2＝m
4π2
T2
r 得T ＝2πr3GM
，随着轨道半径的增大，卫星的运行周期变大，半径相同，则周期相同，故C 正确。

答案 C
4.据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km 和100 km ，运行速度分别为v 1和v 2。

那么，v 1和v 2的比值为(月球半径取1 700 km)( ) A.1918
B.
1918
C.
1819
D.
1819
解析 根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有G
Mm （r ＋h ）2＝m v2
r ＋h
，那么卫星的线速
度跟其轨道半径的平方根成反比，则有v1v2＝ r ＋h2
r ＋h1
＝
1819。

答案 C
1.关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法中正确的是( ) A.天王星、海王星和冥王星， 都是运用万有引力定律、经过大量计算后而发现的 B.在18世纪已经发现的7个行星中，人们发现第七个行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是有人推测，在天王星轨道外还有一个行星，是它的存在引起了上述偏差
C.第八个行星，是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经大量计算而发现的
D.冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维耶合作研究后共同发现的 答案 B
2.宇航员乘飞船前往A 星球，其中有一项任务是测量该星球的密度。

已知该星球的半径为R ，引力常量为G 。

结合已知量有同学为宇航员设计了以下几种测量方案。

你认为不正确的是( )
A.当飞船绕星球在任意高度运行时测出飞船的运行周期T
B.当飞船绕星球在任意高度运行时测出飞船的运行周期T 和飞船到星球的距离h
C.当飞船绕星球表面运行时测出飞船的运行周期T
D.当飞船着陆后宇航员测出该星球表面的重力加速度g 解析 星球的质量：M ＝ρ·4πR33，飞船在任意高度GMm （R ＋h ）2＝m 4π2
T2
(R ＋h )，可得：ρ＝
3π（R ＋h ）3
GT2R3
，从公式可以判定，飞船绕星球在任意高度运行时，测出周期T 和飞
船到星球的距离h ，故A 错误，B 正确；飞船绕星球表面运行时：h ＝0，ρ＝3π
GT2
，C 正确；着陆后：
GMm R2＝mg ，可得：ρ＝3g 4πGR。

从公式中可以知道ρ与g 有关，所以D 项正确。

答案 A
3.“嫦娥二号”已于2010年10月1日发射，其环月飞行的高度距离月球表面 100 km ，所探测到的有关月球的数据将比环月飞行高度为200 km 的“嫦娥一号”更加翔实。

若两颗卫星环月的运行均可视为匀速圆周运动，运行轨道如图1所示。

则( )
图1
A.“嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”更小
B.“嫦娥二号”环月运行的线速度比“嫦娥一号”更小
C.“嫦娥二号”环月运行的角速度比“嫦娥一号”更小
D.“嫦娥二号”环月运行的向心加速度比“嫦娥一号”更小 解析 根据G Mm r2
＝m ω2
·r ＝m (2πT )2r ＝mv2
r ＝ma n 可得v ＝GM r ，a n ＝G M
r2，ω＝GM
r3
，T ＝2π
r3
GM
，可见，轨道半径较小的“嫦娥二号”的线速度、向心加速度和角速度均较大，而周期较小。

答案 A
4.(2018·宁波十校)假设土星绕太阳的运动是匀速圆周运动，其轨道半径是r ，周期是T ，万有引力常量G 已知，根据这些数据不能求出的物理量有( ) A.土星的线速度大小 B.土星的加速度大小 C.土星的质量
D.太阳的质量
解析 已知土星轨道半径是r ，周期是T ，其线速度v ＝
2πr T ，向心加速度a n ＝4π2r
T2，故A 、B 正确；利用万有引力只能求中心天体的质量，由G Mm r2
＝m 4π2
T2
r 可得，太阳的质量M ＝
4π2r3
GT2
，故C 错误，D 正确。

答案 C
5.土星外层上有一个环如图2所示，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系来判断( )
图2
A.若v ∝R ，则该层是土星的卫星群
B.若v 2
∝R ，则该层是土星的卫星群 C.若v ∝1
R
，则该层是土星的一部分 D.若v 2∝1R
，则该层是土星的卫星群
解析 若为土星的一部分，则它们与土星绕同一圆心做圆周运动的角速度应同土星相同，根据v ＝ωR 可知v ∝R 。

若为土星的卫星群，则由公式G Mm R2＝m v2R
可得：v 2
∝1R
，故选项D 正确。

答案 D
6.为了探测X 星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r 1的圆轨道上运动，周期为T 1，总质量为m 1。

随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r 2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m 2，则( ) A.X 星球的质量为M ＝4π2r31
GT 1
B.X 星球表面的重力加速度为g X ＝4π2r1
T21
C.登陆舱在r 1与r 2轨道上运动时的速度大小之比为v1
v2＝m1r2
m2r1
D.登陆舱在半径为r 2轨道上做圆周运动的周期为T 2＝T 1
r32r 3
1 解析 由万有引力提供向心力得G Mm1r21＝m 14π2T21r 1，M ＝4π2r31
GT 21，A 错误；飞船在r 1处的重
力加速度为g ＝4π2r1T21，在星球表面的重力加速度g x >4π2r1T21，B 错；由G Mm r2＝m v2r 知v1
v2
＝
r2r1，C 错；由r31r 32＝T21
T 2
得，T 2＝T 1r32
r 31
，D 正确。

答案 D
7.据报道，中俄双方将联合对火星及其卫星“火卫一”进行探测。

“火卫一”位于火星
赤道正上方，到火星中心的距离为9 450 km 。

“火卫一”绕火星1周需
7 h 39 min 。

若其绕行轨道可认为是圆形轨道，引力常量为G ，由以上信息不能确定的是
( )
A.火卫一的质量
B.火星的质量
C.火卫一的绕行速度
D.火卫一的向心加速度 解析 由GMm R2＝m 4π2T2
R ，已知G 、R 、T 可求M 但不能求m ，故A 不可确定，B 可确定；卫星的绕行速度为v ＝
2πR T ，故C 可以确定；由卫星的a n ＝4π2T2R ，故D 可以确定。

答案 A
8.如图3所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。

若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )
图3
A.速度大
B.向心加速度大
C.运行周期长
D.角速度大
解析 飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F 引＝F n ，所以G Mm r2
＝ma n ＝mv2r ＝4π2mr T2＝m ω2r ，即a n ＝GM r2
，v ＝GM r ，T ＝2πr3GM ，ω＝GM r3
(或用公式T ＝2πω求解)。

因为r 1<r 2，所以v 1>v 2，a n1>a n2，T 1<T 2，ω1>ω2，选项C 正确。

答案 C
9.一物体从某行星表面某高度处自由下落。

从物体开始下落计时，得到物体离行星表面高度h 随时间t 变化的图象如图4所示，不计阻力。

则根据ht 图象可以计算出( )
图4
A.行星的质量
B.行星的半径
C.行星表面重力加速度的大小
D.物体受到行星引力的大小
解析 由h ＝12gt 2得g 行＝2h t2，可计算出g 行。

根据G Mm R2＝mg 行得M ＝
R2g 行G 。

因半径R 未知，故行星的质量和物体受到行星的引力不可求出。

答案 C
10.一颗人造卫星靠近某行星表面做匀速圆周运动，经过时间t ，卫星运行的路程为s ，运动半径转过的角度为1 rad ，引力常量设为G ，求：
(1)卫星运行的周期；
(2)该行星的质量。

解析 (1)卫星的角速度ω＝θt ＝1t
rad/s ， 周期T ＝2πω＝2πt .
(2)设行星的质量为M ，半径为R ，
则有R ＝s θ＝s ，由牛顿第二定律得：GMm R2＝m ω2R ，解得：M ＝s3Gt2。

答案 (1)2πt (2)s3Gt2
11.假设地球自转速度达到使赤道上的物体能“飘”起来(完全失重)。

试估算一下，此时地球上的一天等于多少小时？(地球半径取6.4×106 m ，g 取10 m/s 2
)
解析 物体刚要“飘”起来时，还与地球相对静止，其周期等于地球自转周期，此时物体只受重力作用，物体“飘”起来时，半径为R 地
据万有引力定律：mg ＝GMm R2地＝m 4π2T2R 地
得：T ＝4π2R 地g ＝4π2×6.4×10610
s ＝5 024 s ＝1.4 h 。

答案 1.4 h
12.我国发射了绕月运行探月卫星“嫦娥三号”，该卫星的轨道是圆形的，若已知绕月球运动的周期T 及月球的半径R ，月球表面的重力加速度为g 月，引力常量为G 。

求：
(1)月球质量；
(2)探月卫星“嫦娥三号”离月球表面的高度；
(3)探月卫星的运行速度。

解析 (1)由G Mm R2＝mg 月
得M ＝g 月R2G
(2)由G
Mm （R ＋h ）2＝m (R ＋h )4π2T2 得h ＝3GMT24π2－R ＝3g 月R2T24π2
－R (3)由v ＝2π（R ＋h ）T
得v ＝32πGM T ＝32πg 月R2T。

答案 (1)g 月R2G (2)3g 月R2T24π2－R (3)32πg 月R2T。