数学2024高考试卷解析

数学2024高考试卷解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={xx>1}，则A∩ B = ( )
A. {1}
B. {2}
C. {1,2}
D. varnothing
解析：先求解集合A，对于方程x^2-3x + 2 = 0，分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以A={1,2}。

又因为B = {xx>1}，所以A∩ B={2}，答案为B。

2. 复数z=(1 + i)/(1 - i)，则z的共轭复数¯z=( )
A. -i
B. i
C. 1 - i
D. 1 + i
解析：对z=(1 + i)/(1 - i)进行化简，分子分母同时乘以1 + i，得到z=frac{(1 +
i)^2}{(1 - i)(1 + i)}=frac{1 + 2i+i^2}{2}=i，共轭复数实部相同，虚部相反，所以¯z=-i，答案为A。

3. 已知向量→a=(1,2)，→b=(m, - 1)，若→a⊥→b，则m = ( )
A. 2
C. (1)/(2)
D. -(1)/(2)
解析：因为→a⊥→b，根据向量垂直的性质→a·→b=0，即1× m+2×(- 1)=0，解得m = 2，答案为A。

4. 函数y=sin(2x+(π)/(3))的最小正周期是(\space)
A. π
B. 2π
C. (π)/(2)
D. (2π)/(3)
解析：对于函数y = Asin(ω x+φ)，其最小正周期T=(2π)/(ω)，这里ω = 2，所以
T=π，答案为A。

5. 在等差数列{a_n}中，a_1=1，公差d = 2，则a_5=( )
A. 9
B. 11
C. 13
D. 15
解析：根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，当n = 5时，a_5=1+(5 - 1)×2=1 + 8 = 9，答案为A。

6. 从5名男生和3名女生中任选3人参加志愿者活动，则所选3人中至少有1名女生的选法有(\space)种。

B. 56
C. 70
D. 80
解析：所选3人中至少有1名女生的对立事件是所选3人都是男生。

从8人中选3人的选法有C_8^3=(8!)/(3!(8 - 3)!)=(8×7×6)/(3×2×1)=56种，从5名男生中选3人的选法有C_5^3=(5!)/(3!(5 - 3)!)=10种，所以至少有1名女生的选法有56-10 = 46种，答案为A。

7. 若双曲线frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为
y=(1)/(2)x，且过点(4,√(3))，则双曲线的方程为(\space)
A. frac{x^2}{4}-y^2=1
B. frac{x^2}{16}-frac{y^2}{4}=1
C. frac{x^2}{8}-frac{y^2}{2}=1
D. frac{x^2}{32}-frac{y^2}{8}=1
解析：双曲线frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1的渐近线方程为y=±(b)/(a)x，已知一条渐近线方程为y=(1)/(2)x，则(b)/(a)=(1)/(2)，即a = 2b。

又因为双曲线过点(4,√(3))，将点代入双曲线方程得frac{4^2}{a^2}-frac{(√(3))^2}{b^2} = 1，将a = 2b代入可得(16)/(4b^2)-(3)/(b^2) = 1，解得b^2=1，则a^2=4，双曲线方程为frac{x^2}{4}-y^2=1，答案为A。

8. 已知函数f(x)=ln x - ax，若f(x)在(0,+∞)上单调递减，则a的取值范围是
(\space)
A. (-∞,0]
B. [(1)/(e),+∞)
C. [0,+∞)
D. (-∞,(1)/(e)]
解析：对f(x)=ln x-ax求导得f^′(x)=(1)/(x)-a，因为f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以f^′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立，即(1)/(x)-a≤0，a≥(1)/(x)在(0,+∞)上恒成立，因为y = (1)/(x)在(0,+∞)上的值域是(0,+∞)，所以a≥(1)/(e)，答案为B。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

9. 曲线y = x^3-3x^2+1在点(1,-1)处的切线方程为______。

解析：对y = x^3-3x^2+1求导得y^′=3x^2-6x，将x = 1代入导数得y^′(1)=3 - 6=-3，根据点斜式方程可得切线方程为y - (-1)=-3(x - 1)，即y=-3x + 2。

10. 若x,y满足约束条件<=ft{begin{array}{l}x + y≤slant3 x - y≥slant - 1
y≥slant0end{array}right.，则z = 2x + y的最大值为______。

解析：画出可行域，三条直线x + y=3，x - y=-1，y = 0所围成的区域。

联立
<=ft{begin{array}{l}x + y=3 x - y=-1end{array}right.解得交点为(1,2)，将可行域的顶点(1,2)，(-1,0)，(3,0)代入目标函数z = 2x + y，分别得到z=4，z=-2，z = 6，所以z的最大值为4。

11. 在ABC中，A = 60^∘，a=√(3)，b = 1，则sin B=______。

解析：根据正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，即(√(3))/(sin60^∘)=(1)/(sin B)，sin
B=(1)/(2)。

12. 已知正四棱锥P - ABCD的底面边长为2，侧棱长为√(5)，则该正四棱锥的体积为______。

解析：正四棱锥的高h=√((sqrt{5))^2-(√(2))^2}=√(3)，底面面积S = 2×2 = 4，根据体积公式V=(1)/(3)Sh，可得体积V=(1)/(3)×4×√(3)=(4√(3))/(3)。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

13. (10分)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知c = 2，A=(π)/(3)，cos B=(1)/(3)。

(1)求sin C的值；
(2)求a的值。

解析：
(1)因为在ABC中，A + B + C=π，所以C=π-(A + B)。

sin C=sin(π-(A + B))=sin(A + B)
=sin Acos B+cos Asin B
已知A=(π)/(3)，则sin A=(√(3))/(2)，cos A=(1)/(2)
因为cos B=(1)/(3)，且B∈(0,π)，所以sin B=√(1-cos^2)B=√(1 -
(frac{1){3})^2}=(2√(2))/(3)
sin C=(√(3))/(2)×(1)/(3)+(1)/(2)×(2√(2))/(3)=(√(3)+ 2√(2))/(6)
(2)由正弦定理(a)/(sin A)=(c)/(sin C)
已知c = 2，sin A=(√(3))/(2)，sin C=(√(3)+ 2√(2))/(6)
a=(csin A)/(sin C)=(2×frac{√(3))/(2)}{(√(3)+ 2√(2))/(6)}=(6√(3))/(√(3)+
2√(2))=6√(3)(√(3)- 2√(2))=18 - 12√(6)
14. (12分)如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA = AD = 2，AB = 1。

(1)求证：PC⊥ BD；
(2)求二面角A - PC - D的余弦值。

解析：
(1)因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PA⊥ BD。

因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥ BD。

又PA∩ AD = A，PA,AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD。

因为PC⊂平面PAD，所以PC⊥ BD。

(2)以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系。

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)。

→AC=(1,2,0)，→AP=(0,0,2)，→AD=(0,2,0)
设平面PAC的法向量为→n_1=(x_1,y_1,z_1)
<=ft{begin{array}{l}→n_1·→AC=x_1+2y_1=0
→n_1·→AP=2z_1=0end{array}right.，取y_1=- (1)/(2)，则x_1=1，z_1=0，→n_1=(1,-(1)/(2),0)
设平面PCD的法向量为→n_2=(x_2,y_2,z_2)
→PC=(1,2,-2)，→PD=(0,2,-2)
<=ft{begin{array}{l}→n_2·→PC=x_2+2y_2-2z_2=0 →n_2·→PD=2y_2-
2z_2=0end{array}right.，取y_2=1，则z_2=1，x_2=0，→n_2=(0,1,1)
cos〈→n_1,→n_2〉=frac{→n_1·→n_2}{|→n_1||→n_2|}=(-
frac{1)/(2)}{(√(5))/(2)×√(2)}=-(√(10))/(10)
所以二面角A - PC - D的余弦值为-(√(10))/(10)。

15. (12分)已知椭圆C:frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a> b>0)的离心率e=(1)/(2)，且过点(1,(3)/(2))。

(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l:y = kx + m与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，若
\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB。