辽宁2022年高二上学期数学期末考试带参考答案与解析

辽宁2022年高二上学期数学期末考试带参
考答案与解析
选择题
如果,那么下列不等式成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，则，
所以，所以，故选D.
选择题
下列命题中，假命题是( )
A. ，
B. ，
C. 的充要条件是
D. ，是的充分不必要条件
【答案】C
【解析】
对于A，根据指数函数的性质可得到结果正确；对于B可代入特殊值验证；对于C可举出反例推翻；对于D，，可以推出a>1,b>1,也可以是a>0，根据指数函数的性质得结果正确；对于B. ，，例如当时，满足题意，故正确；C. 的充要条
件是，错误，比如a=0=b时，也满足，但是不满足；对于D. 可以是a>1,b>1,也可以是a，是的充分不必要条件.
故答案为：C.
选择题
已知等差数列的前13项之和为39，则( )
A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
【答案】B
【解析】
根据等差数列和的性质得到，再由等差数列的性质得到，进而得到结果.
等差数列的前13项之和为
解得，根据等差数列的性质得到，故得到.
故
故答案为：B.
选择题
若，满足，则的最大值为（）
A. 0
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
【解析】试题分析：由图可得在处取得最大值，由
最大值，故选C.
选择题
设的内角的对边分别为，且，，，则( )
A. 1
B. 3
C.
D.
【答案】B
【解析】
由3sinA＝2sinB即正弦定理可得3a＝2b，由a＝2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解．
∵3sinA＝2sinB，
∴由正弦定理可得：3a＝2b，
∵a＝2，
∴可解得b＝3，
又∵cosC＝，
∴由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝4+9﹣2×＝9，
∴解得：c＝3．
故答案为：B．
选择题
已知实数，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，可得a＝＞0，解得b＞1．变形a+2b＝+2b＝，再变形，利用基本不等式的性质即可得出．
∵a＞0，b＞0，且2a+b＝ab，
∴a＝＞0，解得b＞1．
则a+2b＝+2b＝=≥，当且仅当b＝，a＝时取等号．
其最小值为．
故选：B．
选择题
若函数的图像上存在不同两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相平行，则称具有“同质点”.关于函数：①；
②；③；④.以上四个函数中具有“同质点”的函数是( )
A. ①④
B. ②③
C. ①②
D. ③④
【答案】A
【解析】
由题意得，具有“同质点”也就是存在两个不同的点使得，分别求出导函数即可得出结果.
设函数的图像上存在不同两点且，由题意具有“同质点”，则
，，具有“同质点”，
，不存在，不具有“同质点”，
，不存在，不具有“同质点”，
，具有“同质点”
故选：A.
选择题
在中，角的对边分别为，.则的最大值为( )
A. 1
B. 2
C.
D.
【答案】A
【解析】
根据题干得到B=，原式，根据角A 的范围得到最值即可.
角的对边分别为，，变形为：
根据余弦定理，故角B=.
,
因为
故最大值为：1.
故答案为：A.
选择题
在中，，，若最短边长为，则最长边为( )
A. B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
由已知及同角三角函数基本关系式可求cosA，sinA，sinB，利用
两角和的余弦函数公式可求cosC＝﹣＜0，可得短边为b，由正弦定理即可求得最长边的值．
由tanA＝＞0，得cosA＝，sinA＝，
由cosB＝＞0，得sinB＝，
于是cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB＝﹣＜0，即∠C
为最大角，c为最长边，最短边为b，于是由正弦定理求得c ＝5．
故选：D．
选择题
设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，并且满足条件：，，，下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 是数列中的最大值
D. 数列无最小值
【答案】D
【解析】
根据题干条件可得到数列>1,0 进而得到B正确；由前n项积的性质得到是数列中的最大值；从开始后面的值越来越小，但是都是大于0的，故没有最小值.
因为条件：，，，可知数列>1,0 ，故B不对；
前项之积为，所有大于等于1的项乘到一起，能够取得最大值，故是数列中的最大值. 数列无最小值,因为从开始后面的值越来越小，但是都是大于0的，故没有最小值.故D正确.
故答案为：D.
选择题
已知双曲线的左右焦点分别为，，离心率为，点为双曲线右支上一点，延长交双曲线于点，，，则为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据双曲线的定义得到通过三角形的几何关系得到
PM=，,在三角形中应用余弦定理，列式求参数a 即可.
设,则因为,
所以根据双曲线的定义得到
在三角形中，顶角为，底角分别为，
通过三角形的几何关系得到PM=，,在三角形中应用余弦定理得到
化简得到：
故答案为：B.
选择题
已知函数在上有极值点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
通过求导数，有区间上有极值点转化为导数在区间上等于零有解，然后参变分离，形成新函数，转化成求函数最值可得结果.
由题，因为ax作为分母，所以
求得
因为函数f(x)在区间在有极值点，即有解在区间
即在有解，
也就是在有解
转化为在有解
令
当单调递减；
当单调递增，
的最小值为，
当，经检验，不满足题意；
又因为
综上：a的范围是
故选C.
填空题
已知抛物线：的焦点为，是抛物线上一点且点在第一象限，若，则点的坐标为__________．
【答案】（3,2）
【解析】
先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛
物线方程求得y.
设该点坐标为（x，y）
根据抛物线定义可知x+2＝5，解得x＝3，代入抛物线方程求得y ＝±2，
∵P在第一象限，
∴P（3，2）．
故答案为：（3，2）．
填空题
在中，已知三边成等比数列，且，则的值为__________．
【答案】
【解析】
根据正弦定理化简原式得到角B的值，因为，根据正弦定理得到：，代入求值即可.
在中,,由正弦定理得到sinA=sinBcosC+sinCsinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC 化简得到sinB=cosB,故角B为，
因为，根据正弦定理得到：.
故答案为：.
填空题
甲同学写出三个不等式：:，:，：，然后将的值告诉了乙、丙、丁三位同学，要求他们各用一句话来描
述，以下是甲、乙、丙、丁四位同学的描述：
乙：为整数；
丙：是成立的充分不必要条件；
丁：是成立的必要不充分条件；
甲：三位同学说得都对，则的值为__________．
【答案】-1
【解析】
根据每个同学的描述得到相应的解集，进而推得参数值.
根据条件知道，每个同学说的都是事实，
:等价于x(x-1)；是成立的充分不必要条件,故
：解集为：是成立的必要不充分条件，故q的解集是r的解集的子集，在的前提下，结合二次函数的性质得到，函数的对称轴为：二次函数和y轴的交点为：，二次函数图像大致如图：
只需要在-3处的函数值大于0即可，即：
综上：，又因为a是整数，故得到a=-1.
故答案为：-1.
填空题
已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则椭圆的短轴长为__________．
【答案】
【解析】
先据题意有公共焦点，找到a，b的关系，再根据题意设交点，建立等量关系，最后求得b的值.
由题，双曲线N中，，又椭圆：
与双曲线：有公共焦点，N的渐近线方程：，
因为渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分
设渐近线与椭圆相交于C、D两点，所以
设
即
又因为C在M上，所以
得
故答案为：
解答题
已知命题：关于的不等式无解；命题：指数函数是增函数.
（1）若命题为真命题，求的取值范围；
（2）若满足为假命题为真命题的实数取值范围是集合，集合
，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）[4,+∞) （2）[-3,2]
【解析】
（1）根据题干条件得到命题p下的m的范围，和命题q下m的范围，两者取交集即可；（2）由（1）可知，m的取值范围是（3,4）即A={m|31,m>3，取交集得到[4,+∞).
综上，m的范围是[4,+∞)。

（2）由（1）可知，当p为假命题时，m1解得：m>3
则，m的取值范围是（3,4）即A={m|3
解得：-3≤t≤2.
所以，t的取值范围是[-3,2]
解答题
在中，角的对边分别为，已知且
.
（1）求角；
（2）求的面积的最大值.
【答案】（1）（2）2
【解析】
(1)根据二倍角公式得到4cos2C-4cosC+1=0即(2cosC-1)2=0，进而
得到角C的值；（2）根据余弦定理得到a2+b2-8=ab，根据重要不等式得到ab≤8，代入面积公式即可.
（1）由8sin2 +4sin2C=9得：4（1-cos(A+B)）+4sin2C=9
整理得：4cos2C-4cosC+1=0即(2cosC-1)2=0,
所以，cosC=，
C =;
(2)由余弦定理可得：cosC==,又c=2，
所以，a2+b2-8=ab
又a2+b2≥2ab,得到不等式ab≤8，当且仅当a=b时等号成立，
所以△ABC的面积:S△ABC=absinC=ab≤2，
△ABC的面积的最大值为2。

解答题
已知直线的方程为，抛物线：的焦点为，点是抛物线上到直线距离最小的点.
（1）求点的坐标；
（2）若直线与抛物线交于两点，为中点，且，
求直线的方程.
【答案】（1）(1,2) （2）9x+3y-7=0
【解析】
(1)根据点到直线的距离公式和二次函数的性质得出P点坐标；(2)设出点M的坐标，由向量坐标化得到M(1,-)，设出点A和点B的坐标，代入抛物线，两式做差得到斜率，由点斜式得到直线方程.
(1)设点P的坐标为(x0,y0),则y02=4x0，所以，点P到直线的距离：
d ====≥
当且仅当y0=2时取最小值，此时P点坐标为(1,2).
(2)设点M的坐标为（x1,y1）因为=3, 又点P(1,2),又F(1,0)可得：(0，-2)=3(x1-1,y1-0)
经计算得：点M(1,-)
设点A(x2,y2)点B（x3,y3）,于是
两式相减可得：(y3- y2)( y3+y2)=4(x3-x2) 化简得：=,
所以k=-3
于是，y+=-3(x-1),整理得9x+3y-7=0
解答题
设等差数列的前项和为，且（是常数，），.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）（2）详见解析
【解析】
(1)由Sn＝nan+an﹣c，得a1＝2c，a2＝3c，从而得到c＝2，由此能求出c的值及数列{an}的通项公式;(2)根据第一问得到数列的通项，裂项求和即可得到数列之和，之后得到Tn+1Tn>0,故可得到数列之和的最小值，可得证.
(1)因为Sn＝nan+an﹣c，
所以当n＝1时，，解得a1＝2c，
当n＝2时，S2＝a2+a2﹣c，即a1+a2＝a2+a2﹣c，
解得a2＝3c，所以3c＝6，解得c＝2，
则a1＝4，数列{an}的公差d＝a2﹣a1＝2，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝2n+2．
(2)由已知得：bn==()
Tn= ()+ ()+……+ ()= ()0
因此数列{Tn}在n N*上是增数列.
所以Tn≥T1=，综上所述，原不等式成立。

解答题
已知函数，函数的图像在处的切线方程为：
（1）求的值；
（2）若，成立，求的取值范围.
【答案】(1)a=b=1;(2)(2,+∞).
【解析】
（1）对函数求导，在切点的导函数值就是切线的斜率，求出a、
b的值；
（2）将原式化简，变为新函数，对新函数求导讨论单调性求出k的取值；
或是利用参变分离求最值，求得k的取值.
解：(1)f´(x) =a∴f´(1) =a=，f(1)==，
解得a=b=1
∴f(x)=+
(2) (方法1)由++得，0∴lnx+(1k)x k+30)
g´(x)=+1k=
当k≤1时，g´(x)≥0，y=g(x)在x(0,+∞)上单调递增，不符合题意，舍去
当k>1时，y=g(x)在x(0,)上单调递增，在x(,+∞)上单调递减，
∴g(x)≤g()=ln+2k2
综上所述，k的取值范围是(2,+∞).
（方法2）由++得，0∴lnx+(1k)x k+3，
令g(x)=,则g(x)=.
令h(x)= -lnx-3, (x>0),h(x)= -- 0时恒成立
所以，h(x)单调递减，又h(1)=0，
所以，x∈(0,1)，h(x)>0,即g(x) >0, g(x)单调递增
x∈(1,+∞)，h(x)2,k的取值范围是(2,+∞)
解答题
已知椭圆的中心在原点，为椭圆的一个焦点，离心率，过作两条互相垂直的直线，，与椭圆交于两点，与椭圆交于两点，且四点在椭圆上逆时针分布.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的最大值与最小值的比值.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）根据题干条件得到a,b,c的值进而得到方程；（2）根据题意，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，借助根与系数的关系分析可得四边形ABCD面积，综合即可得答案．
根据题意得：
(1) c=1,e==,所以a=2，b=,所以椭圆方程为+=1
(2)当直线l1、l2斜率有不存在的，不妨设直线l1：x=0,直线l2：y=1
|AC|=2a=4,|BD|==3,设四边形ABCD的面积为S,则S=|AC|•|BD|=6
当直线l1、l2斜率均存在时，不妨设l1：y=kx+1,直线l2：y= ()x+1将l1和椭圆联立化简得：(3k2+4)x2+6kx-9=0
∆=36k2+36(3k2+4)>0,设A(x1,y1)、C(x2,y2), x1+x2=x1x2=
|AC|===
同理：|BD|==
S=|AC|•|BD|=•=
设t=(0,1),k2=1,S== t2+t+12(12,], 所以S[，6)
综上所述，Smax=6 ,Smin=,=。