2020高考数学三轮冲刺抢分练仿真卷(二)(2021-2022学年)

（浙江专用）2020高考数学三轮冲刺抢分练仿真卷(二)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
１.若集合A =错误!未定义书签。

，B ＝错误!,则A ∪B 等于( ） Ａ。

错误! ﻩB 。

错误!
C 。

错误!未定义书签。

ﻩ D.错误!未定义书签。

答案 D
解析 ∵集合A =错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

,B =错误!,∴A ∪Ｂ＝错误!未定义书
签。

2.双曲线错误!未定义书签。

-y 2
＝１的顶点到渐近线的距离等于( ) A.错误! Ｂ。

错误!未定义书签。

C ．错误!未定义书签。

D 。

错误! 答案 Ａ
解析 双曲线错误!未定义书签。

-y 2＝１的顶点为错误!。

渐近线方程为y ＝±错误!x 。

双曲线错误!未定义书签。

－y 2
=１的顶点到渐近线的距离等于错误!=错误!。

3．已知实数x ,y 满足约束条件错误!则z =x +2y 的最大值是( ） A.0 B.1 C.５ D.6 答案 D
解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示:
由ｚ＝x ＋2y ,得ｙ＝-＼ｆ（1,2)x +1
2
z ,
平移直线y ＝－＼f(1,2）ｘ+＼f （１，２)z ,由图象可知, 当直线y =-错误!ｘ+错误!ｚ经过点A 时，
直线y =-＼f(1，2)ｘ＋错误!z 在ｙ轴上的截距最大,此时z 最大. 由错误!得A (0,3），
此时z 的最大值为ｚ=０＋2×3＝6.
ﻬ4.已知一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是一个边长为２的正方形,则该几何体的表面积为
（ )
Ａ。

错误!未定义书签。

ﻩＢ.20
C．２０+错误!ﻩD．20＋错误!未定义书签。

答案 C
解析该几何体是棱长为2的正方体削去一个角后得到的几何体(如图),其表面积为S=3×2×２
+2×＼ｆ（(1＋2)×２，２)＋1
２
×2×2+＼f(1，2)×2＼ｒ（2）×3＝20+错误!。

５．设ｘ∈R,则x3<1是ｘ2<1的( )
A．充分不必要条件ﻩB．必要不充分条件C．充要条件ﻩD．既不充分也不必要条件答案B
解析由x3〈1,可得x＜１,
由ｘ2〈1，解得－1<x＜1,
所以（-１,1）(-∞,1)，
所以x3<1是x2<１的必要不充分条件.
ﻬ
6．函数y ＝x 3
＋ln(错误!－x ）的图象大致为( ）
答案 C
解析 因为f (ｘ）的定义域为Ｒ,且ｆ（-x )＝（－x )3
+l ｎ错误!＝-x 3
+ln 错误!
＝-x 3
-ln 错误!未定义书签。

-1
＝-ｘ３
－ｌn 错误!＝-f 错误!未定义书签。

,所以f 错误!未定义书
签。

为奇函数，图象关于原点对称,排除B ，D,因为ｆ（１)＝1+ｌn 错误!未定义书签。

>0，所以排
除A 。

7.设随机变量Ｘ的分布列如下:
则方差D (X )等于（ ) Ａ．0 B ．1 C.2 D ．3 答案 B
解析 a =1－０.１－0。

3-0。

4＝0。

2,
Ｅ（X ）=1×０.２+2×0。

3＋3×0。

4=２,
故D (X ）＝（０-2)2
×0。

1+(1－2)２
×0.2＋（２-2)2
×0．3+(3-2)2
×0．4=１。

8．已知在矩形A ＢCD 中，ＡD =错误!A Ｂ,沿直线B Ｄ将△ＡBD 折成△Ａ′B Ｄ，使点A ′在平面ＢC Ｄ上的射影在△
B ＣD 内(不含边界).设二面角A ′－BD -Ｃ的大小为θ，直线A ′D ， A ′
C 与平面B Ｃ
D 所成的角分别为α，β则( ) A ．α＜θ〈β ﻩB ．β<θ〈α C.β〈α〈θ ﻩ D.α〈β〈θ 答案 D
解析如图，作Ａ′E⊥BD于Ｅ, Ｏ是A′在平面BＣＤ内的射影,连接ＯＥ,ＯD，OC，易知∠A′ＥＯ=θ，∠A′ＤO＝α,∠Ａ′ＣO=β,在矩形ＡBＣD中，作AE⊥BD于Ｅ,延长AＥ交BC于F,由Ｏ点必落在EF上，由ＡD＝错误!未定义书签。

ＡB知OE〈ＡE<CＦ〈CＯ〈ＯD,从而tanθ>tａn β>tａｎα,即θ〉β＞α．
9．已知函数f（ｘ)＝错误!设方程f（x)－错误!＝t(t∈R)的四个不等实数根从小到大依次为ｘ１,ｘ
2，x3，x4，则下列判断中一定成立的是( ）
Ａ。

错误!=1 B．1＜x１x２〈4
C.4〈ｘ３ｘ4<９Ｄ.0<错误!错误!<4
答案 C
解析由题意,作出函数的图象如图所示,
由图可知，0〈x1〈1〈ｘ２<2〈x３＜３<x4〈４,
所以4〈x3x4<16，
又错误!未定义书签。

〉错误!,
得ｌog2错误!未定义书签。

〉－loｇ2错误!,
所以log2错误!错误!〉0,得错误!错误!〉1,即x3ｘ4－4错误!未定义书签。

+15〉0，
又x３+ｘ4>２错误!,所以２错误!未定义书签。

<错误!,
所以错误!错误!未定义书签。

>0,所以x3ｘ4〈9，
综上,4<ｘ3x4＜9。

１0．已知a,b,c∈R且a+b＋c=0,a〉b＞ｃ,则错误!未定义书签。

的取值范围是(）
Ａ。

错误!ﻩＢ．错误!未定义书签。

C．(-＼ｒ(2)，错误!) D．错误!
答案A
解析 由a +b ＋c ＝0，a 〉b 〉c ,得ａ〉０,c 〈0,b ＝-a -ｃ。

因为a >b 〉c ,即a 〉-a －ｃ>c ,解得-2<
错误!〈－错误!。

设t ＝错误!未定义书签。

，则ｔ2
＝错误!=错误!＝1＋错误!未定义书签。

=1+错误!。

令y ＝错误!+错误!未定义书签。

，x ＝错误!,ｘ∈错误!，则ｙ＝x +错误!未定义书签。

，由
对勾函数的性质知函数在(－2，－1]上单调递增，在错误!上单调递减，所以y max ＝－2,ｙ〉－错误!
未定义书签。

,即错误!未定义书签。

＋错误!∈错误!，
所以错误!∈错误!未定义书签。

, 所以ｔ2
∈错误!.
所以t ∈错误!未定义书签。

二、填空题（本大题共７小题，多空题每题6分，单空题每题４分,共36分) １1．二项式(１＋２ｘ)5
中,所有的二项式系数之和为__＿__＿_＿_________； 系数最大的项为__＿＿__＿_． 答案 32 8０ｘ3，
80x 4
解析 所有的二项式系数之和为Ｃ错误!＋C 错误!未定义书签。

＋…＋C 错误!未定义书签。

＝25
=3２，展开式为1+1０x ＋４0ｘ2
+80x ３
＋８０ｘ4
＋32ｘ5
,系数最大的项为80x 3
和80x 4。

12.圆ｘ2
+y ２
-2x -4ｙ=０的圆心Ｃ的坐标是_＿________,设直线l ：ｙ＝ｋ（x +2)与圆Ｃ交于A ,B 两点，若|AB |=2，则k =_＿＿＿＿_____. 答案 (1,２) 0或错误!
解析 由圆的一般方程x 2
＋y 2
-2x －４ｙ＝0可得（ｘ-1)2
+（y －２)2
＝5,故圆心为Ｃ(1,2)．又圆心到直线l 的距离ｄ=错误!未定义书签。

,由弦心距、半径及半弦长之间的关系可得错误!2
+1=5,解得ｋ=０或ｋ＝＼f （12,5)。

1３.在△A ＢC 中,角Ａ，B ，C 所对的边分别为a ,b ，ｃ，已知a ＝3,b =错误!,Ａ＝错误!,则B ＝____＿___;S △ABC ＝_______＿＿＿＿＿_。

答案 错误!未定义书签。

错误! 解析 由已知及正弦定理可得ｓin B =
b si ｎ A
a
=错误!＝错误!, 由于0〈B 〈π，可解得B ＝错误!未定义书签。

或B =错误!未定义书签。

,
因为b〈ａ，利用三角形中大边对大角可知B<A，
所以Ｂ＝错误!，C=π-错误!未定义书签。

－错误!未定义书签。

＝错误!,
所以Ｓ△ABＣ＝错误!未定义书签。

ab sin C=错误!×错误!未定义书签。

×错误!×ｓin错误!未定义书签。

＝错误!。

综上，B=错误!未定义书签。

,S△ABC=错误!未定义书签。

.
1４．在政治、历史、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为___＿.乙、丙两名同学都选物理的概率是＿_______．
答案15错误!未定义书签。

解析由题意知同学甲只要在除物理之外的六门学科中选两门即可,故甲的不同的选法种数为C错误!=错误!=１5(种）；由题意知同学乙、丙两人除选物理之外,还要在剩下的六门学科中选两门,故乙、丙的所有不同的选法种数为ｍ＝C错误!未定义书签。

Ｃ错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

×错误!未定义书签。

＝225（种),而同学乙、丙两人从7门学科中选3门的所有选法种数为n＝Ｃ错误!C错误!未定义书签。

=错误!×错误!=35×35=1 225（种）,故所求事件的概率是P＝错误!＝错误!。

１５.已知正实数ｘ，y满足ｘ+2y=4，则错误!未定义书签。

的最大值为___＿____.
答案 3
解析已知正实数x，y满足x＋2y＝4,根据基本不等式得到错误!＝错误!≤错误!未定义书签。

=3。

当且仅当x＝2y+2,即x=３,ｙ＝错误!未定义书签。

时,等号成立．
16.在△AＢC中,角A，B,C所对的边分别为a，ｂ，c。

若对任意λ∈R,不等式|λBC，→－错误! |≥｜错误!｜恒成立,则错误!未定义书签。

＋错误!未定义书签。

的最大值为_＿_＿＿___.
答案5
解析由对任意λ∈R,不等式｜λ＼ｏ（ＢC,→）-错误!未定义书签。

|≥|错误!｜恒成立,得BC边上的高h≥a。

在△ABC中，有错误!ah＝错误!bcｓin A，即bc=错误!未定义书签。

,
在△ABＣ中，由余弦定理得
b2＋c2=a2＋2bc cｏsＡ＝ａ２＋错误!未定义书签。

,
则错误!＋错误!=错误!＝错误!未定义书签。

＝错误!＝错误!
≤h siｎA+2ｈｃos A
h
=ｓiｎA＋２cｏs A
＝错误!sin（A＋φ),其中ｔan φ=２,
则当A+φ=＼ｆ(π，2)且h=ａ时，错误!未定义书签。

+错误!未定义书签。

取得最大值错误!未定义书签。

17．等差数列｛ａｎ}满足a错误!+a错误!未定义书签。

=1,则a错误!＋a错误!的取值范围是_＿＿_＿___.
答案错误!
解析设错误!⇒a2n+1=a1+2ｎｄ＝coｓα
⇒2nｄ＝cｏs α－sin α⇒a错误!未定义书签。

＋a错误!未定义书签。

＝(a2ｎ+1－nd）2＋(ａ2n+1＋nd)2＝2［a错误!+(ｎd)２］
=２错误!未定义书签。

=2ｃos2α
＋1-2sinαcｏｓα
2
＝＼f(3+2cos 2α-ｓin2α，2)
＝错误!未定义书签。

错误!未定义书签。

,
所以所求的范围为错误!．
三、解答题（本大题共5小题,共74分．)
18．（14分)已知函数f(x）＝ｃoｓｘ错误!未定义书签。

,ｘ∈R．
（1)求f(ｘ)的最小正周期和最大值；
（2)讨论f(x）在区间错误!上的单调性.
解(1）由题意得f(x)=cos x sin x-3coｓ2x
＝错误!sｉn 2ｘ－错误!未定义书签。

错误!
＝错误!未定义书签。

siｎ 2x-错误!未定义书签。

coｓ 2x－＼ｆ(3,2) ＝ｓin错误!-错误!未定义书签。

.
所以f(ｘ)的最小正周期T=＼f（2π，2）=π，其最大值为１-错误!.
(2)令ｚ＝2x-＼f(π,３)，
则函数y=siｎz的单调递增区间是错误!未定义书签。

，k∈Z.
由－错误!＋２kπ≤2x-错误!未定义书签。

≤错误!＋２ｋπ,k∈Z,
得－错误!未定义书签。

＋ｋπ≤x≤错误!未定义书签。

＋ｋπ,k∈Z。

设Ａ=错误!，
ﻬB=错误!，
易知A∩Ｂ＝错误!.
所以当ｘ∈错误!时,f(ｘ)在区间错误!上单调递增;在区间错误!上单调递减．
19.(15分)在四棱锥Ｅ-ABCD中，ＢＣ∥AＤ，AＤ⊥ＤC,AD＝ＤC=２ＢＣ，AB＝ＡE＝ED＝BE，F是AE 的中点.
(1)证明：BF∥平面EDC;
(2)求ＢＦ与平面EBＣ所成角的正弦值．
(1)证明取ED的中点G,连接FＧ,GＣ，
则FG∥ＡＤ，且FG＝＼f(１，２)AD,
又因为BC∥ＡD,且ＢＣ＝错误!ＡD,
所以FＧ∥BC,且FG＝BＣ，
所以四边形ＢFGC是平行四边形，
所以BF∥CG,
因为BF⊄平面ＥDC,ＣG⊂平面EＤC，
所以ＢF∥平面ＥDC。

（2）解分别取AD,BC的中点H,N，连接ＥＨ交FＧ于点M，则M是FＧ的中点，连接MN,则ＢＦ∥ＭN,
所以ＢF与平面EBＣ所成角即为MN与平面EBC所成角,
由EA＝ＥＤ,H是AD的中点，得EH⊥AD，
由于BC∥AD,所以BＣ⊥EＨ,易知四边形BHDC是平行四边形,所以CD∥ＢＨ,
由BC⊥CD,得BＣ⊥ＢH,
又EH∩BＨ=H,所以BC⊥平面EBH，
ﻬ因为BC⊂平面EBＣ,所以平面EBC⊥平面ＥBH,
过点Ｍ作MI⊥BＥ,垂足为I，则MI⊥平面ＥBC,
连接IN,∠MＮI即为所求的角.
设BＣ=１,则AＤ＝CD＝２，所以AB=5，
由AB＝ＢE=AE=错误!未定义书签。

，得BF=错误!,
所以ＭＮ=BF ＝错误!未定义书签。

，
在Rt△AHE 中，由AE =错误!未定义书签。

，ＡH ＝１,得E Ｈ=２, 在△EBH 中，由BH =ＥH ＝２,ＢE =5,
M Ｉ⊥ＢＥ,M 为H Ｅ的中点，可得M Ｉ＝错误!未定义书签。

,
因此sin∠MNI =＼f(M Ｉ，ＭN ）＝错误!未定义书签。

2０．(１5分)正项数列错误!未定义书签。

满足a 错误!未定义书签。

+a n =3a 错误!未定义书签。

＋2a n +1,a 1=1. （１)求a 2的值;
(２)证明:对任意的n ∈N ＊
，a ｎ<2a n ＋1；
（３）记数列｛ａｎ}的前n 项和为Ｓｎ,证明:对任意的n ∈N ＊,
２－错误!≤S ｎ<３。

(1)解 当n ＝１时,由a 错误!+a 1=3a 错误!＋2a 2=2及a 2>０, 得a ２=错误!.
(２)证明 由ａ错误!＋a n =3a 错误!+2a n +1<4a 错误!＋2a n ＋1=（2a n +１）2
＋2a n +1, 又因为y =x ２
＋x 在x ∈(0，＋∞）上单调递增,故a n 〈2a n +1。

(3）证明 由(2）知当ｎ≥2时，错误!>错误!，错误!未定义书签。

>错误!未定义书签。

，…,错
误!未定义书签。

〉错误!未定义书签。

,相乘得
a ｎ>错误!a 1＝错误!未定义书签。

,即a n 〉错误!未定义书签。

，
故当n ≥2时,S ｎ＝ａ１+a 2+…＋ａn >1+1
2＋…+错误!=2-错误!未定义书签。

，
当n =1时，S 1=1＝2－错误!．
所以当n ∈N ＊
时,Ｓｎ≥2－＼f （1,2n -1
).
另一方面，a 错误!未定义书签。

+a ｎ=3a 错误!＋2a n +1〉2a 错误!+2ａn +1 =2（a 错误!＋a n +１),
令ａ错误!未定义书签。

＋aｎ=b n，则b n〉2ｂn＋1,
于是当ｎ≥2时,错误!未定义书签。

<错误!未定义书签。

,错误!未定义书签。

〈错误!未定义书签。

，…，错误!<错误!,相乘得
bｎ<错误!未定义书签。

ｂ１＝错误!，
即a错误!+a n＝ｂn<错误!,故a n〈错误!未定义书签。

,
故当n≥２时,S n＝a１＋(a２+…＋a n)〈1+错误!
=３-错误!未定义书签。

<3.
当ｎ＝1时,S1＝1<３,
综上,对任意的ｎ∈Ｎ*,2-错误!未定义书签。

≤S n〈３。

２1.(15分）已知抛物线C1:ｙ2=4x和C２:x2=２py错误!的焦点分别为Ｆ１，F2,点P错误!未定义书签。

且Ｆ1F２⊥ＯP（O为坐标原点）．
(1）求抛物线Ｃ２的方程;
（2）过点O的直线交C1的下半部分于点M,交C2的左半部分于点N,求△PMN面积的最小值.
解(1)Ｆ1(1，0），F２错误!,
∴错误!＝错误!，
错误!·错误!=错误!·错误!=1-错误!未定义书签。

＝0,
∴p=2,
∴抛物线C2的方程为x2=4ｙ。

(2)由题意知,过点O的直线的斜率一定存在且不为0,设直线方程为y＝ｋｘ，
联立错误!得（kx）２＝4ｘ,求得M错误!，
联立错误!得Ｎ(4k,4k2）（k<0）,
从而|ＭN|=错误!未定义书签。

错误!＝错误!错误!,
点P到直线MN的距离d＝错误!,
S△PMN=1
2
·错误!未定义书签。

·错误!未定义书签。

错误!未定义书签。

＝2错误!未定义书签。

=错误!＝2错误!错误!未定义书签。

,
令t ＝k ＋错误!未定义书签。

错误!，有Ｓ△P ＭN =2（ｔ-2)(ｔ＋1）,
当t ＝－2，k =－1时，S △ＰＭＮ取得最小值.
即当过原点的直线为y =－ｘ时,
△PMN 的面积取得最小值为8。

２2.(15分)已知函数f （x )=ln x -ax ＋1。

（１）讨论函数ｆ(ｘ)的单调性；
（２)设函数g （x )=(x -2）ｅｘ
＋ｆ(x )－１－ｂ,当a ≥1时，g （ｘ)≤0对任意的ｘ∈错误!恒成立,求满足条件的ｂ最小的整数值.
解 (１）由题意知,函数的定义域为(０,+∞),f ′（x )＝错误!未定义书签。

-ａ, 当ａ≤0时，f ′（x ）＝错误!－a ＞0，ｆ(x )的单调递增区间为（0,＋∞）,
当a >0时,令f ′(x ）＝错误!未定义书签。

-a ＝０,ｘ=＼ｆ（1,a ),
由f ′(x )>０，得x ∈错误!，由f ′（x )〈0,得x ∈错误!未定义书签。

，
所以f (ｘ)的单调递增区间为错误!,f (x )的单调递减区间为错误!未定义书签。

综上，当a ≤0时,f （x ）的单调递增区间为(０,+∞）,
当a >０时,f （x ）的单调递增区间为错误!未定义书签。

,单调递减区间为错误!。

(2）由g （x ）＝错误!未定义书签。

e x +ln ｘ-ａx －b ,
因为g (x )≤０对任意的x ∈错误!恒成立， ｂ≥错误!ｅx +ln ｘ-ax 在ａ≥1时对任意的ｘ∈错误!恒成立,
因为a ≥1,ｘ〉0,
所以错误!e x ＋l ｎ x －ａx ≤错误!未定义书签。

e x
+ｌn x -x ,
只需ｂ≥错误!e x ＋l ｎ ｘ-ｘ对任意的ｘ∈错误!恒成立即可.
构造函数ｈ(x )＝错误!e x ＋ln x －x ， h ′(x ）=（x -1）e x +错误!-1＝(ｘ－１）错误!,
因为x ∈错误!未定义书签。

，所以ｘ-1〈0,
且t (ｘ)＝ｅx －错误!未定义书签。

单调递增,
因为t 错误!=－2<0，t 错误!未定义书签。

=e －１〉0，
ﻬ所以一定存在唯一的x 0∈错误!,使得ｔ（x 0)=０，
即ｅx 0=错误!未定义书签。

,x 0=－ｌn x ０。

所以h （ｘ)的单调递增区间为错误!未定义书签。

,单调递减区间为错误!未定义书签。

. 所以ｈ（x ）ma ｘ＝h 错误!未定义书签。

＝错误!ｅx 0+ln x ０-x 0
＝1-2错误!未定义书签。

∈错误!,
所以b 的最小的整数值为-3．
1
2e。