河北省唐山市2017届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试卷

唐山市2016—2017学年度高三年级第一次模拟考试
理科数学
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

4、在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效。

不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答卷上做任何标记。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且
只有一项符合题目要求．
（1）若复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则复平面内表示z 的点位于
（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限
（D ）第四象限
（2）已知集合A ＝{x |x 2－x ＞0}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则
（A ）A ∩B ＝∅ （B ）A ∪B ＝R （C ）B ⊆ A
（D ）A ⊆ B
（3）若函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －
1，x ≤1，5－x 2
，x ＞1，
则f (f (2))＝ （A ）1 （B ）4 （C ）0
（D ）5－e 2 （4）某几何体的三视图如图所示，则其体积为
（A ）π＋4
（B ）2π＋4 （C ）π＋2
（D ）2π＋2
（5）在△ABC 中，∠B ＝90°，AB →＝(1，－2)，AC →＝(3，λ)，则λ＝
（A ）－1
（B ）1 （C ） 3
2
（D ）4
（6）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－4，S 6＝6，则S 5＝
（A ）1 （B ）0 （C ）－2
（D ）4
（7）已知双曲线C ：x 2
－y 2
3
＝1的右顶点为A ，过右焦点F 的直线l 与C 的一条渐近线
平行，交另一条渐近线于点B ，则S △ABF ＝
（A ）3
2 （B ） 3
（C ）334 （
D ）338
（8）二项式(x －a )7的展开式中，含x 4项的系数为－280，则
∫
2e a
1
x
d x ＝ （A ）ln 2 （B ）ln 2＋1
（C ）1
（D ）e 2－14e
2
（9）一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以
设计如图所示的程序框图，若输入的n 为6时，输出结果为2.45，则m 可以是 （A ）0.6 （B ）0.1 （C ）0.01 （D ）0.05 （10）已知ω＞0，将函数f (x )＝cos ωx 的图象向右平移
π
2
个单位后得到函数g (x )＝sin (
ωx － π
4
)
的图象，则ω
的最小值是
（A ） 3
2 （B ）3
（C ） 4 3 （D ）
2
3
（11）在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，
则乙，丙都不．
与甲相邻出场的概率为 （A ） 1 10 （B ） 1
5
（C ） 2 5 （D ）
310
（12）已知a ＞b ＞0，a b ＝b a ，有如下四个结论：
① b ＜e ， ② b ＞e ， ③ ∃a ，b 满足a ·b ＜e 2， ④ a ·b ＞e 2
则正确结论的序号是 （A ）①③ （B ）②③
（C ）①④
（D ）②④
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
（13）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，
x －2y ≥1，x －4y ≤3．
则z ＝x ＋y 的最小值是______．
（14）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)
3，若a 4＝32，则a 1＝______．
（15）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A (0，3)，抛物线C 上的点B 满足AB
⊥AF ，且|BF |＝4，则p ＝______． （16）在三棱锥P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且AB ＝4，AC ＝5，则BC 的取值
范围是______．
三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23）题为选考题．解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝λab ．
（Ⅰ）若λ＝6，B ＝5π
6
，求sin A ；
（Ⅱ）若λ＝4，AB 边上的高为
3c
6
，求C ． （18）（本小题满分12分）
（Ⅰ）若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；
（Ⅱ）用对数回归模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程：y
ˆ＝12ln x ＋22，计算得线性回归模型和对数回归模型的R 2分别约为0.75和0.97，请用R 2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A 超市广告费支出为8万元时的销售额．
参考数据及公式：x －＝8,y －＝42，7
i ＝1
∑x i y i
＝2794，7
i ＝1
∑x 2i
＝708，
b ˆ＝n
i ＝1∑x i y i －n ·x -y
-n i ＝1
∑x 2i －nx
-2，a ˆ＝y -－b ˆx -，ln 2≈0.7．
（19）（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90︒，AC ＝CB ＝2， M ，N 分别为AB ，A 1C 的中点． （Ⅰ）求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；
（Ⅱ）若平面CMN ⊥平面B 1MN ，求直线AB
与平面B 1MN 所成角的正弦值．
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为22，点Q (
b ， a
b
)
在椭圆上，O 为坐标原
点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知点P ，M ，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求该定值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝sin x ＋tan x －2x ．
（Ⅰ）证明：函数f (x )在(
－ π 2， π
2
)
上单调递增；
（Ⅱ）若x ∈(
0， π
2
)
，f (x )＞mx 2，求m 的取值范围．
请考生在第（22），（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos φ，
y ＝－2＋t sin φ
（t 为参数，0≤φ＜π），以坐标原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，l 与C 交于不同的两点P 1，P 2．
（Ⅰ）求φ的取值范围；
（Ⅱ）以φ为参数，求线段P 1P 2中点轨迹的参数方程． （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y ．
（Ⅰ）求
1
x ＋
1
y
的最小值；
（Ⅱ）是否存在x ，y ，满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．
唐山市2016—2017学年度高三年级第一次模拟考试
理科数学参考答案
一．选择题：
A 卷：DBACA BACBA DC
B 卷：DBCAA BABCA D
C 二．填空题：
A C 1
1
C
B
M
N
A 1
（13）－2 （14） 1
2
（15）2或6 （16）(3，41)
三．解答题： （17）解：
（Ⅰ）由已知B ＝5π
6，a 2＋b 2＝6ab 结合正弦定理得：
4sin 2A －26sin A ＋1＝0，于是sin A ＝6±2
4
． …4分 因为0＜A ＜
π
6
，所以sin A ＜
1
2
，取sin A ＝
6－2
4
…6分
（Ⅱ）由题意可知S △ABC ＝ 1 2ab sin C ＝3
12c 2，得：
1 2ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝3
12
(4ab －2ab cos C )． 从而有：3sin C ＋cos C ＝2，即sin (
C ＋
π
6
)
＝1 又
π 6＜C ＋ π 6＜7π6，所以，C ＝ π
3
． …12分
（18）解：
（Ⅰ）b
ˆ＝n
i ＝1
∑x i y i －n ·x -y -n
i ＝1
∑x 2i －nx
-2＝
2794－7×8×42
708－7×82
＝1.7
…3分
a ˆ＝y -－
b ˆx -＝28.4
所以，y 关于x 的线性回归方程是y
ˆ＝1.7x ＋28.4 …6分 （Ⅱ）∵0.75＜0.97，∴对数回归模型更合适. …9分 当x ＝8万元时，预测A 超市销售额为47.2万元．
…12分
（19）解：
（Ⅰ）连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中 点，
又∵M 为AB 的中点，∴MN ∥BC 1，
又BC 1⊂平面BB 1C 1C ，MN ⊄平面BB 1C 1C ， 故MN ∥平面BB 1C 1C ． …4分 （Ⅱ）由A 1A ⊥平面ABC ，得AC ⊥CC 1，BC ⊥CC 1． 以C 为原点，分别以CB ，CC 1，CA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设CC 1＝2λ（λ＞0）， 则M (1，0，1)，N (0，λ，1)，B 1(2，2λ，0)，
CM →＝(1，0，1)，MN →＝(－1，λ，0)，NB 1
→＝(2，λ，－1)．
取平面CMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由CM →·m ＝0，MN →·m ＝0得：
⎩⎨⎧x ＋z ＝0，
－x ＋λy ＝0，
令y ＝1，得m ＝(λ，1，－λ) 同理可得平面B 1MN 的一个法向量为n ＝(λ，1，3λ) …8分
∵平面CMN ⊥平面B 1MN ，∴ m ·n ＝λ2
＋1－3λ2
＝0 解得λ＝
22，得n ＝(
22，1，322
)
，又AB →＝(2，0，－2)， 设直线AB 与平面B 1MN 所成角为θ，则
sin θ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|n ·AB →||n ||AB →|
＝66
．
所以，直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值是6
6
． …12分
（20）解：
（Ⅰ）由e 2
＝
c 2
a 2＝ 1 2，得
b 2
a 2＝ 1
2
，
将Q 代入椭圆C 的方程可得b 2＝4，所以a 2＝8，
故椭圆C 的方程为x 28＋y 2
4
＝1．
…4分
（Ⅱ）当直线PN 的斜率k 不存在时，PN 方程为：x ＝2或x ＝－2， 从而有|PN |＝23，
所以S ＝ 1 2|PN |·|OM |＝ 1
2
×23×22＝26．
…5分
当直线PN 的斜率k 存在时，
设直线PN 方程为：y ＝kx ＋m （m ≠0），P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 将PN 的方程代入C 整理得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－8
1＋2k 2，
…6分
y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m
1＋2k 2，
由OM →＝OP →＋ON →得：M
(－4km 1＋2k 2
，2m
1＋2k
2
)， 将M 点坐标代入椭圆C 方程得：m 2＝1＋2k 2．
…8分
点O 到直线PN 的距离d ＝|m |
1＋k 2
，
|PN |＝1＋k 2|x 1－x 2|，
S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2|＝1＋2k 2·|x 1－x 2|＝16k 2－8m 2＋32＝26． 综上，平行四边形OPMN 的面积S 为定值26． …12分 （21）解：
（Ⅰ）f '(x )＝cos x ＋
1
cos 2x
－2
…2分
因为x ∈(
－ π 2， π
2)
，所以cos x ∈(0，1]，于是
f '(x )＝cos x ＋1cos 2x －2≥cos 2x ＋1
cos 2x
－2≥0（等号当且仅当x ＝0时成立）．
故函数f (x )在(
－ π
2， π
2
)
上单调递增． …4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f (x )在(
0， π
2
)
上单调递增，又f (0)＝0，所以f (x )＞0，
（ⅰ）当m ≤0时，f (x )＞0≥mx 2成立． …5分 （ⅱ）当m ＞0时，
令p (x )＝sin x －x ，则p '(x )＝cos x －1，
当x ∈(0，
π
2
)时，p '(x )＜0，p (x )单调递减，又p (0)＝0，所以p (x )＜0， 故x ∈(
0，
π
2
)
时，sin x ＜x ．（*） …7分
由（*）式可得f (x )－mx 2＝sin x ＋tan x －2x －mx 2＜tan x －x －mx 2， 令g (x )＝tan x －x －mx 2，则g '(x )＝tan 2x －2mx
由（*）式可得g '(x )＜x 2cos 2x －2mx ＝x
cos 2x
(x －2m cos 2x )，
…9分
令h (x )＝x －2m cos 2x ，得h (x )在(
0，
π
2
)
上单调递增， 又h (0)＜0，h
(
π
2)＞0，所以存在t ∈(0，
π
2
)使得h (t )＝0，即x ∈(0，t )时，h (x )＜0， 所以x ∈(0，t )时，g '(x )＜0，g (x )单调递减，又g (0)＝0，所以g (x )＜0，
即x ∈(0，t )时，f (x )－mx 2＜0，与f (x )＞mx 2矛盾． 综上，满足条件的m 的取值范围是(－∞，0]． …12分 （22）解：
（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，将⎩⎨⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ
代入x 2＋y 2＝1得
t 2－4t sin φ＋3＝0（*） 由16sin 2φ－12＞0，得|sin φ|＞3
2，又0≤φ＜π，
所以，φ的取值范围是(
π
3，2π3
)
； …5分
（Ⅱ）由（*）可知，t 1＋t 2
2＝2sin φ，代入⎩⎨⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ
中，
整理得P 1P 2的中点的轨迹方程为
⎩⎨⎧x ＝sin 2φ，y ＝－1－cos 2φ
(φ为参数， π 3＜φ＜2π3)
…10分
（23）解：
（Ⅰ）
1
x ＋
1
y ＝x ＋y
xy ＝x 2＋y
2
xy ≥2xy
xy ＝2，
当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．
所以
1
x ＋
1
y
的最小值为2．
…5分
（Ⅱ）不存在． 因为x 2＋y 2≥2xy ，
所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )， 又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2．
从而有(x ＋1)(y ＋1)≤[
(x ＋1)＋(y ＋1)
2
]
2
＝4，
因此不存在x ，y ，满足(x ＋1)(y ＋1)＝5．
…10分。