四川省成都市中学2023-2024学年高三上学期期末考试 数学(理)含解析

高2021级高三上学期期末测试数学（理科）试题
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）（答案在最后）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}{}
22|20,lo (1|g )A x B x y x x x ===<---，则A B ⋃=（
）A.
()1,1- B.
()
1,3- C.
()
1,-+∞ D.
()
1,+∞2.在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别是()()2,1,1,3--，则2
1
z z 的模是（）
A.5
B.
C.2
D.
3.
已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）
A.
B.22
C.
D.
32
4.下列叙述错误的是（
）
A.命题“R x ∃∈，211x -≤-”的否定是“R x ∀∈，211x ->-”
B.若幂函数()24²22m
y m m x
-=--在()0,∞+上单调递增，则实数m 的值为1
-C.()0,x ∞∀∈+，22log x
x
>D.设a ∈R ，则“23a >”是
“a >
的充分不必要条件
5.平面直角坐标系内，与点(1,1)A 的距离为1且与圆22(1)(4)4x y -+-=相切的直线有（）
A.4条
B.3条
C.2条
D.0条
6.小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为2
3
，记小明射击2次的得分为X ，则()D X =（）A.
89
B.
169
C.
209
D.
269
7.双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >
）的一条渐近线过点(2,P ，1F ，2F 是C 的左右焦点，且
焦点到渐近线的距离为，若双曲线上一点P 满足15PF =，则2PF =（）A.3或7
B.7
C.5
D.3
8.某中学200名教师年龄分布图如图所示，从中随机抽取40名教师作样本，采用系统抽样方法，按年龄从小到大编号为1~200，分为40组，分别为1~5，6~10，…，196~200.若从第4组抽取的号码为18，则样本中40~50岁教师的编号之和为（
）
A.906
B.966
C.1506
D.1566
9.若26
2()x x
-展开式中最大的二项式系数为a ，则直线3
20
y ax =
与曲线2y x =围成图形的面积为（
）
A.
92
B.
72
C.
52 D.
32
10.已知函数π()sin(),0,0,2f x A x x A ωϕωϕ⎛⎫
=+∈>>< ⎪⎝
⎭
R 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（
）
A.()f x
在区间π0,
2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为B.π6f x ⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
为偶函数C.()f x 图象的对称中心是ππ,012k ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，Z k ∈D.()f x 的图象向右平移
π
6
个单位长度后得到sin 2y A x =的图象11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动点，则下
列结论中:①若点Q 为1CC 的中点，则1PA PQ +；②过点P 作与1AD 和1BA 都成
π
6
的直线，
可以作四条；③若点P 为BC 的中点时，过点C 作与直线1D P 垂直的平面α，则平面α截正方体
1111ABCD A B C D -
的截面周长为；④若点P 到直线1BB 与到直线AD 的距离相等，CD 的中点
为E ，则点P 到直线AE
的最短距离是
10
.其中正确的命题有（
）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
12.已知函数()()2,1
ln 1,1
x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()1f x m x =-有5个不同的实数根，且最小的两个实数
根为1x ，2x ，则22
12x x +的取值范围为（）
A .
22e 10,
e -⎛⎫
⎪⎝
⎭
B.212e 0,
e +⎛⎫
⎪⎝⎭ C.2
112e ,
e e +⎛⎫
⎪⎝⎭
D.2
2e 12,e
e -⎛⎫
⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知()1,2a =- ，()2,3b = ，则a 在b
方向上的投影数量等于__________．
14.已知,x y 满足约束条件210
210230
x y x y x y +-≤⎧⎪
++≥⎨⎪-+≥⎩
，则32y x ++的取值范围为______．
15.已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为4，点()11,M x y ，
()22,N x y 在抛物线C 上，若()()12122248y y y y -+=，则
MF
NF
=___.16.在锐角三角形ABC 中，角、、A B C 所对的边为a b c 、、
，且2sin cos 2sin cos b C C c C A -=.若点H 为ABC 的垂心，则
ABC
HBC
S S 的最小值为____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.某汽车销售店以8万元每辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，且每辆汽车的售价每提高1千元时，年销售量就减少2辆.
（1）若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆?
（2）该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万元;若分4期或5期付款,其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车情况进行了统计，统计结果如下表：付款方式一次性
分2期
分3期
分4期
分5期
频数
11323
若X 表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.
18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且122n n a S +=+，数列{}n b 满足12b =，1(2)n n n b nb ++=，其中n ∈N*．
（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）若21
n
n a c n ⋅=
+，求数列{}n n b c 的前n 项和n T ．19.在梯形ABCD 中，AB CD ，π
3
BAD ∠=，224AB AD CD ===，P 为AB 的中点，线段AC 与DP
交于O 点（如图1）.将ACD 沿AC 折起到ACD '△位置，使得平面D AC '⊥平面BAC （如图2）.
（1）求二面角A BD C '--的余弦值；
（2）线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '所成角的正弦值为8
若存在，求出PQ PD '的值；
若不存在，请说明理由.
20.已知函数()ln P x x x λ=-，(R)λ∈.
（1）若函数()y P x =只有一个零点，求实数λ的取值所构成的集合；（2）已知(0,e)λ∈，若()()e
x
f x x P x λ=-+，函数()f x 的最小值为()h λ，求()h λ的值域.
21.已知椭圆C ：()22
2211x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，1F 到直线2AF 的距
，且22AF =.（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）过2F 的直线m 与椭圆E 交于,M N 两点，过2F 且与m 垂直的直线n 与圆O ：224x y +=交于C ，D 两点，求MN CD +的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨
=+⎩
（α为参数，0,2απ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦）．以坐标原点为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()cos 3m ρθρπ⎛
⎫
-=∈ ⎪⎝
⎭
R ．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 有2个公共点，求m 的取值范围．23.已知函数()21f x x x =+-+.（1）解不等式()7f x ；
（2）若不等式()2(0)mx f x m +> 对于x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.
高2021级高三上学期期末测试数学（理科）试题
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}{}
22|20,lo (1|g )A x B x y x x x ===<---，则A B ⋃=（
）A.
()1,1- B.
()
1,3- C.
()1,-+∞ D.
()
1,+∞【答案】C 【解析】
【分析】解不等式化简集合A ，求出函数的定义域化简集合B ，再利用并集的定义求解即得.【详解】解不等式220x x --<，得12x -<<，即(1,2)A =-，函数2log (1)y x =-有意义，得10x ->，解得1x >，则(1,)B =+∞，所以()1,A B =-+∞ .故选：C
2.在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别是()()2,1,1,3--，则2
1
z z 的模是（）
A.5
B.
C.2
D.
【答案】D 【解析】
【分析】由复数对应的点求出复数的代数形式，利用共轭复数和复数的除法化简，模长公式求模.【详解】复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别是()()2,1,1,3--，则有12i z =-，213i z =-，213i z =+，
()()()()2113i 2i 13i 17i 2i 2i 2i 55
z z +++===-+--+
，21z z ==.故选：D
3.
已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）
A.
B.
2
C.
D.
2
【答案】A 【解析】
【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．
【详解】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，
则π2πl r =，所以2l r =，所以2
l
r ==.故选：A.
4.下列叙述错误的是（
）
A.命题“R x ∃∈，211x -≤-”的否定是“R x ∀∈，211x ->-”
B.若幂函数()24²22m
y m m x
-=--在()0,∞+上单调递增，则实数m 的值为1
-C.()0,x ∞∀∈+，22log x
x
>
D.设a ∈R ，则“23a >”是“a >的充分不必要条件
【答案】D 【解析】
【分析】写出存在量词命题的否定判断A ；利用幂函数的定义性质求出m 判断B ；借助指对数函数图象判断C ；利用充分不必要条件定义判断D.
【详解】对于A ，命题“R x ∃∈，211x -≤-”的否定是“R x ∀∈，211x ->-”，A 正确；对于B ，由²221
240
m m m --=⎧⎨
->⎩，解得1m =-，B 正确；
对于C ，当0x >时，函数2x y =的图象在直线y x =上方，函数2log y x =的图象在直线y x =下方，则
22log x x >，C 正确；
对于D ，由23a >，得a <a >“23a >”不是“a >的充分不必要条件，D 错误.
故选：D
5.平面直角坐标系内，与点(1,1)A 的距离为1且与圆22(1)(4)4x y -+-=相切的直线有（）
A.4条
B.3条
C.2条
D.0条
【答案】B 【解析】
【分析】根据给定条件，判断以点A 为圆心，1为半径的圆与已知圆的位置关系即可得解.
【详解】依题意，与点(1,1)A 的距离为1的直线始终与以点A 为圆心，1为半径的圆22(1)(1)1x y -+-=相切，
而此直线与圆22(1)(4)4x y -+-=相切，因此该直线是圆22(1)(1)1x y -+-=与圆
22(1)(4)4x y -+-=的公切线，
又圆22(1)(4)4x y -+-=的圆心(1,4)C ，半径为2，显然||312AC ==+，所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数是3.故选：B
6.小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为2
3
，记小明射击2次的得分为X ，则()D X =（）A.
89
B.
169
C.
209
D.
269
【答案】B 【解析】
【分析】先找出X 的取值可能，计算每种可能的概率后结合方差定义计算即可得.【详解】由题意可知，X 的取值可能为2-，0，2，因为()2242339
P X ==
⨯=，()111
2339P X =-=⨯=，
()12
214
0C 339P X ==⨯⨯=，所以()()4142
2209993
E X =⨯+-⨯+⨯=，
故()222
242124162203939399D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+--⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B.
7.双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线过点(2,P ，1F ，2F 是C 的左右焦点，且
焦点到渐近线的距离为，若双曲线上一点P 满足15PF =，则2PF =（）A.3或7 B.7
C.5
D.3
【答案】B 【解析】
【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用给定条件求出,a b ，再利用双曲线定义求解即得.
【详解】双曲线C ：22
221x y a b
-=的渐近线方程为0bx ay ±=，由P 在其中一条渐近线上得
=b ，
因为焦点到渐近线的距离为
2(,0)F c 到一条渐近线距离
b ==，
因此1a =，由双曲线定义得21||||||2PF PF -=，而15PF =，解得27PF =或23PF =，
显然5c =，双曲线C ：2
2
124
y x -=上的点到焦点距离的最小值为4c a -=，所以27PF =.
故选：B
8.某中学200名教师年龄分布图如图所示，从中随机抽取40名教师作样本，采用系统抽样方法，按年龄从小到大编号为1~200，分为40组，分别为1~5，6~10，…，196~200.若从第4组抽取的号码为18，则样本中40~50岁教师的编号之和为（
）
A.906
B.966
C.1506
D.1566
【答案】D 【解析】
【分析】先求出40~50岁教师的编号范围，再得出分别在哪些组中，由系统抽样方法得出被抽出的编号，从而得出答案.
【详解】因为200名教师中40~50岁教师占30%，
所以200名教师中40~50岁教师有60人，编号分布在101~160之间，在第21~32组中，所以样本中40~50岁教师的编号分别为103，108，…，158，故样本中40~50岁教师的编号之和为()
1210315815662
⨯+=.
故选：D
9.若26
2()x x
-展开式中最大的二项式系数为a ，则直线3
20
y ax =
与曲线2y x =围成图形的面积为（
）
A.
92
B.
72
C.
52 D.
32
【答案】A 【解析】
【分析】由二项式定理及组合数性质得20a =，再应用定积分及微积分基本定理求围成图形的面积.【详解】由二项式定理及组合数性质知：最大的二项式系数为3
6C 20a ==，所以直线3
320
y ax x =
=，联立2y x =，得23x x =，故0x =或3，
所以直线3y x =与曲线2y x =围成图形的面积为
3
2
23300
31319(3)d ()|(927)023232
x x x x x -=-=⨯-⨯-=⎰.故选：A
10.已知函数π()sin(),0,0,2f x A x x A ωϕωϕ⎛⎫
=+∈>>< ⎪⎝
⎭
R 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（
）
A.()f x
在区间π0,
2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为B.π6f x ⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
为偶函数C.()f x 图象的对称中心是ππ,012k ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，Z k ∈D.()f x 的图象向右平移π
6
个单位长度后得到sin 2y A x =的图象【答案】B 【解析】
【分析】根据图象求得()f x 的解析式，结合三角函数最值、奇偶性、对称性、图象变换等知识确定正确答案.
【详解】由图可知2A =，
5πππ2π,π,241264T T ωω
=-====，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，πππ2sin 2,sin 1633f ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，由于ππππ5π
,22636
ϕϕ-
<<-<+<，所以
πππ,326ϕϕ+==，所以()π2sin 26f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
A ，πππ7π
0,22666
x x ≤≤
≤+≤，
当π7ππ2,662x x +
==时，()f x 取得最小值为1212⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭
，故A 错误；B ，ππππ2sin 22sin 22cos 26662f x x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，故B 正确；C ，由π2π,Z 6x k k +
=∈解得ππ
,Z 122
k x k =-+∈，故C 错误；D ，()f x 的图象向右平移π6个单位得到2sin 22sin π6π6π26y x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故D 错误.故选：B
11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动点，则下
列结论中:①若点Q 为1CC 的中点，则1PA PQ +；②过点P 作与1AD 和1BA 都成
π
6
的直线，可以作四条；③若点P 为BC 的中点时，过点C 作与直线1D P 垂直的平面α，则平面α截正方体
1111ABCD A B C D -的截面周长为；④若点P 到直线1BB 与到直线AD 的距离相等，CD 的中点
为E ，则点P 到直线AE 的最短距离是
10
.其中正确的命题有（）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【答案】C 【解析】
【分析】延长QC 到Q '，使1CQ '=，求出1A Q '判断①；求出过点B 与直线11,BA BC 都成
π
6
的直线条数判断②；作出符合条件的截面并求出周长判断③；确定点P 轨迹，建系求出方程，再利用点到直线距离公式求出最小值判断④即可得解.
【详解】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，
延长QC 到Q '，使1CQ '=，由点Q 为1CC 的中点，得平面ABCD 是线段QQ '的中垂面，连接111,A Q A C '，
则PQ PQ '=，111
PA PQ PA PQ AQ ''+=+≥==
=,
当且仅当点P 为直线1A Q '与平面ABCD 的交点时取等号，①正确；
连接1BC ，四边形11ABC D 是正方体1AC 的对角面，则四边形11ABC D 是矩形，即11//BC AD ，显然1111A B BC A C ==，则11π3A BC ∠=
，11A BC ∠的平分线与直线11,BA BC 都成π
6的角，显然在空间过点B 作与直线11,BA AD 都成π
6
角的直线只有1条，则过空间任意点作与直线11,BA AD 都成
π
6
角的直线只有1条，②错误；
当点P 为BC 的中点时，取1,BB BA 的中点,F G ，连接1,,,CG CF GF C P ，
显然Rt BCF ≌1Rt CC P ，则1BCF CC P ∠=∠，111π
2
CPC BCF CPC CC P ∠+∠=∠+∠=，即有1CF C P ⊥，而11D C ⊥平面11BCC B ，CF ⊂平面11BCC B ，则11CF D C ⊥，
又1111111,,D C C P C D C C P =⊂ 平面11D C P ，于是CF ⊥平面11D C P ，而1D P ⊂平面11D C P ，因此1CF D P ⊥，同理1CG D P ⊥，显然,,CG CF C CG CF =⊂ 平面CGF ，
所以CGF △是平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面，其周长为GF CG CF ++=，③
错误；
由于1BB ⊥平面ABCD ，则点P 到直线1BB 距离等于PB ，即点P 到点B 的距离等于它到直线AD 的距离，因此点P 轨迹是以点B 为焦点，直线AD 为准线的抛物线在正方形ABCD 及内部，以线段AB 中点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
点P 轨迹方程为24(02)y x y =≤≤，直线AE 的方程为22y x =+，令000(,1)P x x x ≤，因此点P 到直线AE ：220x y -+=的距离0020|222|
1()25
525
x x d x -+=
=
+
，于是当014x =
，即点1(,1)4P 时，min 35
10
d =
，④正确，所以正确命题的个数为2.故选：C
【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.
12.已知函数()(
)2
,1
ln 1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()1f x m x =-有5个不同的实数根，且最小的两个实数
根为1x ，2x ，则22
12x x +的取值范围为（）
A.22e 10,
e -⎛
⎫
⎪⎝
⎭
B.212e 0,
e +⎛⎫
⎪⎝⎭ C.2
112e ,
e e +⎛⎫
⎪⎝⎭
D.22e 12,e e -⎛⎫
⎪⎝
⎭
【答案】B 【解析】
【分析】根据题意作出()f x 与1y m x =-的大致图象，结合图象与导数的几何意义求得m 的取值范围，再利用韦达定理得到2
2
12x x +关于m 的表达式，从而得解.
【详解】如图，作出函数()()2,1
ln 1,1
x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩与1y m x =-
的大致图象，
若方程()1f x m x =-有5个不同的实数根，
则()f x 的图象与1y m x =-的图象有5个不同的交点，
当0m <时，10y m x =-≤，()f x 的图象与1y m x =-的图象无交点，当0m =时，10y m x =-=，()f x 的图象与1y m x =-的图象有2个交点所以0m >，
当直线1y m x =-与()ln 1y x =-的图象相切时，设切点坐标为()()
00,ln 1x x -，
由()ln 1y x =-可得1
1
y x '
=-，则切线斜率()000ln 1111x k x x -==--，
故0e 1x =+，则1e k =
，结合图象可得m 的取值范围为10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由()
2
1y x y m x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩，得20x mx m +-=，则240m m ∆=+>恒成立，设该方程的两个实数根为1x ，2x ，则12x x m +=-，12x x m =-，
故()2
22212121222x x x x x x m m +=+-=+，
因为22y m m =+开口向上，对称轴为1m =-，
又10e m <<，所以22
12x x +的取值范围为212e 0,e +⎛⎫ ⎪⎝
⎭．故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是作出()f x 与1y m x =-的大致图象，充分利用数形结合求得m 的取值范围，从而得解.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知()1,2a =- ，()2,3b = ，则a 在b
方向上的投影数量等于__________．
【答案】13
【解析】
【分析】由向量数量积的几何意义，应用数量积、模长的坐标运算求a
在b
方向上的投影数量.
【详解】a 在b 方向上的
投影数量13||a b b ⋅==
.
故答案为：
13
14.已知,x y 满足约束条件210
210230
x y x y x y +-≤⎧⎪
++≥⎨⎪-+≥⎩
，则32y x ++的取值范围为______．
【答案】(]2,4-【解析】
【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后设3
2
y k x +=+，k 表示点(),x y 与点()2,3--连线的斜率，观察图像计算可得范围.
【详解】作出不等式组210210230x y x y x y +-≤⎧⎪
++≥⎨⎪-+≥⎩
表示的平面区域如下图：
设3
2
y k x +=
+，则k 表示点(),x y 与点()2,3P --连线的斜率，
又31
421
PA k --=
=-+，所以24k -<≤，即
3
2
y x ++的取值范围为(]2,4-.故答案为：(]
2,4-.15.已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为4，点()11,M x y ，
()22,N x y 在抛物线C 上，若()()12122248y y y y -+=，则MF
NF
=___.【答案】4【解析】
【分析】先求得抛物线C 的方程，再利用抛物线定义和题给条件即可求得MF NF
的值.
【详解】抛物线()2
:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为4，
则4p =，则抛物线2:8C y x =，
由点()11,M x y ，()22,N x y 在抛物线C 上，可得2118y x =，2
228y x =，
由()()12122248y y y y -+=，可得2
2
12448y y -=，
即1246x x -=，则()()122420x x +-+=，又122,2MF x NF x =+=+，则40MF NF -=，则4
MF NF
=故答案为：4
16.在锐角三角形ABC 中，角、、A B C 所对的边为a b c 、、
，且2sin cos 2sin cos b C C c C A -=.若点H 为ABC 的垂心，则
ABC
HBC
S S 的最小值为____________．
【答案】3+【解析】
【分析】由2sin cos 2sin cos b C C c C A =，结合正弦定理和诱导公式π4
A =
，，连接AH 并延长，与
BC 交于点D ，延长CH 与AB 交于点E ，则HD BC ⊥，HE AB ⊥，然后利用面积公式和和差角公式，结合三角函数的有界性求解即得.
【详解】根据2sin cos 2sin cos b C C c C A -=，
由正弦定理得，2sin sin sin cos sin cos 2
B C C A C C =+，因为锐角三角形ABC ，所以sin 0C ≠，
sin sin cos cos 2
B C A C =+
，又()()sin sin πsin sin cos sin cos B A C A C C A A C ⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，
sin cos cos 2
A C C =
，易知cos 0C ≠，sin 2A =
，又π02A <<，所以π4A =，然后利用面积公式和和差角公式求解即得.
如图，连接AH 并延长，与BC 交于点D ，延长CH 与AB 交于点E ，则HD BC ⊥，HE AB ⊥，所以cos CD b ACB =∠，π2DHC BCE ∠+∠=，π
2
ABC BCE ∠+∠=，所以DHC ABC ∠=∠，
所以cos cos cos tan tan sin CD b ACB b ACB ABC
HD DHC ABC ABC ∠∠∠=
==∠∠∠，
所以1cos cos 22sin HBC ab ACB ABC
S a HD ABC ∠∠=⋅=∠ ，
又1
sin 2
ABC S ab ACB ∠= ，
1
sin sin sin 2cos cos cos cos 2sin ABC HBC
ab ACB
S ACB ABC ab ACB ABC S ACB ABC ABC
∠∠∠==∠∠∠∠∠ ，又3π4
ACB ABC ∠+∠=，
所以()()()()cos cos cos cos ABC HBC ABC ACB ABC ACB S S ABC ACB ABC ACB ∠-∠-∠+∠=∠-∠+∠+∠ ，()
2
cos 2122
22ABC ACB ∠-∠+
=+，
因为3ππ42ABC ACB ∠=
-∠<，所以ππ
42
ACB <∠<，所以3πππ22,444ABC ACB ABC ACB ACB ACB ⎛⎫
∠-∠=∠+∠-∠=
-∠∈- ⎪⎝⎭
，所以()cos ,12ABC ACB ⎛⎤∠-∠∈ ⎥
⎝⎦，所以(
)cos 0,122ABC ACB ⎛∠-∠-∈-
⎝⎦
，
)22
2
∞
⎡++⎣
，
)
3ABC HBC S S ∞⎡
∈++
⎣
，
故答案为：3+【点睛】关键点点睛：将ABC
HBC
S S ∆∆用关于,ABC ACB ∠∠的三角函数表示，进而借助三角函数的有界性求解
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.某汽车销售店以8万元每辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，且每辆汽车的售价每提高1千元时，年销售量就减少2辆.（1）若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆?
（2）该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万元;若分4期或5期付款,其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车情况进行了统计，统计结果如下表：付款方式一次性
分2期
分3期
分4期
分5期
频数
11323
若X 表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）11.5万元/辆
（2）分布列见解析，1745
【解析】
【分析】（1）设销售价格提高了0.1x 万元/辆，年利润为y 万元，表示出利润，即可得出结果；（2）利用超几何分布结合古典概型求概率，得出分布列即可求解数学期望.【小问1详解】
设销售价格提高了0.1x 万元/辆，年利润为y 万元．则由题意得年销售量为1002x -，
()()()2
100.1810020.215245y x x x ∴=+--=--+．
故当15x =时，y 取最大值．此时售价为100.11511.5+⨯=万元/辆．所以当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．【小问2详解】
由图表可知，利润为2万元的有1辆，利润为2.5万元的有4辆，3万元的有5辆．
所以()22
45
2
10C C 160C 45P X +===，()1111
4145
2
10C C C C 240.5C 45P X +===，()11
51
210C C 511C 459
P X ====，
所以X 的分布列为：
X
0.5
1P
1645
24
45
19
所以X 的数学期望()162411700.54545945
E X =
⨯+⨯+=．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且122n n a S +=+，数列{}n b 满足12b =，1(2)n n n b nb ++=，其中n ∈N*．
（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若21
n
n a c n ⋅=
+，求数列{}n n b c 的前n 项和n T ．
【答案】（1）1
23
n n a -=⋅；(1)
n b n n =+（2）1(21)3n
n T n =+-⋅【解析】
【分析】（1）根据题意推得13,N n n a n a *+=∈，得到数列{}n a 为等比数列，求得1
23n n a -=⋅，再由12n n b n b n
++=，利用累乘法，求得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）知1
23n n a -=⋅，(1)n b n n =+，得到1
43n n n b c n -=⋅，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.
【小问1详解】
解：由122n n a S +=+，可得122,2n n a S n -=+≥，两式相减，可得12n n n a a a +=-，即13n n a a +=，又由1n =时，211122223a S a a =+=+=，可得
2
1
3a a =，所以1
3,N n n
a n a *+=∈，所以数列{}n a 是首项为12a =，公比3q =的等比数列，故数列{}n a 的通项公式为1
23n n a -=⋅，
由1(2)n n n b nb ++=，可得
12
n n b n b n
++=，故
2131b b =，3242b b =，4353b b =，……，122n n b n b n --=-，11
1
n n b n b n -+=-，以上1n -个式子相乘得，()113451123212
n n n b n n b n n ++=⨯⨯⨯⨯⨯=-- ，
所以数列{}n b 的通项公式为(1)n b n n =+.【小问2详解】解：由（1）知1
23
n n a -=⋅，(1)n b n n =+，
可得124311
n n n a c n n -⋅⋅==
++，所以1
43n n n b c n -=⋅，
所以011
11...4(1323 (3)
)n n n n T b c b c n -=++=⨯⨯+⨯++⋅，
12134[1323...(1)33]n n n T n n -=⨯⨯+⨯++-⋅+⋅，
两式相减得，0
1
2
1
31
24(333...33)4(3)2
n n n
n n T n n ---=⨯++++-⋅=⋅，
所以1(21)3n
n T n =+-⋅．
19.在梯形ABCD 中，AB CD ，
π
3
BAD ∠=，224AB AD CD ===，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图1）.将ACD 沿AC 折起到ACD '△位置，使得平面D AC '⊥平面BAC （如图2）.
（1）求二面角A BD C '--的余弦值；
（2）线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '所成角的正弦值为6
8
若存在，求出PQ PD '的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】19.7
-20.存在，1
3
PQ PD '=【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量求解；
（2）设()'
01PQ PD λλ=≤≤ ，表示出CQ ，利用向量的夹角公式代入列式，即可得解.
【小问1详解】
因为在梯形ABCD 中，//AB CD ，224AB AD CD ===，π
3
BAD ∠=，P 为AB 的中点，所以，//CD PB ，CD PB =，
所以ADP △是正三角形，四边形DPBC 为菱形，可得AC
BC ⊥，AC DP ⊥，
而平面'D AC ⊥平面BAC ，平面'D AC ⋂平面BAC AC =，
'D O ⊂平面'D AC ，'D O AC ⊥，
'D O ∴⊥平面BAC ，所以OA ，OP ，'OD 两两互相垂直，
如图，以点O 为坐标原点，OA ，OP ，'OD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
则)
A
，()C
，(
)2,0B ，()'0,0,1D ，()0,1,0P
，
()'
AD ∴=
，()AB =-
，)'
2,1BD =-
，)
'CD =
，
设平面'
ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =
，则
00m AD m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩
，即11110
20z y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令11x =
，则11y z ==
，(m ∴=
，
设平面'
CBD 的一个法向量为()222,,x n y z =
，则
00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩''
，即2222220
0y z z -+=+=，令21x =，则20y =
，2z =
(1,0,n ∴=
，
110cos ,7m n m n m n
⨯++⋅∴==-
，
所以二面角'A BD C -
-的余弦值为7
-
.【小问2详解】
线段'
PD 上存在点Q ，使得CQ 与平面'BCD 所成角的正弦值为
8
.设()'
01PQ PD λ
λ=≤≤ ，因为)
CP =
，()'0,1,1PD =-
，所以
)
',
CQ CP PQ CP PD
λλλ
=+=+=-
，
设CQ与平面'
BCD所成角为θ
，则
sin cos,
8
CQ n
CQ n
CQ n
λ
θ
⋅-
===
，
即2
3720
λλ
-+=，01
λ
≤≤
，解得
1
3
λ=，
所以线段'
PD上存在点Q，且'
1
3
PQ
PD=，使得CQ
与平面'
BCD所成角的正弦值为
8
.
20.已知函数()ln
P x x x
λ
=-，(R)
λ∈.
（1）若函数()
y P x
=只有一个零点，求实数λ的取值所构成的集合；
（2）已知(0,e)
λ∈，若()
()e x
f x x P x
λ
=-+，函数()
f x的最小值为()
hλ，求()
hλ的值域.
【答案】（1）(){}
,0e
-∞
（2）(1,2e).
【解析】
【分析】（1）由题意，0
λ≠且1
x≠，问题转化为方程
ln
x
x
λ=只有一个根，利用导数研究函数单调性，作出函数图象，数形结合判断λ的取值.
（2）()e ln
x
f x x
λλ
=-，通过构造函数判断()
f x
'的符号得()
f x的单调性，由最小值得()
hλ，再由()
f x
'
的零点，构造函数利用导数通过单调性求()
hλ的值域.
【小问1详解】
函数()ln
P x x x
λ
=-，定义域为()
0,∞
+，
当0
λ=时，显然不满足题意，
当0
λ≠时，若函数()
y P x
=只有一个零点，即ln0
x x
λ
-=只有一个根，
因为1不是方程的根，所以可转化为
ln
x
x
λ=只有一个根，
即直线yλ
=与函数()
ln
x
g x
x
=（0
x>且1
x≠）的图象只有一个交点.
2
ln1
()
ln
x
g x
x
'
-
=，令()0
g x'=，得e
x=，
在()
0,1和()
1,e上，()0
g x
'<，在()
e,+∞上，()0
g x
'>，
所以()g x 在和
()1,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增.
在e x =时有极小值(e)e g =，()g x
图象如图所示：
由图可知：若要使直线y λ=与函数()ln x
g x x
=
的图象只有一个交点，则0λ<或e λ=，综上λ的取值所构成的集合为(){},0e -∞ .【小问2详解】
由题意知()e ln x f x x λλ=-，()(e 1),x f x x x
λλ
'=
-令()e 1(0)x t x x x λ=-≥，得()(1)e 0x t x x λ'=+>，所以()t x 在[0,)+∞上单调递增.又(0)10,(1)e 10t t λ=-<=->，由零点的存在性定理知存在0(0,1),x ∈使得0
0e
10x x λ-=，
所以当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0()x x ∞∈+，
时，()0f x '>，()f x 单调递增.故0
00()()e ln .
x h f x x λλλ==-又0
0e
10x x λ-=，所以0
ln x x λ=-
，又(0,e)λ∈，所以000e ln x x <-<.令ln ()x r x x =-
，则2ln 1
()x r x x
-'=，()0r x '<在(0,1)恒成立，()r x 在(0,1)单调递减，1(1)0,e e r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，由000e ln x x <-
<得011e x <<.将00ln x x λ=-代入0
0()e ln x h x λλλ=-，得20000(ln )11()1e x h x x x λ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭.令21(ln )1()1e x M x x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭
，得2
2
(ln 1)()0x M x x -'=-<，所以21(ln )1()1e x M x x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭在1,1e ⎛⎫
⎪
⎝
⎭单调递减，又12e,(1) 1.e M M ⎛⎫== ⎪⎝⎭
所以()h λ的值域为(1,2e).【点睛】方法点睛：
利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
21.已知椭圆C ：()22
2211x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，1F 到直线2AF 的距
，且22AF =.（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）过2F 的直线m 与椭圆E 交于,M N 两点，过2F 且与m 垂直的直线n 与圆O ：224x y +=交于C ，D 两点，求MN CD +的取值范围.
【答案】（1）22
1
43x y +=
（2）7,4⎡+⎣【解析】
【分析】（1）根据题意，得到直线2AF 的方程0bx cy bc +-=，结合1F 到直线2AF 的距离，进而求得,a b 的值，即可求解；
（2）①当直线m 的斜率为0时，直线m 和n 的方程，求得,MN CD 的值，得到MN CD +；②当直线m 的斜率不存在时，直线m 和n 的方程，求得,MN CD ，可得MN CD +；③当直线m 的斜率存在且不为0时，设():1m y k x =-，直线()1
:1n y x k
=-
-，结合韦达定理和弦长公
式，求得()
2212143k MN CD k ++=++.
【小问1详解】
解：由题意得，直线2AF 的方程为1x y
c b +=，即0bx cy bc +-=，
则1F 到直线2AF 2bc
a
=
=，
又由22AF a ===，且222a b c =+，可得1b c ==，
所以椭圆E 的标准方程为22
143
x y +=.
【小问2详解】
解：①当直线m 的斜率为0时，直线m 的方程为0y =，代入椭圆方程可得()2,0M -，()2,0N .
直线n 的方程1x =，代入圆22:4O x y +=的方程可得(1,C ，(D ，
所以4MN =，CD =，可得4MN CD +=+；②当直线m 的斜率不存在时，直线m 的方程为1x =，代入椭圆方程可得31,2M ⎛⎫-
⎪⎝
⎭，31,2N ⎛⎫
⎪⎝⎭
.直线n 的方程0y =，代入圆的方程可得()2,0C -，()2,0D ，所以3MN =，4CD =，可得7MN CD +=；③当直线m 的斜率存在且不为0时，设():1m y k x =-，则()1
:1n y x
k =-
-，点O 到直线n 的距离d =，圆的半径2r =，
根据圆的性质得，所以CD ==，
将()1y k x =-代入曲线E 的方程22
143
x y +=，
整理得(
)
2
222
4384120k x k x k +-+-=，则()
()()
2
2
22Δ8443412k k k =--+-()2
14410k =+>恒成立.
设()11,M x y ，()22,N x y ，由韦达定理可得，2122843
k x x k +=+，2122412
43k x x k -=+，
则12MN x =
-=()22
12143
k k +=
+，
所以()
2212143k MN CD k ++=++，
因为20k >，所以21
011k <
<+，所以213441
k <-<+，
令)
t ==，则212
2MN CD t t
+=
+，且)
t ∈.
令()212
2f t t t
=+，)
t ∈
，则()()333
1224202t f t t t
'-=-=<在)
t ∈上恒成立，
所以()f t 在
)2上单调递减.又4f =+，()27f =，
所以()(7,4f t ∈+，即(7,4MN CD +∈+，
综上所述，MN CD +的取值范围是7,4⎡+⎣.
【点睛】方法点睛：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧：
1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；
2、
当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨
=+⎩
（α为参数，0,2απ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦）．以坐标原点为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()cos 3m ρθρπ⎛
⎫
-=∈ ⎪⎝
⎭
R ．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 有2个公共点，求m 的取值范围．
【答案】（1）()()2
22101,23x y x y +-=≤≤≤≤
，20x m -=（2
）,12⎡⎢
⎣【解析】
【分析】（1）消参后结合0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
可得曲线C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标的转化公式，可化简
直线l 为直角坐标方程.
（2）利用数形结合求参数的取值范围.【小问1详解】
因为0,2απ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
，[]cos 0,1x α=∈，[]
2sin 2,3y α=+∈，
将曲线C 的参数方程中的参数消去，并结合0,2
απ⎡∈⎤
⎢⎥
⎣⎦
可得曲线C 的普通方程为：()()2
22101,23x y x y +-=≤≤≤≤．直线l
的极坐标方程为π1cos cos sin 322
m ρθρθθ⎛
⎫-
=+= ⎪⎝
⎭，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得直线l
的直角坐标方程为20x m -=．【小问2详解】
曲线C 是以()0,2为圆心，1为半径的四分之一圆弧，
且圆弧两端点的坐标分别为()0,3和()1,2，作出曲线C 与直线l ，如图所示，当直线l 经过点()0,3时，直线l 与曲线C 有两个交点，此时33
2
m =
．当直线l 与曲线C
相切时，有
1=
，解得1m =
1m =（舍去）
．数形结合可知m
的取值范围为,12⎡+⎢⎣．
23.已知函数()21f x x x =+-+.（1）解不等式()7f x ；
（2）若不等式()2(0)mx f x m +> 对于x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）[]2,4-（2）10,2
⎛⎤ ⎥
⎝
⎦
【解析】
【分析】（1）分类讨论将函数的绝对值去掉.
（2）依据绝对值函数的特殊性进行分类讨论，解出每种情况下参数的取值范围，最后求交集.【详解】解：（1）()7f x ≤，即26x x +-≤，利用零点分区间法，对()f x 去绝对值，当0x <时，由226x -+≤，得2x ≥-，所以[)2,0x ∈-，当02x ≤<时，26≤成立，所以[)0,2x ∈，当2x ≥时，由226x -≤，得4x ≤，所以[]
2,4x ∈.综上可知，不等式()7f x ≤的解集为[]2,4-.（2）由题意，可知0m >，由（1）得当0x <时，12m x ≥-+
恒成立，因为1
20x
-+<，所以0m >时不等式恒成立；当0x =时，23≤恒成立，所以0m >时不等式恒成立；
当02x <<时，1
m x
≤
恒成立，而112x >，所以102m <≤时不等式恒成立；
当2x ≥时，即32m x ≤-恒成立，而13
222x
≤-<，
所以1
02
m <≤不等式恒成立.
综上，满足要求的m的取值范围为
1 0,
2⎛⎤ ⎥⎝⎦
.
【点睛】对于恒成立问题，若进行了分类讨论，则最后参数的取值范围必须是每种情况下取值范围的交集.。