一种新型两自由度柔性并联机械手的动力学建模和运动控制_胡俊峰

一种新型两自由度柔性并联机械手的动力学建模和运动控制X DYNAMIC MODELING AND KINEMATIC CO NTROL OF A NOVEL 2-DOF FLEXIBLE PARALLEL MANIPULATOR
胡俊峰X X1张宪民2
(1.江西理工大学机电工程学院,赣州341000)
(2.华南理工大学机械与汽车工程学院,广州510640)
HU JunF eng1ZHAN G XianM in2
(1.School o f Mechanical&Electrical Engineering,Jiangxi University o f Science and
Technolo gy,Ganzhou,341000,China)
(2.School o f Mechanical&Automotive Engineering,South China University o f Technology,
Guangzhou510640,China)
摘要对一种新型两自由度柔性并联机械手的动力学模型和运动控制进行研究。

首先,考虑刚)柔耦合影响,利用假设模态法和Lagrange乘子法,推导出系统的动力学方程,该方程为微分)代数方程组。

为了设计控制器,采用坐标分块法将该微分)代数方程组化为二阶微分方程组。

然后,根据机械手的控制要求,采用滑模变结构方法设计控制器,该控制器能跟踪所期望的运动轨迹,同时柔性构件的弹性振动得到抑制。

仿真结果表明该控制器的可行性和有效性。

关键词并联机械手柔性构件滑模变结构控制假设模态法
中图分类号TH112TH113
Abstract For a novel2-DOF(degree of freedom)flexible parallel manipulator,i ts dynamic model and kinematic control were studied.Taking into account the effect of rigid-flexible coupling,the dynamic equations of the system were derived by using assu med mode method and Lagrange multiplier method.It is a differential algebraic equations.In order to design a controller,the coordinate-par-titioned method is used to convert the differen tial algebraic equations in to a second-order differential equations.According to the demand of control,the variable structure control method is applied to design the controller in order to acq uire desired trajectory and attenuate the elastic deformation of flexible parts.The si mulation resul ts show the feasi bility and effectivenss of the controller.
Key words Parallel manipulator;Flexible part;Variable structure control;Assum ed mode method
Correspon ding author:H U JunFen g,E-mail:h jf su per@,Tel:+86-20-87110345,Fax:+86-20-87110069
The project supported by the National Natural Science Foundation of Chi na for Distinguished Young Scholars(No.50825504).
Manuscript received20091009,in revi sed form20100104.
引言
并联机器人具有高速度、高精度、高承载能力等特点,在许多领域得到应用。

现代机械向高速、精密、轻型等方向发展,考虑构件的变形是必要的。

柔性并联机器人是一个多闭环、多柔体的非线性动力学系统,建立其动力学方程的主要方法有Lagrange方程、Hamilton 原理和Kane方程,模拟柔性体相对变形的方法主要有假设模态法和有限元法。

文献[1]采用有限元法对3-PRR(prisma tic rotational rotational)机构进行建模和动力学分析;文献[2]采用假设模态法建立3-PRR机构的动力学模型和实验研究。

对柔性机器人的主动振动控制主要有两种方法,一种方法是用机敏材料作传感器和作动器,采用主动控制方法抑制柔性机器人的弹性动力响应[3],但这种控制器设计复杂;另一种方法是通过选择合适的关节控制规律,可在确保大范围刚体运动的同时,尽可能地抑制柔性体的弹性振动[4][5]487-491。

但对柔性机构轨迹跟踪和振动控制问题,目前大多数文献主要研究单杆或双杆机构,而对柔性并联机器人研究较少。

本文以一种考虑构件弹性变形的新型两自由度平动并联机械手为研究对象,采用假设模态法和La-grange乘子法建立其动力学方程。

根据系统的数学模型,采用滑模变结构控制律设计控制器,对系统进行运
动控制。

Journal of Mechanical Strength2011,33(5):633-637
X
X X胡俊峰,男,1978年10月生,江西省临川市人,汉族。

江西理工大学讲师,主要研究方向为柔性并联机构动力学及振动控制。

20091009收到初稿,20100104收到修改稿。

国家杰出青年基金资助项目(50825504)。

1 系统动力学模型
新型高速机械手如图1所示,由两条主动支链、两条从动支链、一个动平台和一个静平台组成。

每条主动支链含有一条主动臂和一条从动臂,每条从动支链
由一个平行四边形和两条滑动杆组成[6]。

考虑到从动臂为细长杆,视为弹性构件,
其他构件均为刚体。

1.动平台
2.滑动杆
3.从动支链
4.静平台
5.电动机
6.主动臂
7.从动臂
1.Mobile pl atform
2.Sliding rod
3.Passive sub -chain
4.Static pl atform
5.Motor
6.Active link
7.Pass ive link
图1 并联机械手Fig.1 The parallel manipul ator
1.1 运动学分析
建立如图2所示的坐标系,坐标系OXY 为惯性坐标系,Cxy 为描述弹性变形而建立的局部坐标系。

如图
2所示,l 1、l 2分别为主动臂和从动臂的长度,l 3为坐标原点到A 点的距离,l 4为动平台的长度,H 1、H 2为主动臂1和2与X 轴的夹角,H 3、H 4为从动臂1和2与X 轴的夹角,ÛH 1、ÛH 2、ÛH 3、ÛH 4分别为对应各个夹角的角速度,&H 1、&H 2、&H 3、&H 4分别为对应各个夹角的角加速度,x 为在Cxy 坐标系下的从动臂任意一点到C
点的距离。

图2 机械手动力学模型Fig.2 Dynamic model of the manipulator
假定从动臂只有弯曲变形,忽略其轴向变形,采用假设模态法模拟其变形。

如图2所示,在坐标系OXY 下,从动臂任意一点x 的位置坐标r 为
r =
l 3+l 1cos
H 1
l 2sin H 1
+8
x w
(1)
其中,8为坐标变换矩阵。

w 是该点在C xy 坐标系下的
弹性变形,它可以表示为
w (x ,t )=
E N
i =1
W i
(x )q i
(t )
(2)
其中,t 表示时间,q i (t )是对应第i 个振型的模态坐标,W i (x )是第i 个振型函数,N 是振型的个数。

因为从动臂可视为简支梁,则
W i (x )=sin i P
l 2
(3)
对式(1)求导可得该点的速度Ûr 为
Û
r =-l 1sin H 1l 2cos H 1
ÛH 1+
80Ûw +Û8
x w
(4)式中,Ûw 、Û8分别为w 和8对时间的一阶导数。

1.2 系统的动能与势能
设I 1、I 2分别为两主动臂对端点A 、B 的转动惯量,两主动臂的动能分别为T 1=
12
I 1ÛH 2
1,T 2=12I 2ÛH 22,从动臂的动能T 3为T 3=
12
Q
l
2
Q Ûr 2
=
12Q l 21l 2ÛH 21+13
l 32ÛH 23+l 1l 2
2cos(H 1-H 3)ÛH 1ÛH 3+ÛH 2
3q T
R q +Ûq T
R Ûq +2l 1ÛH 1sin(H 1-H 3)Gq +2ÛH 3S Ûq (5)
其中R =
Q
l
2
W T
W d x G =
Q
l
2
W d x S =
Q l
2
x #W d x
(6)
式中,Q 为从动臂单位长度的质量,q 是模态坐标向量,Ûq 是q 对时间的一阶导数,上标T 表示矩阵的转置。

从动臂的弹性势能U 1为
U 1=12
EI q T
K q q K q =
Q
l
2
W d T
W d d x
(7)
式中,E 为弹性模量,I 为从动臂截面惯性矩,W d 为振型函数对x 的二次导数,K q 为弹性变形的刚度矩阵。

动平台和从动支链的动能与势能可写为H 1、H 2的函数,限于篇幅,在此不列出。

系统的动能T S 和势能U S 分别为所有构件的动能和势能之和。

1.3 系统动力学方程
选择G =[H 1,H 2,H 3,H 4,q ]T
为广义坐标,将系统的动能和势能代入带乘子的Lagrange 方程 d d t 5(T S -U S )5ÛG
-5(T S -U S )5G =F S +55
5G
T
K (8)
式中,ÛG 为G 对时间t 的一阶导数,F S 是系统广义力,5为系统约束方程,K 为Lagrange 乘子向量。

带Lagrange 乘子的微分方程组可表示为如下形式
634机 械 强 度2011年
M11M12M
13 M T12M22M23 M T13M T23M33&H12
&H34
&q
+
000
000
00K q
H12
H34
q
=
F c1
F c2
F c3
+
F e1
F e2
F e3
+
J T1
J T2
J T3
K1
K2
(9)
式中,M11、M12、M13、M22、M23、M33分别为质量矩阵
的子矩阵,F c1、F c2、F c3是惯性力和刚)柔耦合项,
K1、K2分别为Lagrange乘子向量的分量,H12=
[H1,H2]T,H34=[H3,H4]T,&H12=[&H1,&H2]T,
&H34=[&H3,&H4]T,&q是q对时间的二阶导数,F e1、F e2、
F e3是广义力,[J T1,J T2,J T3]T为约束方程的雅克比矩
阵,J T1、J T2、J T3分别为对应于H12、H34和q的约束方程
的雅克比矩阵。

G不是独立的,广义坐标约束方程为
2l3+l1cos H1+l2cos H3=l4+l1cos H2+l2cos H4
l1sin H1+l2sin H3=l
1sin H2+l2sin H4
(10)
微分)代数方程组
(9)、(10)为系统的数学模型,
为了推导出关于独立变量的微分方程组,将式(9)分
离为下面两个方程组[7-8]
M
T
12M22M
23
&H12
&H34
&q
=F c2+F
e2+J
T
2
K1
K2
(11)
M11M12M
13
M T13M T23M33
&H13
&H34
&q
+
000
00
K q
H12
H34
q
=
F c1
F c3
+
F e1
F e3
-
J T1
J T3
K1
K2(12)
由式(11)可得
K1
K2=
J T2-1M T12M22M23
&
H12
&H34
&q
-
(F c2+F e2)(13)
将式(
13)代入式(12)可得
M11M12M13
M T13M T23M33
-
J T1
J
T
3
J T
2
-1M T
1
2M22M23@
&H12
&H34
&q
+
000
00K
H12
H34
q
=
F c1
F c3
+
F e1
F e3
-
F c2+F e2(14)
由式(10)可以得到主动臂和从动臂角度、角速
度、角加速度的关系为
H34=R H H12
ÛH34=T HÛH12
&H34=T H&H12+ÛT HÛH12
(15)
其中,R H为H34与H12的关系矩阵,T H为ÛH34与ÛH12的关
系矩阵,ÛH12=[ÛH1,ÛH2]T,ÛH34=[&H3,&H4]T,ÛT H是T H对时
间的一阶导数,所以
&H12
&H34
&q
=
I10
T H0
0I2
&H12
&q
+
00
ÛT H0
00
ÛH12
Ûq
(16)
式中,I1为2@2的单位矩阵,I2为N@N的单位矩
阵。

将式(16)代入式(14),可得关于独立变量Y=
[H T12,q T]T的二阶微分方程组
M&Y+CÛY+KY=F+H S(17)
其中,ÛY、&Y分别为Y对时间的一阶导数和二阶导数,
S=[S1,S2]T为控制输入力矩;M、C、K、F分别为
系统等效质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和等效力列
阵;H为控制输入力矩系数矩阵,它们分别为
M=
M11M12M13
M T13M T23M33
-
J T1
J T3
(J T2)-1M T12M22M23
I10
T H0
0I2
C=
M11M12M13
M T13M T23M33
-
J T1
J T3
(J T2)-1M T12M22M23
00
ÛT H0
00
K=
00
0K q
F=
F c1
F c3
-
J T1
J T3
(J T2)-1(F c2+F e2)
H=
I1
2滑模变结构控制器的设计
柔性机械手的运动控制是能使机械手跟踪期望
的轨迹,同时抑制弹性振动。

定义状态变量Z=
[Y T,ÛY T]T,将方程(17)写成如下状态空间形式
ÛZ=AZ+B S+DF(18)
其中,ÛZ是Z对时间的一阶导数;A、B、D是系数矩阵,
它们分别为
第33卷第5期胡俊峰等:一种新型两自由度柔性并联机械手的动力学建模和运动控制635
A =
I
-M -1
K -M -1
C
B =
0M -1
H
D =
0M
-1
(19)
假定Z d =[Y T
d ÛY T d ]T
为期望的系统运动轨迹,Y d 、ÛY d 分别为变量Y 和ÛY 的期望值,ÛZ d 为Z d 对时间的一阶导数,定义如下状态误差向量e 和它的导数Ûe
e =Z d -Z
Ûe =ÛZ d -Û
Z (20)
将式(18)代入式(20),可得
Ûe =Ae -B S +DF +ÛZ d -AZ d (21)
采用变结构控制策略,取切换函数s 为
s =Pe (22)
其中,P 为切换函数系数向量。

s =0构成变结构控制设计中的切换面。

变结构控制设计的目标是设计控制律,使得切换面以外的相点在有限时间到达切换面,并在切换面上运动,向原点趋近。

采用如下指数趋近律
Ûs =-E sgn(s )-J s
(23)
其中,Ûs 是切换函数s 对时间的一阶导数,E 是系统的运动点趋近切换面的速率,J 是指数趋近项系数,E >0,J >0,sgn(#)是符号函数。

对式(22)求导,并考
虑到式(21)和式(23)可以得到控制力矩为
S =(PB )-1
(PAe -PDF +P ÛZ d -PAZ d +
E sgn(s )+J s )
(24)
切换函数系数向量P 可采用最优化方法求得。

当采用最优化方法时,P 的确定应使得如下性能指标J 取极小值
[9-10]
J =
1
2
Q
]
e T
Qe d t
(25)
式中,Q 为正定对称加权矩阵,t 为时间。

模态坐标可以通过在从动臂上安装传感器,由测量物理位移和速度来估计出其值
[5]487-491。

3 数值仿真分析
机械手各构件的材料是铝合金,弹性模量和密度分别为6.94@104
MPa 、2.7@103
kg P m 3。

机械手的动平台质量为0.30kg,从动支链由长为300mm 、质量为0.3kg 的构件和长为365mm 、质量为0.14kg 的圆杆组成,机械手的主动臂和从动臂的质量分别为0.13kg 、0.79kg,机械手的主动臂和从动臂横截面为工字型,其结构参数如表
1所示。

在采用假设模态法时,分别取两从动臂的前3阶
图3 两主动臂的角位移期望值与实际值的比较Fig.3 Comparis on be tween desi red and actual
angular displacement of two active li nks
图4 两主动臂的角速度期望值与实际值的比较 Fi g.4 Comparison between desired and ac tual angular velocity of two active li nks
图5 无控制和有控制两种情况下
两从动臂中点的弹性变形Fig.5 Elastic deformation of the midpoint of two
passive links in two cases of with control and without control
636机 械 强 度2011年
表1 机械手结构参数
Tab.1 Structural parameters of the manipulator
构件Parts
长度Length mm
截面参数Sectional parameters P mm 高度Hei ght
翼缘厚Flange depth 翼缘宽Flange width 腹板厚Web depth 主动臂Active link 28030
7
30
5
从动臂Passive link
505604274
模态。

在进行切换面的设计时,取式(25)中加权矩阵Q 为
Q =diag(103,103,103,103,103
,1,1,1,1,1)
(26)
其中,diag(#)表示对角矩阵。

在进行控制律的设计时,取式(24)中E =diag(0.5@10-3
,0.5@10-3
),J =diag(5,5)。

为了验证控制器的有效性,首先研究施加控制后机械手轨迹的跟踪情况。

图3a 、图3b 分别表示主动臂1和主动臂2的角位移的期望值和实际值,图4a 、图4b 表示主动臂1和主动臂2的角速度的期望值和实际值。

从该两图可以看出,角位移和角速度的期望值和实际值相差很小,说明该控制器能很好地跟踪期望轨迹。

然后,比较分析在没有施加控制和施加控制两种情况下两从动臂中点的弹性变形,比较分析的结果如图5a 、图5b 所示。

从图中可以看出,施加控制后两从动臂的振动幅度明显减小,说明该控制器能有效抑制构件的弹性振动。

施加在两主动关节上的控制力矩S 1和S 2如图6
所示。

图6 两主动关节的控制力矩Fig.6 Control torques of two active joints
4 结论
1)针对柔性并联机械手建模的复杂性,利用假设
模态法和拉格朗日乘子法,首先得到系统的动力学方程为微分)代数方程组,为设计控制器,采用坐标分块法消除拉格朗日乘子,得到关于独立变量的二阶微分方程组。

2)采用变结构控制策略设计控制器,通过控制两主动臂的驱动力矩,使机械手能够跟踪期望轨迹,又能有效抑制弹性构件的振动。

参考文献(References )
[1]
Wang Xiaoyun,James K M.Dyna mic modeling of flexible -li nk planar parallel platform usi ng a substructuri ng approach [J ].Mec hanis m and M achine Theory,2006,41:671-687.
[2] Zhang Xuping,J ames K M.Dynamic modeling and experi mental vali da -tion of a 3-PRR parallel manipulator wi th flexi ble intermedi ate links[J ].Intell R obot Syst,2007,50:323-340.
[3] Sung C K,Chen Y C.Vi bration control of the elastodyna mic response of
high -s peed flexible li nkage mechani sms [J].Transactions of the ASME,1991,113:14-21.
[4] Fung R F,Chen K W.Dynamic anal ysi s and vibration control of a flex-i
ble slider -crank mec hanis m using P M synchronous servo motor driven [J].Journal of Sound and Vibrati on,1998,214(4):605-637.[5]
蔡国平,滕悠优,洪嘉振.中心刚体)柔性梁系统的旋转运动控制[J].宇航学报,2005,26(4):487-491.
CAI GuoPi ng,TENG YouYou,HONG JiaZhen.Active control of rotati on motion of a fle xible hub -bea m s ystem[J].Journal of As tronautics,2005,26(4):487-491(In Chinese).[6]
张宪民,袁剑锋.一种二维平动两自由度并联的机器人机构:中国,CN1903521[P].2007-01-31.
ZHANG Xi anMin,YUAN JianFeng.A two -di mension trans lati onal t wo -degree -o-f freedom parallel robot mec hanis m:China,CN1903521[P ].2007-01-31.
[7] Zhang Xupi ng,J ames K M,William L C.Coupling characteris tics of rig -id body motion and elastic deformation of a 3-PRR parallel manipulator with flexi ble links[J].Multibody Sys te m Dynamics ,2008,21:167-192.[8] Luo Lei,Wang Shi gang,Mo J inqi u,et al.On the modeling and compos -i te control of flexi ble parallel mechanis m[J].Int J Adv Manuf Technol,2006,29:786-793.
[9] Karkoub M ,Yigi t A S.Vibrati on control of a four -bar mechanis m with a
flexible coupler link [J ].J ournal of Sound and Vibrati on,1999,222(2):171-189.
[10] 高为炳.变结构控制的理论及设计方法[M ].北京:科学出版
社,1998:87-98.
GAO WeiBing.Theory and design method of variable s truc ture control [M].Beiji ng:Science Pres s,1998:87-98(In Chinese).
第33卷第5期胡俊峰等:一种新型两自由度柔性并联机械手的动力学建模和运动控制
637。