河北省保定市六校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

河北省保定市六校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联
考数学试题
一、单选题
1．已知()1,3,2a =-- ，()1,1,b m =- ，且2a b ⋅=-
，则m =（）
A ．1
-B ．1
C ．2
-D ．22．过点()1,4A 的直线的方向向量为()1,2m =
，则该直线方程为（
）
A ．220x y -+=
B ．260x y +-=
C ．270
x y -+=D ．50
x y +-=3．平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11A C 与11B D 的交点，设1,,AB a AD b AA c ===
，用,,a b c
表示BO ，则（
）
A ．12
BO a b c
=-+ B ．12
BO a c
=+- C ．
12
BO a b c =-++ D ．
1122
BO a b c =-++ 4．已知离心率为2的双曲线2
2
21y x m -=与椭圆2
2
2112
x y n +=有相同的焦点，则22m n +=（
）
A ．21
B ．19
C ．13
D ．11
5．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为()4,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两
点，若AB 的中点坐标为()1,1M -，则椭圆E 的方程为（）
A ．22
1
182x y +=B ．22
1
204x y +=C ．22
1
248
x y +=D ．22
1
259
x y +=6．P 是双曲线22
916
x y -=1的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)1x y ++=和22(5)x y -+=4
上的点，则||||PM PN -的最大值为（）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
7．直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围为（）
A ．[)
1,1-B ．⎡⎣
C ．(]{1,1-⋃
D ．[){1,1- 8．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC （不含端点）上运动，则下列结论正确的是（
）
①1111ABCD A B C D -的外接球表面积为48π；
②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是ππ,32⎛⎤ ⎥⎝⎦
；
③直线1//A M 平面1ACD ；
④三棱锥1D AMC -的体积随着点M 的运动而变化.A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
二、多选题
9．下列说法正确的是（
）
A
10y ++=的倾斜角为120
B ．经过点()2,1P ，且在x 轴，y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=
C ．直线l ：20mx y m ++-=恒过点()
1,2-D ．已知直线1l ：210ax ay ++=，2l ：()()1140a x a y --+-=，则“12l l ⊥”的充要条件是“3a =-或0a =”
10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1DD 的中点，则（
）
A ．11
B C BD ⊥B ．点E 到直线
1B C 的距离为C ．直线1B E 与平面11B C C 所成的角的正弦值为23
D ．点1C 到平面1B C
E 的距离为
23
11．法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>或
22
22
1(0)y x a b a b +=>>的任意两条互相垂直的切线的交点Q 的轨迹是以坐标原点为圆心，
这个圆称为蒙日圆.已知椭圆22
:154
x y C +=，则下列说法正确的是（）
A ．椭圆C 的蒙日圆方程为229
x y +=B ．矩形G 的四边均与椭圆C 相切，若G 为正方形，则G 的边长为
C ．若H 是椭圆C 的蒙日圆上一个动点，过H 作椭圆C 的两条切线，与该蒙日圆分别交于P ，Q 两点，则HPQ △面积的最大值为18
D ．若P 是直线:230l x y +-=上的一点，过点P 作椭圆C 的两条切线与椭圆相切于M ，
N 两点，O 是坐标原点，连接OP ，当MPN ∠为直角时，0OP k =或4
3
-
三、填空题
12．若(1,,2),(2,2,)a b λμ=--=- ，若//a b
，则λμ+的值为
.
13．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为
.
14．已知双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l
与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l
，则双曲线的离心率为
.
四、解答题
15．已知关于,x y 的方程C ：22240x y x y m +--+=．(1)当m 为何值时，方程C 表示圆；
(2)若圆C 与直线:240l x y +-=相交于,M N 两点，且||
MN =
m 的值．
16．如图，四棱锥P ABCD -的侧面PCD 为正三角形，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，平面
PCD ⊥平面ABCD ，已知44CD AB ==，13
PM MD =
.
(1)证明：AM //平面PBC ；
(2)若
,AC AD PA ==AM 与平面PAB 所成角的正弦值.
17．已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b -=>>，与双曲线22
142x y -=有相同的渐近线，且经过点
M
，
(1)求双曲线C 的标准方程
(2)已知直线0x y m -+=与曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆2220
x y +=
上，求实数m 的值．
18．如图1，在平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，=1AD ，=2AB ，将△ABD 沿BD 折起，使得平面A BC '⊥平面A BD '，如图2．
(1)证明：A D '⊥平面BCD ；
(2)在线段A C '上是否存在点M ，使得二面角M BD C --的大小为45°？若存在，求出A M
A C
''的值；若不存在，说明理由．
19．已知O 为坐标原点，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，122F F =，
P 为椭圆的上顶点，以P 为圆心且过
1F ，2F 的圆与直线x =.(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知直线l 交椭圆C 于M ，N 两点.若直线l 的斜率等于1，求OMN 面积的最大值．。