暑假立体几何中的距离问题

立体几何中的距离问题
【要点精讲】
1．距离
空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。

其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的
求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

两条异面直线的距离
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度
点到平面的距离
平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

○2等体积法。

直线及平面的距离：
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；
平行平面间的距离：
两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．
若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。

异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定）
点到面的距离的做题过程中思考的几个方面: ①直接作面的垂线求解；
②观察点在及面平行的直线上，转化点的位置求解； ③观察点在及面平行的平面上，转化点的位置求解； ④利用坐标向量法求解
⑤点在面的斜线上，利用比例关系转化点的位置求解。

立体几何的高线做法
①特殊图形的射影法；②一般图形的垂面法
空间距离的求法：（特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则）
（1）异面直线的距离：①直接找公垂线段而求之；②转化为求直线
到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。

③转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。

（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。

（3）点到平面的距离求法：
①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；
②等体积法：转化为求三棱锥的高； ③等价转移法。

④转化为平行直线上另一点到平面的距离;转化为平行平面上另一点到平面的距离;转化为及此相关的点到平面的距离,然后求出这两点到平面距离的比值;
⑤利用向量法:
例如已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则异面直线BD 及B 1C 的距离为_____
）。

转化为平行平面距离. 练习（1）等边三角形ABC 的边长为22，AD 是BC 边上的高，将ABD ∆沿AD 折起，使之及ACD ∆所在平面成︒120的二面角，这时A 点到BC 的距离是_____（答：
2
26
）； （2）点P 是120°的二面角α-l -β内的一点，点P 到α、β的距离分别是3、4，则P 到l 的距离为 _______
（答：）；
（3）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到棱A 1B 1及棱BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为_______ （答：抛物线弧）。

例如：如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，
AB=3，
BC=1，PA=2，E 为PD 的中点.在侧面PAB 内找一点N ，使NE
⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离.
解：在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则. 连PF ，
则在Rt △ADF 中.3
3
tan ,332cos ====
ADF AD AF ADF AD DF
设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，
∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC ，从而NE ⊥面PAC. ∴N 点到AB 的距离，N 点到AP 的距离
练习（1）长方体1111D C B A ABCD -的棱cm AA cm AD AB 2,41===，则点
1A 到平面11D AB 的距离等于______
（答：
26
3
）； （2）在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则A 1到平面MBD 的距离为______
（答： 6
6
a ）。

(3) 如图，直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是边长为2的 正方形，AE ＝EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．
（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角B-AC-E 的大小； （Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离。

答:（Ⅱ）；（Ⅲ）
3
3
2。

4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1
的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（ B ） A ．
23 B ．2
2 C ．21
D ． 33
提示: E 点转化为B 1到平面的距离的一半。

5．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面
AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.求点C 到平面AEC 1F 的距离.
E
F
D C
B
A
转化为B 点到平面的距离.3c b d d =
6、如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面
A 1
B 1
C 1
D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为 （B
A 、21
B 、
42 C 、2
2
D 、23
提示：转化为11B C 的中点到平面AB C 1D 1的距离。

7、如图，已知长方体1111,ABCD A BC D -12,1
,AB AA == 直线BD 及平面11AAB B 所成的角为30︒，AE 垂直BD 于 E ，F 为11A B 的中点.
（I ）求异面直线AE 及BF 所成的角；
（II ）求平面BDF 及平面1AA B 所成的二面角； （III ）求点A 到平面BDF 的距离.
解：在长方体1111ABCD A BC D -中，以
AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴建立如图示空间直角坐标系
由已知12,1,AB AA ==可得(0,0,0),(2,0,0)A B ，(1,0,1)F
又AD ⊥平面11AAB B ，从而BD 及平面11AAB B 所成的角为30DBA ∠=︒，又2AB =，AE BD ⊥，
从而易得1
,2E D ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
A
1
A B
C
D
1
B F
1
C 1
D E
（I ）方法一：因为()13,,0,1,0,12AE BF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭
所以()
cos ,AE BF AE BF AE BF ⋅== 易知异面直线AE BF 、所成的角为 方法二：三线角法求解。

（II ）方法一：易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0)m =设(,,)n x y z =是平面
BDF 的一个法向量，由0
0n BF n BF n BD n BD ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇒⎨⎨
⊥⋅=⎪⎪⎩
⎩ 即()
1,3,1n =所以15
cos ,m n m n m n
⋅==
即平面BDF 及平面1AA B 所成的二面角的大小（锐角）为、
方法二：三垂线定理作二面角； 方法三：射影面积法；
（III ）方法一：点A 到平面BDF 的距离，即AB 在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值，
所以距离cos ,d AB AB n =⋅=所以点A 到平面BDF 的距离为5
方法二：等体积法； A BDF F ABD V V --=来求。

方法三：做垂直的平面，然后做交线的垂线及高线，然后求值。

8.（山东卷）如图，在正三棱柱ABC-111C B A 中，所有棱长均为1，则点B 1
到平面ABC 1的距离为
. 解：利用等体积法，易知V B1-ABC1111113A BB C ABC A B C V V --===正三棱柱， 所以点B 1到平面ABC 1的距离为
9．（江西卷）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC
，，Ａ
Ｏ Ｅ
Ｃ
Ｂ
两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点．求O 点到面ABC 的距离；
法一:等体积法
法二: 取BC 中点，作平面ABC 的垂直平面，然后作点O 到平面的距离。

18）（07年福建卷本小题满分12分）
如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点。

（1）求证：AB 1⊥面A 1BD ；
（2）求二面角A －A 1D －B 的大小； （3）求点C 到平面A 1BD 的距离。

(提示：作面平面A 1BD 的行线，把C 点到平面A 1BD 的距离可转化为1
AA 中点到平面A 1BD 的距离)
（4）直线及平面的距离：
前提是直线及平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。

（5）两平行平面之间的距离： 转化为求点到平面的距离。

（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：
求球面上两点A 、B 间的距离的步骤： ①计算线段AB 的长；
②计算球心角∠AOB 的弧度数； ③用弧长公式计算劣弧AB 的长。

例如（1）设地球半径为R ，在北纬︒45圈上有B A ,两地，它们的纬度圈上的弧长等于，求B A ,两地间的球面距离（答：
3
R
π）；
（2）球面上有3点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3点的小圆的周长为π4，那么这个球的半径为______（答：32）；
（3）三棱锥P ABC -的三个侧面两两垂直，12,16,20PA PB PC ===，若,,,P A B C 四个点都在同一球面上，则此球面上两点A 、B 之间的球面距离是_________
（答：）。

（4）设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为（D ）
（A （B ）6
R π （C ）56
R π
（D ）
5.（06浙江卷）如图，O 是半径为l 的球心，点A 、B 、C 在球面上， OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 及AC 的中点， 则点E 、F 在该球面上的球面距离是
(A)4
π (B)3
π (C)2
π (D)4
2π
【考点分析】本题考查球面距的计算，基础题。

G
解析：如图，2
,224
sin
1ππ
=∠==
⨯=EGF FG EG ∴OF OE FG EG EF ===+=122 ∴，∴点E 、F 在该球面上的球面距离为 故选择B 。

6.（北京卷）已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且AB R =那么,A B 两点的球面距离为_______________，球心到平面
ABC 的距离为______________.
解：如右图，因为AC BC ⊥，所以AB 是截面 的直径，又AB ＝R ，所以△OAB 是等边三角形，
所以ÐAOB ＝3
π，故,A B 两点的球面距离为3
R π
，
于是ÐO 1OA ＝30°，所以球心到平面ABC 的距离
OO 1＝Rcos30°＝
7.如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，3,7FC ED =
（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离； （Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值．
O 1
O
A
C
8.（2009重庆卷理）
如题（19）图，在四棱锥S ABCD
-中，AD BC且AD CD
⊥；平面CSD⊥平面ABCD，,22
CS DS CS AD
⊥==；E为BS的中点，2,3
CE AS
==．求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；
（Ⅱ）二面角E CD A
--的大小．
9.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P ABC
-中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º（Ⅰ）证明：AB⊥PC
（Ⅱ）若4
PC=，且平面PAC⊥平面PBC，
求三棱锥P ABC
-体积。

10（2009江西卷理）（本小题满分12分）
在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD是矩形，PA⊥N
O
D M
B P A
平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N . （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD `；
（2）求直线CD 及平面ACM 所成的角的大小； （3）求点N 到平面ACM 的距离.
11（2009浙江卷理）（本题满分15分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆
是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，
PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．
（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；
（II ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点
M 到OA ，OB 的距离．
12
11
10
9
8
7
6
5
4 3
2
1
N K A
C
P
B
E
O
F G
I J
M
(2010)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 及平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 2
3
B 33
C 23
D 63
（2010全国1）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB ；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .
18． (本小题满分12分)
(2010)如图，在四面体ABOC中, ,,120
OC OA OC OB AOB
⊥⊥∠=。

, 且1
OA OB OC
===
（Ⅰ）设为P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使PQ OA
⊥，
并计算AB
AQ
的值；
（Ⅱ）求二面角O AC B
--的平面角的余弦
值。

16、（2010本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，
∠BCD=900。

(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离。

20. （2010本小题满分12分）
如图△BCD及△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，23
AB=。

（1）求点A到平面MBC的距离；
求平面ACM及平面BCD所成二面角的正弦值
【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立
体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二
面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和
推理能力
解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，
OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,则MO⊥平面BCD，所以MO
∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM及平面BCD所成的角.OB=MO=3，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OH⊥BC于H，连MH，则MH⊥BC，求得：
OH=OCsin600=
3
2
,MH=
15
2
,利用体积相等得：
215
5
A MBC M ABC
V V d
--
=⇒=。

（2）CE是平面ACM及平面BCD的交线.
由（1）知，O 是BE 的中点，则BCED 是菱形.
作BF ⊥EC 于F ，连AF ，则AF ⊥EC ，∠AFB 就是二面角A -EC -B 的平面角，设为θ.
因为∠BCE =120°，所以∠BCF =60°.
sin 603BF BC =⋅=
，
所以，所求二面角的正弦值是
. 【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决
解法二：取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD ，又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ⊥平面BCD .
以O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.
OB =
OM =O （0，0，0），C （1，
0，0），M （0
，0，，B （0
，0），A （0
，
，
（1）设(,,)n x y z =是平面MBC 的法向量，则
BC=(1,3,0)
，
BM =，由n BC
⊥得0x =；由n BM
⊥
得0=
；取(3,1,1),n BA =-
=，则距离
（2）(
1CM =
-，(1,CA =-.
设平面ACM 的法向量为1(,,)n
x y z =，由得.解得x =，y z =，取
1(3,1,1)n =.又平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =，则111cos ,5
n n n n n n
⋅<>=
=
⋅ 设所求二面角为θ，则sin θ==. 【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类
方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代
z
D
B
A
替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎
（19）（2010本小题满分12分）
已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=½AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.
（Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；
（Ⅱ）求SN 及平面CMN 所成角的大小.
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
242220181614121086422
P
A B
C
N M
S
H
I
本节小结
空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两
个平行平面之间的距离．
求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法求点到平面的距离．
求点到平面的距离常用方法是直接法及间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理及几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积法及转移法.
求角及距离的关键是将空间的角及距离灵活转化为平面上的角及距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角及距离
求距离的关键是化归。

即空间距离及角向平面距离及角化归，各种具体方法如下：
求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。

求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面及顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。