003---同角三角比的关系和诱导公式(一)

第 3 课时 课题：同角三角比的关系和诱导公式（一）
【教学目标】掌握三种诱导公式：倒数关系、商数关系、平方关系。

【教学重难点】理解并熟练掌握诱导公式（一）、诱导公式的变形形式。

【知识点归纳】
由三角比的定义，我们可以得到以下关系：
（1）倒数关系：⎪⎩
⎪
⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1csc sin αααααα
（2）商数关系：⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=ααααααsin cos cot cos sin tan （3）平方关系：⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222
222csc cot 1sec tan 11
cos sin
[说明]①注意“同角”，至于角形式无关重要，如14cos 4sin 2
2
=+αα,
2tan 2
cos
2sin
ααα
=等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
),2
(1cot tan Z k k ∈≠
=⋅π
ααα； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
αα2sin 1cos -±=，αα22cos 1sin -=， α
α
αtan sin cos =
等。

④据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用。

【例题精解】 例1、已知13
12
cos -
=α，且α为第二象限角，求角α的其它五个三角比。

例2、已知cot 2α=-，求sin α和cos α的值。

例3、化简：（1）
tan cot sec α+αα
（2）αααα2
224cos cos sin sin ++
例4、已知cot a α=，求sin α和cos α的值。

例5、已知tan 2α=，求下列各式的值：
（1）sin cos cos 2sin αααα
-+；（2）22sin sin cos 3cos αααα++；（3）22
sin sin cos sin 1αααα++
例6、化简：
1cos 1cos ,(,)1cos 1cos 2
ααπ
απαα+--∈-+。

例7、已知－π2<x<0，sin x ＋cos x ＝1
5
，
（1）求22
sin cos x x -的值； （2）求tan x 2sin x ＋cos x 的值。

例8、已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝1
5
，
（1）求sin A·cos A ；（2）判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；（3）求tan A 的值。

例9、已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15。

（1）求tanα的值；（2）把22
1
cos sin αα
-用tan α表示出来，并求其值。

【巩固练习】 一、选择题
1、已知3sin ,(1,)2
m m π
ααπ=<-
<<-，那么=αtan （ ） A ．21m m
- B ．21m m
-- C ．21m
m
-± D ．m m 2
1-±
2、在ABC ∆中，若7
sin cos 13
A A +=
，则tan A = （ ） A ．512 B ．125 C ．512- D ．125
-
3、)3cos()3sin(21+-+ππ化简的结果是 （ ） A ．3cos 3sin - B ．3sin 3cos - C ．cos3sin3+ D ．cos3sin3--
二、填空题
4、若3
cos 3
α=-
，且α的终边过点)2,(x P ，则tan α= 。

5、若角α的终边落在直线y x =-上，则 22sin 1cos cos 1sin α
ααα-+=- 。

三、解答题
6、已知
3sin 5cos 1
2sin 7cos 11
αααα+=-，求222sin sin cos cos αααα-+的值。

7、求证：1sin cos 1sin 1sin cos cos ααα
ααα
-+-=
++。

8、已知2
2
1cos 1m m
α-=+ (1m <-)，求sin α与tan α的值。

9、已知sin sin a θφ=，tan tan b θφ=，其中θ为锐角，求证：1
1
cos 2
2--=b a θ。

【拓展练习】 一、选择题
1、已知△ABC 中，cos A sin A ＝－12
5
，则cos A 等于 （ ）
A ．12
13
B ．513
C ．－513
D ．－12
13
2、已知tan α＝－5
12
，且α为第二象限角，则sin α的值等于 （ ）
A ．15
B ．－1
15
C ．513
D ．－513
二、填空题
3、sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________。

4、若tan α＝2，则2sin cos cos sin cos αα
ααα
++-＝________。

三、解答题
5、求证：(sin α＋csc α)2＋(cos α＋sec α)2＝tan 2α＋cot 2α＋7。

6、当实数a 、b 分别为何值时，三角函数式f (x )＝a (sin 6x ＋cos 6x )＋b (sin 4x ＋cos 4x )＋6sin 2x cos 2x 的值与x 无关且等于1。

7、证明三角恒等式α
αααααααsin tan sin tan sin tan sin tan ⋅+=-⋅。

8、化简α
ααα446
6cos sin 1cos sin 1----
9、已知sin α＋2cos α＝2，求2sin α＋cos α的取值范围。

【附加题】
1、证明下列恒等式：
（1）4
2
2
2
sin sin cos cos 1α+αα+α=
（2）2222
22
cos cos sin sin cot cot α-β=αβα-β
（3）cos 1sin 1sin cos x x
x x +=
-
（4）
1sec tan tan sec 1
1sec tan tan sec 1
x x x x x x x x ++--=
---+ 2、化简（1）266222
2
csc sin cos cot sin cos (1)
1cot 1tan α-α-α-α
αα--+α+α
（2）θ
θsin 12
sin 12-+
+。