吉林长春外国语学校18-19学度高二下年中考试-数学(理)

吉林长春外国语学校18-19学度高二下年中考试-数学（理） 2017－2018学年第二学期期中考试高二年级数学理科试卷
出题人：马竞
第一卷〔选择题 共48分〕
一.选择题：（本小题12小题，每题4分，共48分）.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的将答案填入答题纸内.
1、假设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0
(,)x a b ∈那么000()()lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ）
A.0()f x '
B.02()f x '
C.02()f x '-
D.0
2、条件210p x ->：，条件2q x <-：，那么p ⌝是q ⌝的〔 〕
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充分且必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3、有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，那么整数是真分数”结论显然是错误的，是因为〔 〕
A 、大前提错误
B 、小前提错误
C 、推理形式错误
D 、非以上错误
A 、对于命题R x p ∈∃:，使得012<++x x ，那么p ⌝为：R x ∈∀，均有
012≥++x x
B 、命题“假设0232=+-x x ，那么1=x ”的逆否命题为“假设1≠x ，那么
0232≠+-x x ”
C 、假设q p ∧为假命题，那么q p ,均为假命题
D 、“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件
5、用反证法证明命题：假设整系数一元二次方程
20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，以下假设中正确的选项是〔〕
A 、假设a b c ，，都是偶数
B 、假设a b c ，，都不是偶数、
18.〔此题总分值10分〕
解：〔1〕、略〔2〕S ＝14／3
19.〔此题总分值12分〕
解：（1）方程74120x y --=可化为734y x =-.
当2x =时，12y =.又2()b f x a x '=+， 于是1222744b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，，解得13a b =⎧⎨=⎩，故3()f x x x =-. （2）设
00(,)P x y 为曲线上任一点，由231y x '=+知曲线在点00()P x y ，处的切线方
程为 002031()y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即00200331()y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
令0x =得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.
令y x =得
02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为00(22)x x ，. 所以点00(,)P x y 处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形面积 为01626
2x x -=.故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x = 所围成的三角形的面积为定值
20.〔此题总分值12分〕
解：〔1〕22'()2()(4)1324f x x x a x x ax =-+-⨯=--.
〔2〕a x ax x x f 44)(23+--=，
423)(2--='ax x x f . 由0)1(=-'f ，得
21=a ，此时)21)(4()(2--=x x x f ，43)(2--='x x x f ， 由0)(='x f ，得34=x 或1-=x . 又2750)3
4(-=f ，29)1(=-f ，0)2()2(==-f f ，
∴)(x f 在]2,2[-上的最大值为29，最小值为2750-.
〔3〕解法一
423)(2--='ax x x f ， 依题意：
2()3240f x x ax '=--≥对(,2]-∞-恒成立，即 23232234,()222max ax x a x x x x ≤-∴≥--=-又，所以 2.a ≥- 2()3240f x x ax '=--≥对[2, )+∞恒成立，即 2min 3232234,()222ax x a x x x x ≤-∴≤
--=又，所以 2.a ≤
综上：[2,2]a ∈-.
解法二 423)(2--='ax x x f ，∴)(x f '的图像是开口向上且过点)4,0(-的抛物线，由条件得0)2(≥-'f ，0)2(≥'f ，
048≥+∴a ，048≥-a .解得22≤≤-a .∴a 的取值范围为]2,2[-、
21.〔此题总分值12分〕
解：〔1〕212
22(221)6S a a a +==⨯- 又113a =，那么
2115a =，类似地求得3135a = 〔2〕由
1113a =⨯，2135a =⨯，3157a =⨯… 猜得：1(21)(21)n a n n =
-+
以数学归纳法证明如下：
当1n =时，由〔1〕可知等式成立；
②假设当n k =时猜想成立，即1
(21)(21)k a k k =-+
那么，当1n k =+时，由题设(21)n
n S a n n =-得
(21)k k S a k k =-，11(1)(21)k k S a k k ++=++
所以(21)k
S k k =-k a ＝(21)k k -1(21)(21)k k -+＝21k
k + 11(1)(21)k k S k k a ++=++
11k K K a S S ++=-=1(1)(21)k k k a +++－21k
k + 因此，
1(23)21k k
k k a k ++=+ 所以11(21)(23)k a k k +=++1[2(1)1][2(1)1]k k =+-++ 这就证明了当1n k =+时命题成立.
由①、②可知命题对任何n N *∈都成立。