高中数学北师大版必修一2.4.1 【教学课件】《二次函数的图像》

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思考4：如何由y＝ax2的图像得到y＝a(x＋h)2＋k(h≠0，k≠0)的图像？
再把y＝a(x＋h)2的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得y＝a(x＋h)2＋k的图像。
解：把y＝ax2的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位长度得y＝a(x＋h)2的图像，
特征描出其草图。如果抛物线与x轴仅有一个交点或没有交点时，可以先在 抛物线上任取一点(除顶点)，再作出此点关于抛物线对称轴的对称点，这两 个点和顶点合起来组成“三点”。
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质疑答辩，发展思维
画出y＝x2 和y＝2x2 的图像。
x
x2[
2x2
… －3 －2 －1
…
0
1
2
3
…
…
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第二章 · 函数
二次函数的图像
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新课导入
汽车在行驶中，由于惯性作用,刹车制动后，还要继续向前滑行一段距
离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析交通事故
的一个重要因素，已知甲车的刹车距离y(m)与刹车的速度x (km/h)的关系
g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式。
(1)函数g(x)＝x2，f(x)图像的顶点是(4，－7) (2)函数g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)图像的顶点是(－3,2)
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解：如果二次函数的图像与y＝ax2的图像开口大小相同，开口方向也相同，顶点坐标是(
…
…
表1
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x x2
2x2
… …
－3 －2 －1 9 4 1
0 0
1 1
2 4
3 9
… …
…
18
8
2
0
表2
2
8
18
…
图1
图2
图3
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思考1：如何由y＝x2的图像得到y＝2x2的图像？
解：要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大为原来的2倍。这种情况
可用模型y=ax2来描述，且甲车的速度为50 km/h时，刹车距离为10 m，
该车在一条限速为100 km/h的高速公路上出了事故，测得它的刹车距离为
50 m，那么我们来帮交通部门判断此车是否超速。
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将给定的速度50 km/h与刹车距离10 m代入y=ax2,即10=502a,
－h，k)，则其解析式为y＝a(x＋h)2＋k (1)因为f(x)与g(x)＝x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，f(x)图像的顶点是(4，－7)
，所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9
(2)因为f(x)与g(x)＝－2(x＋1)2的图像开口大小相同，开口方向也相同，g(x)＝－2(x＋1)2 又与y＝－2x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，所以f(x)与y＝－2x2的图像开口大 小也相同，开口方向也相同。 又因为f(x)图像的顶点是(－3,2)，所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16
思考6：由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c的图像？ 解：一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可通过配方得到它的恒等形式
y＝a( x＋h)2＋k，从而就可以知道由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c的图像。
思考7：二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，h，k对函数的图像有何影响？
表现在图像上如图2所示，就是把Ax2的图像上所有点的横坐标不变，
纵坐标都扩大为原来的2倍得到y＝2x2的图像。
思考2：如何由函数y＝f(x)的图像得到函数y＝Af(x)(A＞0，A≠1)的图像？ 解：将y＝Af(x)的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的
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（2）二次函数的三种形式
2 y ＝ ax ＋bx＋c(a 0) 一般式： 2 y ＝ a ( x － h ) ＋k (a 0) 顶点式：
零点式： y＝a( x－x1 )( x－x2 )(a 0)
注意：任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式，但是不一定有零点式。
当且仅当二次函数的图像与x轴相交时，二次函数的解析式才有零点式。
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（3） 二次函数的图像
二次函数的图像是抛物线。画抛物线的草图时，通常根据“三点一线一 开口”来画。“三点”是指：顶点，抛物线与x轴的两个交点；“一线”是
指对称轴这条直线，“一开口”是指抛物线的开口方向，根据抛物线的这些
解：h，k只改变函数图像的顶点位置，不改变图像形状。 思考8：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，确定函数图像开口大小及方向的 参数是什么？确定函数图像位置的参数是什么？ 解：确定函数图像开口大小及方向的参数是a ，确定函数图像位置的参数
是a，b，c
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例题讲解
例1 二次函数f( x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数
思考5：如何由y＝f(x)的图像得到y＝f(x＋h)＋k(h≠0，k≠0)的图像？ 解：把y＝f(x)的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位长度得y＝f(x＋h)的图
像，再把y＝f(x＋h)的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得y＝f(x＋h)＋k的图 像。
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求出a=
×1002 =40。而50>40,所以可以判定此车超速。
10 50 2
10 把x=100代入确定的解析式,求出刹车距离y= 50 2
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探索新知
（1）二次函数的定义 一般地，函数 y＝ax2＋b x＋c ( a，b，c为常数且a≠0)叫作二次函数。
其中自变量的最高次数是2，自变量取值范围即函数的定义域是全体实数。
A(A＞1)倍或缩短为原来的A(0＜A＜1)倍得到y＝Af(x)的图像。
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思考3：在同一坐标系中画出y＝2x2，y＝2(x＋1)2，y＝2(x＋1)2＋3的图像，
观察图像，如何由y＝2x2的图像得到y＝2(x＋1)2＋3的图像？
图4
观察图4得，把y＝2x2的图像向左平移一个单位长度得y＝2(x＋1)2的图像，再把y＝ 2(x＋1)2的图像向上平移3个单位得y＝2(x＋1)2＋3的图像。