2023年江苏省南通市启东市中考一模数学试卷+答案解析

2023年江苏省南通市启东市中考一模数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若向东走10m，记为，则向西走5m记为()
A. B. C. D.
2.2022年10月16日，习近平在中国共产党第二十次全国代表大会的报告中指出：我国经济实力实现历史性跃升，十年间中国人均国内生产总值从39800元增加到81000元．将81000用科学记数法表示应为() A. B. C. D.
3.下列算式中，结果为的是()
A. B. C. D.
4.如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其主视图是()
A. B. C. D.
5.如图，A，B，C为上三点，，则的度数为()
A. B. C. D.
6.如图，，，，则()
A. B. C. D.
7.课堂上，老师给同学们布置了10道填空题，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图，由图可知，全班同学答对题数的众数为()
A.15
B.18
C.9
D.10
8.关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是()
A. B. C.且 D.且
9.如图，中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿AC向点C运动，点Q以的速度沿AB向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之
停止运动．作▱，设运动时间为ts，▱与重合部分的面积为，则下列图象中能大致反映S与t的函数关系的是()
A. B. C. D.
10.如图，在等腰直角三角形ABC中，在边AC，AB上分别取点D和点E，使，
，则线段AE的长为()
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

11.分解因式：______.
12.圆锥的侧面积是，底面半径为2cm，则圆锥的母线长是______
13.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余2尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为_______________.
14.三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为______.
15.如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处，观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆
底部B的仰角为，则旗杆AB的高度为___________结果保留整数，参考数据：，
，
16.如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为10m，则这块矩形场地的最大面积为_______
17.如图，在中，，延长AB到D，使，连接CD，则
_________________.
18.如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线AB绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第
三象限的一支交于点C，若，则_____.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。

19.计算：；解不等式组
四、解答题：本题共7小题，共56分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20.本小题8分
某初中为了解本校学生视力健康状况，组织数学社团按下列步骤来开展统计活动．
【确定调查对象】
数学社团随机抽取本校部分学生进行抽样调查．
【收集整理数据】
按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学社团随机抽取本校部分学生进行调查，绘制了不完整的统计表和统计图如下．
抽取的学生视力状况统计表
类别A B C D
健康状况视力正常轻度视力不良中度视力不良重度视力不良
人数160m n56
该校共有学生1600人，请估算该校中度视力不良的学生人数；
为更好地保护学生视力，结合上述统计数据，请你提出一条合理化的建议．
21.本小题8分
如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，
求证：≌；
若，求四边形BECF的面积．
22.本小题8分
现有甲、乙、丙三个不透明的盒子，甲盒中装有红球、黄球各1个，乙盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，丙盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外无其他差别．现分别从甲、乙、丙三个盒子中任意摸出一个球．
从甲盒中摸出红球的概率为__；
求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．
23.本小题8分
如图，的直径，C为上一点，在AB的延长线上取一点P，连接PC交于点D，，
求CD的长；
计算图中阴影部分的面积．
24.本小题8分
某商家购进一批产品，成本为10元/件，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件调查发现，线上的销售量为600件；线下的销售量单位：件与售价单位：元/件满足一次函数关系，部分数据如表：
元/件1213141516
件120011001000900800
求y与x的函数关系式；
求当售价为多少元时，线上销售利润与线下销售利润相等；
若商家准备从线上和线下两种销售方式中选一种，怎样选择才能使所获利润较大．
25.本小题8分
如图，矩形ABCD中，为边AB上一动点，连接作交矩形ABCD的边于
点F，垂足为
求证：；
若，求AE的长；
点O为矩形ABCD的对称中心，探究OG的取值范围．
26.本小题8分
定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a级方点”．
例如，点为双曲线的“3级方点”，点为直线的“级方点”．下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是__只填序号；
①；②；③
判断直线的“2级方点”的个数，并说明理由；
已知y关于x的二次函数，当该函数图象的“a级方点”恰有三个时，求a的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据正负数的意义可进行求解．
【详解】解：向东走10m，记为，
向西走5m记为
故选：
本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：，
故选：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项逐一进行判断即可．
【详解】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：
本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是熟记相关的运算法则．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看，底层是四个小正方形，上层右边是一个小正方形，
故选：
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
5.【答案】A
【解析】【分析】在优弧上取点D，连接AD，CD，根据圆周角定理得出，再
根据，求出结果即可．
【详解】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，
，
，
，故A正确．
故选：
本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记圆周角定理，求出
6.【答案】D
【解析】【分析】过点E作，根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后整理即可得解.
【详解】过点E作，
两直线平行，内错角相等，
，
已知，
平行于同一直线的两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补，
，
故选：
本题考查了平行线的判定与性质，作辅助线构造出平行线是解题的关键.
7.【答案】C
【解析】【分析】根据众数的定义解答即可．
【详解】解：由条形统计图可得，
全班同学答对题数的众数为9，
故选：
本题考查了众数，熟知一组数据中出现次数最多的数据是众数是解题关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】先解分式方程，得出，根据方程的解是正数得出，同时注意分式有意义，解不等式即可．
【详解】解：，
去分母，得，
解得：，
关于x的方程的解是正数，
且，
且
故选：
本题主要考查了根据分式解的情况求参数的范围，解题的关键是解分式方程得出关于a的不等式，同时注意分母不等于零．
9.【答案】B
【解析】【分析】先根据勾股定理求出，由题意可得，，，且，由平行线分线段成比例可知，先求出▱在的内部时t的取值范围，当点D在线段BC上时，易得四边形CDQP为矩形，根据可列出方程，求得，再分两种情况讨论：
当时，▱在的内部，此时；当时，PD交BC于点H，DQ交BC于点G，易得四边PHBQ为平行四边形，，
于是，由平行线分线段成比例可得
，以此算出HG，DG，此时；最后根据得出的函数关系即可判断．
【详解】解：在中，，，
，
，，
如图，连接PQ，
由题意可得，，，且，
则，，
，，
，
，
在中，，
当点D在线段BC上时，如图，
四边形APDQ为平行四边形，
，，
，且，
四边形CDQP为矩形，
，
，
解得：，
当时，▱在的内部，
此时；
当时，如图，PD交BC于点H，DQ交BC于点G，
四边形APDQ为平行四边形，
，，，，
，
，
四边PHBQ为平行四边形，
，
，
，
，即，
，，
，
；
综上，，
故选：
本题主要考查动点问题的函数图象、解直角三角形、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理，理解题意，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】证明，，再证明，可得，求解，再建立方程求解即可．
【详解】解：是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
故选：
本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，证明
是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】利用提公因式和平方差公式进行因式分解．
【详解】解：
故答案为：
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
12.【答案】5
【解析】【分析】根据圆锥侧面积公式即可求解．
【详解】解：圆锥的侧面积，，
圆锥的母线长，
故答案为：
本题考查了求圆锥的母线长，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺可知：绳子比木条长5尺得：；绳子对折再量木条，木条剩余2尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：；从而可得答案.
【详解】解：由题意可得方程组为：
，
故答案为：
本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键.
14.【答案】度
【解析】【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出
，，进而得出答案．
【详解】如图所示：
由图形可得：，
三个三角形全等，
，
又，
，
的度数是
故答案为：
此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
15.【答案】8
【解析】【分析】根据正切的定义，得出，再根据三角形的内角和定理，结合等腰三角形的定
义，得出是等腰直角三角形，进而得出，再根据线段之间的数量关系，计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，，，，
在中，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
旗杆的高度为
故答案为：
本题主要考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
16.【答案】32
【解析】【分析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为，得出自变量取值范围
；由矩形面积公式，面积为，结合二次函数的性质得最大值为，注意实际问题中，考虑自变量取值范围．
【详解】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为，
则，
矩形围栏的面积为，
，
当时，矩形有最大面积为，
此时与墙垂直的一边长为4m，与墙平行的一边长为8m，符合题意，
故答案为：
本题考查抛物线的图象性质，二次函数极值的应用，能够根据题意列出解析式是解题的关键，注意实际情况中，自变量的取值范围．
17.【答案】
【解析】【分析】过点B作，交CD于E，由平行线分线段成比例定理得出，与平行
线的性质得出，再由三角函数的定义即可得出结果．
【详解】解：过点B作，交CD于E，如图，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：
本题考查了解直角三角形平行线分线段成比例定理，通过作辅助线得出BE是解决问题的关键．
18.【答案】12
【解析】【分析】设，过点A作轴于D，过点O作，交AC于E，过点E 作轴于F，AC与y轴交于H，连接OC，根据反比例函数的性质可知，，由可得是等腰直角三角形，可知，利用AAS可证明，可得，，即可用a表示出点E坐标，利用待定系数法可用a表示出直线AC解析式，可表示出H坐标，联立直线AC与反比例函数解析式可表示出点C坐标，根据列方程求
出的值即可得答案．
【详解】设，过点A作轴于D，过点O作，交AC于E，过点E作
轴于F，AC与y轴交于H，连接OC，
直线与双曲线交于A、B两点，
，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
在和中，，
，
，，
，
设直线AC的解析式为，
，
解得：，
直线AC的解析式为，
当时，，
，，
联立直线AC与反比例函数解析式得，
解得：，舍去，
，
，
解得：，
，
故答案为：12
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，旋转的性质及全等三角形的判定与性质，正确求出点E坐标，及直线AC的解析式，并联立函数解析式求出交点坐标是解题的关键．
19.【答案】解：
；
解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
【解析】【分析】根据有理数方乘方，化简绝对值，二次根式的性质化简，零指数幂，进行计算即可求解；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，正确掌握有理数方乘方，化简绝对值，二次根式的性质化简，零指数幂，一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
20.【答案】【详解】解：调查总人数为人，
D类别的占比为，
C类别的占比为
人，
答：估计该校中度视力不良的学生人数大约有480人；
该校视力不良的学生人数占，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使
用的管控答案不唯一
【解析】【分析】利用表格中A类别的人数除以扇形统计图中对应的百分比，求得调查总人数，再求出D类别的占比，利用减去其他三类别的占比，即可求得C类别的占比，再用C类别的占比乘以该校总
人数，即可解答；
结合调查数据，提出合理建议即可．
本题考查了统计表和扇形统计图的结合，样本估计总量，能结合统计表和扇形统计图得到正确的数据是解题的关键．
21.【答案】【详解】证明：，
，
，
，
在和中，
≌；
解：在中，以AC为底作EH为高，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
【解析】【分析】由，得，进一步证得，根据边角边求证≌；
以AC为底作EH为高，则，，由，求得；求证≌，得，所以
本题考查平行的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积计算；能够灵活运用全等三角形性质是解题的关键．
22.【答案】【详解】解：从甲盒中摸出红球的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，
摸出的三个球中至少有一个红球的概率为
【解析】【分析】利用简单概率公式即可求解；
画出树状图，共有12种等可能的结果，其中摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，利用概率公式即可求解．
此题考查了用树状图法或列表法求概率、概率公式，熟练掌握树状图法或列表法是解题的关键．
23.【答案】【详解】解：作于点E，连接，
，
，
，，
，
，
，
，
；
解：，
，
，
阴影部分的面积为
【解析】【分析】作于点E，连接，解直角三角形POE，即可求得OE的长，再根据勾股定理和垂径定理，即可解答；
根据阴影部分面积等于扇形COD的面积减去的面积，即可解答．
本题考查了垂径定理，扇形的面积计算，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．
24.【答案】【详解】解：与x满足一次函数的关系，
设，
将；代入得：
，
解得：，
与x的函数关系式为：；
解：根据题意得：线上销售利润为，
线下销售利润为，
当时，
解得或舍去，
答：当售价为18元时，线上销售利润与线下销售利润相等；
解：由知，当时，，
当时选择线上销售利润大；
当时，，
当时选择线下销售利润大．
综上，当时选择线上销售利润大；当时选择线下销售利润大；当时候，两
种销售方法利润一样．
【解析】【分析】根据表格可知y与x满足一次函数的关系，再利用待定系数法求得一次函数即可；
利用销售利润=销售数量销售单价-销售成本，结合题意列代数式，即可解答；
根据二次函数的性质和中求得的结果，即可解答．
本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用销售问题，能结合题意列出正确的函数关系式是解题的关键．
25.【答案】【详解】证明：如图1，四边形ABCD是矩形，，
，
，
；
解：四边形ABCD是矩形，
①如图1，当点F在BC上时，
，
，
，即，
；
如图2，当点F在CD上时，
同可证，
，
，即，
，
或；
解：如图3，取AD的中点H，连接，
则
，
，
点O为矩形ABCD的对称中心，
点O为AC的中点．
，
，
，
当G与A重合时，OG最长，此时，
【解析】【分析】根据矩形的性质，进行角度的等量代换，即可解答；
分类讨论，即①当点F在BC上时②当点F在CD上时两种情况，利用正切的概念，即可解答；
取AD的中点H，连接，则，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得HG，再根据中位线的性质求得OH，即可求得OG的最小值，再结合题意可得，当G与A重合时，OG最长，求出此时OG的长，即可解答．
本题考查了矩形的性质，锐角三角形函数，解直接三角形，勾股定理，熟练画出图形并作出正确的辅助线是解题的关键．
26.【答案】【详解】解：函数图象的“1级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为2且一边平行于x轴的正方形上的点，
①直线与正方形有两个交点和；
②反比例函数与正方形有两个交点；
③抛物线与正方形有两个交点和
故答案为：①③；
的“2级方点”有两个，
理由：，
函数过定点，
由“a级方点”的定义可知，函数图象的“2级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为4且一边平行于x轴的正方形上的点，
点恰好落在该正方形的内部，直线与该正方形必有两个交点，
的“2级方点”有两个；
二次函数，
抛物线的开口向下，顶点为，
①当抛物线顶点在时，抛物线恰有三个“a级方点”，如图，
②当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“a级方点”，如图，
则，解得不合题意，舍去，
的值为2，，
【解析】【分析】函数图象的“1级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为2且一边平行于
x轴的正方形上的点，根据定义分别进行求解即可；
由可知函数过定点，由“a级方点”的定义可知，
函数图象的“2级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为4且一边平行于x轴的正方形上的点，
由点恰好落在该正方形的内部，直线与该正方形必有两个交点；
二次函数，则抛物线的开口向下，顶点为
此题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象和性质等知识，熟练掌握函数图象的“a级方点”
的定义是解题的关键．。