2019版高考数学理一轮总复习：第九章解析几何 作业62

题组层级快练(六十二)
1．(2018·江西南昌市一模)对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( )
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．以上都有可能
答案 C
解析 圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0，配方，得(x －1)2＋y 2＝3，圆心(1，0)，直线y ＝kx －1恒过M(0，－1)，而(0－1)2＋(－1)2<3，即M 点在圆内，所以直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．
2．直线xsin θ＋ycos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切
C ．相交
D ．以上都有可能 答案 B
解析 圆心到直线的距离d ＝|sin θ－2－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ
＝2.所以直线与圆相切．
3．两圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．外离 答案 A
解析 由于圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝36，故圆心为C 1(－1，3)，半径为6；圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故圆心为C 2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－1－2）2＋（3＋1）2＝5＝6－1，显然两圆内切．
4．(2018·安徽屯溪一中月考)若曲线x 2＋y 2－6x ＝0(y>0)与直线y ＝k(x ＋2)有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．[－3
4，0)
B ．(0，3
4)
C ．(0，3
4]
D ．[－34，3
4]
答案 C
解析 ∵x 2＋y 2－6x ＝0(y>0)可化为(x －3)2＋y 2＝9(y>0)，∴曲线表示圆心为(3，0)，半径为3的上半圆，它与直线y ＝k(x ＋2)有公共点的充要条件是：圆心(3，0)到直线y ＝k(x ＋2)的距离d ≤3，且k>0，∴|3k －0＋2k|k 2＋1
≤3，且k>0，解得0<k ≤3
4.故选C.
5．(2017·广州一模)直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( ) A.π6 B.π
3 C.π2 D.2π3
答案 D
解析 画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d ＝
|2|12＋（3）2
＝
1，∴sin ∠AOC ＝
d |OC|＝1
2，∴∠AOC ＝π6，∴∠CAO ＝π6
，∴∠ACO ＝π－π6－π6＝2π
3
.
6．(2018·福建福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：
(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A ，B 两点，则CA →·CB →
的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6
答案 B
解析 联立⎩⎪⎨⎪
⎧（x －3）2＋（y －3）2＝4，x －y ＋2＝0，
消去y ，得x 2－4x ＋3＝0.解得x 1＝1，x 2＝3.
∴A(1，3)，B(3，5)．
又C(3，3)，∴CA →＝(－2，0)，CB →
＝(0，2)． ∴CA →·CB →
＝－2×0＋0×2＝0. 7．(2018·保定模拟)直线y ＝－3
3
x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( ) A ．(3，2) B ．(3，3) C ．(
33，23
3
) D ．(1，23
3
)
答案 D
解析 当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝
|m|1＋（
33
）2＝1，解得m ＝
23
3
(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，需要1<m<
23
3
. 8．圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠APB ＝90°，则实数
c 的值是( ) A ．－3 B ．3 C ．2 2 D ．8
答案 A
解析 由题知圆心为(2，－1)，半径为r ＝5－c.令x ＝0得y 1＋y 2＝－2，y 1y 2＝c ，∴|AB|＝|y 1－y 2|＝21－c.又|AB|＝2r ， ∴4(1－c)＝2(5－c)．∴c ＝－3.
9．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
答案 C
解析 把x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2.
10．(2018·黄冈一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．在圆C 上存在点P ，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
答案 B
解析 设P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x －2)＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P 的个数为2.选B.
11．(2018·重庆一中期末)已知P 是直线kx ＋4y －10＝0(k>0)上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，若四边形PACB 面积的最小值为22，则k 的值为( ) A ．3 B ．2 C.13 D.152
答案 A
解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，则圆心为C(1，－2)，半径为1.由题意知直线与圆相离，如图所示，S
四边形
PACB ＝S △PAC ＋S △PBC ，而
S △PAC ＝12|PA|·|CA|＝12|PA|，S △PBC ＝
1
2
|PB|·|CB|＝1
2|PB|，又|PA|＝|PB|＝|PC|2－1，∴|PC|取最小值时，S △PAC ＝S △PBC 取最小值，
此时，CP 垂直于直线，四边形PACB 面积的最小值为22，S △PAC ＝S △PBC ＝2，∴|PA|＝22，
|CP|＝3，∴|k －8－10|
k 2＋16
＝3，又k>0，∴k ＝3.故选A.
12．(1)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． (2)以C(1，3)为圆心，并且与直线3x －4y －6＝0相切的圆的方程为________． 答案 (1)x ＋2y －5＝0 (2)(x －1)2＋(y －3)2＝9
解析 (1)由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－1
2，所以所求切
线方程为y －2＝－1
2
(x －1)，即x ＋2y －5＝0.
(2)r ＝|3×1－4×3－6|5
＝3，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9.
13．已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________． 答案 25π
解析 因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又因为直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r
＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.
14．已知点P(2，2)和圆C ：x 2＋y 2＝1，设k 1，k 2分别是过点P 的圆C 两条切线的斜率，则k 1·k 2的值为________． 答案 1
解析 设过点P 的切线斜率为k ，方程为y －2＝k(x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0. 其与圆相切则
|2k －2|
k 2
＋1
＝1，化简得3k 2－8k ＋3＝0.
所以k 1·k 2＝1.
15．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________． 答案 (2，2)
解析 ∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P(x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为
M.∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有|OP|＝2|OM|＝2.由两点间的距离公式得，|OP|＝x 02＋（－x 0＋22）2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 16．(2014·大纲全国)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________． 答案 43
解析 利用两点间距离公式及直角三角形求△AOB 各边，进而利用二倍角公式求夹角的正切值． 如图，|OA|＝12＋32＝10.
∵半径为2，∴|AB|＝|OA|2－|OB|2＝10－2＝2 2. ∴tan ∠OAB ＝|OB||AB|＝222＝1
2
.
∴所求夹角的正切值为tan ∠CAB ＝2tan ∠OAB
1－tan 2
∠OAB
＝2×121－14
＝43. 17．(2017·天津)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l.已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1
解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a)，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos120°＝
－11×1＋a 2＝－1
2
，解得a ＝3，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.
18．(2018·杭州学军中学月考)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称． (1)求实数m 的值；
(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，OA →·OB →
＝－3(O 为坐标原点)，求圆C 的方程． 答案 (1)m ＝1 (2)x 2＋y 2＋2x －3＝0
解析 (1)圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝1－a ，圆心C(－1，0)． ∵圆C 上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线l ：mx ＋y ＋1＝0过圆心C. ∴－m ＋1＝0，解得m ＝1.
(2)联立⎩⎪⎨⎪
⎧x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0，x ＋y ＋1＝0，
消去y ，得2x 2＋4x ＋a ＋1＝0.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，Δ＝16－8(a ＋1)>0，∴a<1.
由x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝a ＋12，得y 1y 2＝(－x 1－1)(－x 2－1)＝a ＋1
2－1.
∴OA →·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝a ＋1－1＝a ＝－3. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0.
1．(2014·安徽，文)若过点P(－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．(0，π6]
B ．(0，π
3]
C ．[0，π
6]
D ．[0，π
3
]
答案 D
解析 设直线l 的方程为y ＋1＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0. 由d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，得0≤k ≤ 3.
∴0≤tan α≤3，∴α∈[0，π
3
]，选D.
2．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0 答案 A
解析 如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12
，∴k AB ＝－2.
故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，故选A. 另解：易知PACB 四点共圆，其方程为(x －1)(x －3)＋(y －0)(y －1)＝0，即x 2＋y 2－4x －y ＋3＝0. 又已知圆为x 2＋y 2－2x ＝0， ∴切点弦方程为2x ＋y －3＝0，选A.
3．(2016·山东，文)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a>0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 答案 B
解析 圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0的圆心M(0，a)，半径为a ，
所以圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离为
|a|2
. 由直线x ＋y ＝0被圆M 截得的弦长为22，知a 2
－a 2
2＝2，
故a ＝2，即M(0，2)且圆M 的半径为2. 又圆N 的圆心N(1，1)，且半径为1， 根据1<|MN|＝2<3，知两圆相交．故选B.
4．(2015·课标全国Ⅱ，理)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10
答案 C
解析 设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪
⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，
D －7
E ＋
F ＋50＝0解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M(0，y 1)，N(0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN|＝|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝46，故选C.
5．已知点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B
两点，则|AB|的最小值是( ) A ．2 6 B ．4 C. 6 D ．2 答案 B
解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长等价于求到圆心距离d 最大的点，即图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB|min ＝214－10＝4，故选B.
6．(2018·唐山一中模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A ．6－2 2
B ．52－4 C.17－1 D.17
答案 B
解析 ⊙C 1关于x 轴对称的⊙C 1′的圆心C 1′(2，－3)，半径仍为1，⊙C 2的圆心为(3，4)，半径为3，|PM|＋|PN|的最小值为⊙C 1′和⊙C 2的圆心距离减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为52－4.
7．(2018·衡水调研卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 答案 (1)(x －3)2＋(y －1)2＝9 (2)a ＝－1
解析 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．
故可设圆C 的圆心为(3，t)，
则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋（t －1）2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.
(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，（x －3）2＋（y －1）2
＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.
因此x 1＝（8－2a ）＋56－16a －4a 24，x 2＝（8－2a ）－56－16a －4a 2
4，
从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋1
2.①
由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2＝0.②
由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.
8．(2015·课标全国Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；
(2)若OM →·ON →
＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|.
答案 (1)(4－73，4＋7
3
) (2)2
解析 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|
1＋k 2<1.
解得4－73<k<4＋73
.
所以k 的取值范围为(4－73，4＋7
3)．
(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2
，x 1x 2＝7
1＋k 2. OM →·ON →
＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1 ＝4k （1＋k ）1＋k 2
＋8.
由题设可得4k （1＋k ）
1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.
故圆C 的圆心(2，3)在l 上，所以|MN|＝2.。