人教版2019-2020九年级数学第一学期期末模拟测试题1(能力提升 附答案详解)

人教版2019-2020九年级数学第一学期期末模拟测试题1（能力提升附答案详解）一、单选题
1．若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在抛物线y=﹣1
2
（x+2）2﹣1上，则
（）A.y1＜y3＜y2B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y2＜y1 D.y3＜y1＜y2 2．如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
3．已知
2
5
a
a b
=
+
，则
b
a
的值为（）
A.3
2
B.
3
5
C.
2
5
D.
2
3
4．一上山坡路（如图所示），小明测得的数据如图中所示，则该坡路倾斜角α的正切值是（）
A.3
4
B.
4
3
C.
3
5
D.
4
5
5．已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是（）
A．x1+x2=﹣B．x1•x2=1 C．x1，x2都是有理数D．x1，x2都是正数6．下列说法正确的是( )
A.三点确定一个圆
B.一个三角形只有一个外接圆
C.和半径垂直的直线是圆的切线
D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
7．从上面和从左面看由一些大小相同的小正方体组成的几何体，看到的图形如图所示，那么，组成这个几何体的小正方体个数可能有( )
A.8块
B.6块
C.4块
D.12块
8．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB 交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（）
A．1 B．C．3 D．
9．将式子ab＝cd(a，b，c，d都不等于0)写成比例式，错误的是()
A.a d
c b
= B.
c a
b d
= C.
d b
a c
= D.
a c
b d
=
二、填空题
10．有四张不透明卡片，分别写有实数1
4
，﹣1，
-1-5
2
，
1
5
，除正面的数不同外其余
都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张卡片，取到的数是无理数的可能性大小是__．
11．如图，⊙O的半径是4，圆周角∠C=60°，点E时直径AB延长线上一点，且∠DEB=30°，则图中阴影部分的面积为_______．
12．若方程（m－1）x2+x+m2－1=0是一元二次方程，则m________________.
13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边
AD，AB的中点，EF交AC于点H，则AH
HC
的值为.
14．如图，已知李明的身高为1.8m，他在路灯下的影长为2m，李明距路灯杆底部为3m，则路灯灯泡距地面的高度为____m；
15．掷一枚质地不均匀的骰子，做了大量的重复试验，发现“朝上一面为6点”出现的频率越来越稳定于0.4．那么，掷一次该骰子，“朝上一面为6点”的概率为．
16．关于x 的一元二次方程220x x m +-=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A.1m ≥-
B.1m >-
C.1m ≤-
D.1m <-
17．若x=2是一元二次方程x 2﹣2a=0的一个根，则a=______．
18．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ．点D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作BG 丄CD ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF ．给出以下四个结论： ①
AG FG AB FB =； ②点F 是GE 的中点； ③AF=23
AB ；④S △ABC =5S △BDF ，其中正确的结论序号是__________．
19．如图，在反比例函数y =
3
2x
的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数k y x
=
的图象上运动，tan 2CAB ∠=，则关于250x x x k -+=的方程的解为___________． 三、解答题 20．计算：
cos601
1sin60tan30︒++︒︒
21．定义：如图1，等腰△ABC 中，点E ，F 分别在腰AB ，AC 上，连结EF ，若AE ＝CF ，则称EF 为该等腰三角形的逆等线．
（1）如图1，EF 是等腰△ABC 的逆等线，若EF ⊥AB ，AB ＝AC ＝5，AE ＝2，求逆等线EF 的长；
（2）如图2，若等腰直角△DEF 的直角顶点D 恰好为等腰直角△ABC 底边BC 上的中点，且点E ，F 分别在AB ，AC 上，求证：EF 为等腰△ABC 的逆等线；
（3）如图3，等腰△AOB 的顶点O 与原点重合，底边OB 在x 轴上，反比例函数y ＝ （x ＞0）的图象交△OAB 于点C ，D ，若CD 恰为△AOB 的逆等线，过点C ，D 分别作CE ⊥x 轴，DF ⊥x 轴，已知OE ＝2，求OF 的长．
22．请完成以下问题：
（1）如图1，，弦AC与半径OD平行，求证：AB是⊙O的直径；
（2）如图2，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．已知圆的半径为r，AC=y，CD=x，求y与x的函数关系式．
23．若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
（1）矩形_____“奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若⊙O的半径为6，
∠BCD=60°．“奇妙四边形”ABCD的面积为________；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，BD＝2.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE＝∠B.求线段
25．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑，白两种颜色的球共20只．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次
数n
100 150 200 500 800 1000
摸到白球
的次数m
58 96 116 295 601
摸到白球
的频率
m/n
0.58 0.64 0.59 0.605 0.601
（1）请填出表中所缺的数据；
（2）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.01）
（3）请据此推断袋中白球约有只．
26．一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球.
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个黑球的概率是1
3
，求从袋
中取出黑球的个数．
27．如图，抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接
M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的1
4
时，求□APQM
面积．
参考答案
1．D 【解析】
解法（1）：把点A 、B 、C 的坐标分别代入：21(2)12y x =-
+-可得：13y =-，23
2
y =-，311
2
y =-
， ∵113322
-
<-<-， ∴312y y y <<. 故选D.
解法（2）：∵在21
(2)12y x =-
+-中，102
a =-<，对称轴为直线2x =-， ∴抛物线的开口向下，且点A 、B 、C 中，到对称轴最远的是点C 、其次是点A 、最近的是点B ， ∴312y y y <<. 故选D.
点睛：（1）当抛物线开口向上时，抛物线上的点距抛物线对称轴越远，这个点的纵坐标就越大；（2）当抛物线开口向下时，抛物线上的点距抛物线的对称轴越远，这个点纵坐标就越小. 2．C 【解析】
试题分析：根据AB ∥CD ∥EF ，再利用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形，即可得出正确答案． ∵AB ∥CD ∥EF ， ∴
=
，
=
，
，
；
考点：平行线分线段成比例． 3．A 【解析】 解：∵2
5
a a
b =+，∴5a =2a +2b ，∴3a =2b ，∴b ：a =3：2．故选A ． 4．A 【解析】
AC=3，BC=4. 则tanα= AC BC = 3
4
. 故选：A. 5．D 【解析】 【分析】
先利用根与系数的关系得到x 1+x 2=52＞0，x 1x 2=1
2
＞0，然后利用有理数的性质可判定两根的符号． 【详解】
解：先利用根与系数的关系得到x 1+x 2=52＞0，x 1x 2=1
2
＞0，∴x 1＞0，x 2＞0． 故选项A 、B 错误，选项D 正确
517
±=
x ，故C 选项错误， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
1212,+=-=b c
x x x x a a
6．B 【解析】 【分析】
根据确定圆的条件对A 、B 进行判断；根据切线的判定定理对C 进行判断；根据三角形内心的性质对D 进行判断． 【详解】
解：A 、不共线的三点确定一个圆，所以A 选项错误； B 、一个三角形只有一个外接圆，所以B 选项正确；
C 、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C 选项错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了确定圆的条件和切线的判定．
7．B
【解析】
根据从上面看得到的图形可知第一层呈“┍”形，有四个小正方体，分前后两排，后面一排有3个小正方体，根据从左面看得到的图形可知后面一排小正方体的上面最多可有3个小正方体，最小可有1个小正方体，这样组成这个几何体的小正方体最小有5个，最多有7个，观察选项可知可以有6个，故选B.
8．D
【解析】试题分析：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵cos∠ACD=，
∴cos∠B=，
∴tan∠B=，
∵BC=4，
∴tan∠B=，
∴=，
∴AC=．
故选：D．
考点：圆周角定理；解直角三角形．
9．D
【解析】
选项A 、B 、C 根据比例的性质计算后都可得ab ＝cd ，选项D 根据比例的性质计算后得ad=bc ，所以选项D 错误，故选D. 10．
14
【解析】
四个数中，无理数只有
-1-5
2
，则取到的数是无理数的可能性大小是14
11．83﹣83
π
【解析】 连接OD ，
∵∠C=60°，∴∠AOD=2∠C=120°，∴∠DOB=60°， ∵∠DEB=30°，∴∠ODE=90°，
∵OD=4，∴OE=2OD=8，DE=3OD=43，
∴S 阴影=S △ODE ﹣S 扇形DOB =14432⨯⨯﹣2604360⨯π=83﹣83
π.
点睛：连接OD ，根据圆周角定理可求出∠DOB 的度数，根据图形确定S 阴影=S △ODE ﹣S 扇形
DOB 是解题的关键．
12．≠1
【解析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0），根据二次项系数不等于0，即可求得m 的值．
解：∵方程（m －1）x 2+x +m 2－1=0是一元二次方程， ∴m-1≠0，即m≠1． 故填：m≠1 故答案为：m≠1
“点睛”一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0），特别要注意a≠0
的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
13．1 3 .
【解析】
试题分析：因为点E、F分别是边AD,AB的中点，所以EF是三角形ABD的中位线，根据三角形中位线的性质，EF∥BD,所以△AEH∽△ADO,所以,再根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.可得AO=CO,所以.
考点：1、平行四边形的性质；2、相似三角形的性质.
14．4.5
【解析】试题解析：如图：
∵CD∥AB，∴△ECD∽△EBA，∴CD：AB=CE：BE，∴1.8：AB=2：5，∴AB=4.5m．答：路灯灯泡距地面的高度为4.5m．
15．0.4.
【解析】
试题分析：利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．发现“朝上一面为6点”出现的频率越来越稳定于0.4，掷一次该骰子，“朝上一面为6点”的概率为0.4.
故答案为：0.4.
考点：利用频率估计概率．
16．A
【解析】
由题意得
△=4-4×(-m) ≥0
解之得
m≥-1
故选A.
17．2
【解析】试题解析：把x=2代入x 2-2a=0得4-2a=0， 解得a=2． 18．①③ 【解析】
试题分析：∵在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∴AB ⊥BC ，AG ⊥AB ，∴AG ∥BC ，∴△AFG ∽△CFB ， ∴
，∵BA=BC ，∴
，故①正确；∵∠ABC=90°，
BG ⊥CD ∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD ，∵AB=CB ，点D 是AB 的中点，∴BD=AB=CB ，∵tan ∠BCD==，
∴在Rt △ABG 中，tan ∠DBE==，∵
，∴FG=FB ，故②错误；
∵△AFG ∽△CFB ，∴AF ：CF=AG ：BC=1：2， ∴AF=AC ，∵AC=
AB ，∴AF=
AB ，故③正确；∵BD=AB ，AF=AC ，∴S △ABC =6S △BDF ，故④错误．故答案为：①③．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2. 勾股定理；3. 等腰直角三角形. 19．126,1x x ==- 【解析】
试题分析：连接OC ，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ，通过角的计算可求得∠AOE=∠COF ，结合“∠AEO=90°, ∠CFO=90°”可得出△AOE ∽△COF ，根据相似三角形的性质可得
AE OE AO CF OF CO
==，再由tan ∠CAB=OC
OA =2，可得CF·OF=|k|，解得k=±6，由点C 在第二象限，可知k=-6，然后代入可求得126,1x x ==-. 20．2 【解析】
试题分析：把特殊角的三角形函数值代入进行求值即可.
试题解析：原式1
2331+
()()
233=3232323-++⨯-=2.
21．（1）逆等线EF的长为；
（2）EF为等腰△ABC的逆等线；
（3）OF＝2＋2
【解析】
试题分析：(1)、根据逆等线的定义得出CF=AE=2，AF=3，根据勾股定理得出EF的长度；
(2)、连接AD，根据题意证明出△EDA和△FDC全等，从而得出AE=CF，得到逆等线；(3)、设OF=x，作AG⊥OB，CH⊥AG，根据逆等线的性质得出△ACH和△DBF全等，从而得出EG=x-4，根据△ACH和△COE相似得出x的值，从而得出x的值，即OF的长度.
试题解析：（1）∵EF是等腰△ABC的逆等线
∴CF＝AE＝2，又AB＝AC＝5 ∴AF＝3 ∵EF⊥AB∴EF＝＝
（2）连结AD，在等腰Rt△ABC中，点D为底边上中点∴AD＝CD且∠ADC＝90°
又∵DE＝DF且∠EDF＝90°∴∠EDA＝90°－∠ADF＝∠FDC
∴△EDA≌△FDC∴AE＝CF∴EF为等腰△ABC的逆等线
（3）如图3，设OF＝x，则DF＝作AG⊥OB，CH⊥AG
∵CD为△AOB的逆等线∴AC＝BD，又∠ACH＝∠AOB＝∠DBF
且∠AHC＝∠AGO＝∠DFB ∴△ACH≌△DBF 则EG＝CH＝BF，AH＝DF
又AO＝AB，且AG⊥OB∴OG＝BG∴GF＝BG－BF＝OG－EG＝OE
所以EG＝x－2－2＝x－4 ∵△ACH∽△COE∴＝即＝
化简得x2－4x－4＝0 所以x＝2＋2 即OF＝2＋2
22．（1）详见解析；（2）y=2r﹣．
【解析】
试题分析：（1）连接BC，由得OD⊥BC，又AC∥OD，故AC⊥BC，所以是圆的直径；
（2）连结，连结交于点，易证，得，由中位线性质计算出DH,代入即可.
试题解析：（1）证明：连结，交于点
∵
∴OD⊥BC，即
又AC∥OD，
弦是圆的直径（的圆周角所对的弦是直径）.
（2）如图，连结，连结交于点
是⊙的直径
弦与半径平行
，
得
是的中点
是的中位线
即
化简得：
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系．
23．（1）是；（2）54.（3）AD=2OM，证明见解析。

【解析】
试题分析：（1）根据矩形的性质和“奇妙四边形”的定义进行判断；
（2）连结OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，根据垂径定理得到BH=DH，根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=120°，则利用等腰三角形的性质得∠OBD=30°，在Rt△OBH中可计算出33，3，则3，然后根据奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半求解；
（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到
∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，于是有OM=1
2 AD．
试题解析：（1）矩形的对角线相等但不垂直，所以矩形不是“奇妙四边形”；
故答案为不是；
（2）连结OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，则BH=DH，
∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，
∴∠OBD=30°，
在Rt△OBH中，∵∠OBH=30°，
∴OH=1
2
OB=3，
∴BH=3OH=33，∵BD=2BH=63，∴AC=BD=63，
∴“奇妙四边形”ABCD的面积=1
2
×63×63=54；
（3）OM=1
2
AD．理由如下：
连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，
∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∵∠BOC=2∠BAC，
而∠BOC=2∠BOM ， ∴∠BOM=∠BAC ， 同理可得∠AOE=∠ABD ， ∵BD ⊥AC ，
∴∠BAC+∠ABD=90°， ∴∠BOM+∠AOE=90°， ∵∠BOM+∠OBM=90°， ∴∠OBM=∠AOE ， 在△BOM 和△OAE 中
{BMO OEA OBM AOE OB AO
∠∠∠∠＝＝＝ ∴△BOM ≌△OAE ， ∴OM=AE ， ∴OM=1
2
AD ． 24．1
解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，∠ADC ＝∠ADE ＋∠CDE ，而∠ADE ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△DCE ， ∴
AB DC ＝BD CE .∵AB ＝8，BC ＝6，BD ＝2，∴DC ＝BC －BD ＝4，∴84＝2
CE
，∴CE ＝1.
【解析】
试题分析：由条件可得到BAD CDE ∠=∠， 可证明ABD DCE ∽， 由相似三角形的性质可得到
,AB BD
DC EC
= 代入可求得EC ． 试题解析：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C .
∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，∠ADC ＝∠ADE ＋∠CDE ， 而∠ADE ＝∠B ， ∠BAD ＝∠CDE ， ∴△ABD ∽△DCE ，
,AB BD
DC EC
∴
= ∵AB ＝8，BC ＝6，BD ＝2， ∴DC ＝BC －BD ＝4，
82,4EC
∴= ∴CE ＝1.
25．（1）填表见解析（2）0.60（3）0.58，484；0.60；12 【解析】
试题分析：（1）利用频率=频数÷样本容量=频率直接求解即可； （2）根据统计数据，当n 很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数.
试题解析：（1）填表如下：
（2）答案为：0.60；
（3）由（2）摸到白球的概率为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=20×0.6=12（只）．
故答案为：0.58，484；0.60；12． 26．（1）摸不到奖的概率是3750；（2）获得10元奖品的概率是
1
1225
. 【解析】
试题分析：（1）由一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先设从袋中取出x 个黑球，根据题意得：
81
203
x x -=-，继而求得答案．
试题解析：解：（1）∵一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：51 204
.
（2）设从袋中取出x个黑球，
根据题意得：81
203
x
x
-
=
-
，解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，
∴从袋中取出黑球的个数为2个．
考点：1.概率公式；2.分式方程的应用．27．（1）直线AD的解析式为：y=x+1；
（2）△FGH周长的最大值为2
4
；
（3）□APQM面积为5或10．
【解析】
试题分析：（1）根据抛物线解析式求得点A、B、C点坐标，由点D，C关于抛物线的对称轴对称得点D坐标，继而利用待定系数法求解可得；
（2）设点F（x，-x2+2x+3），根据FH∥x轴及直线AD的解析式y=x+1可得点H（-x2+2x+2，-x2+2x+3），继而表示出FH的长度，根据二次函数的性质可得FH的最值情况，易得△FGH 为等腰直角三角形，从而可得其周长的最大值；
（3）设P（0，p），根据平行四边形性质及点M坐标可得Q（2，4+p），分P点在AM下方与P点在AM上方两种情况，根据重合部分的面积关系及对称性求得点P的坐标后即可得▱APQM面积．
试题解析：（1）令－x2+2x+3=0，
解得x1=－1，x2=3，
∴A（－1，0），C（0，3），
∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（2，3），
∴直线AD的解析式为：y=x+1；
（2）设点F（x，－x2+2x+3），
∵FH∥x轴，
∴H（-x2+2x+2，-x2+2x+3），
∴FH=－x2+2x+2-x=-（x－1
2
）2+
9
4
，
∴FH的最大值为9
4
，
由直线AD的解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°，∵FH∥AB，
∴∠FHG=∠DAB=45°，
∴FG=GH=
2
2
×
9
4
=
92
8
故△FGH周长的最大值为92
8
×2+
9
4
=
9+92
4
；
（3）①当P点在AM下方时，如图，
设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），
∵△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的1
4
，
∴PQ′必过AM中点N（0，2），
∴可知Q′在y轴上，易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T（1，4），从而T、M重合，
故□APQM是矩形，
易得直线AM解析式为：y=2x+2，
而MQ⊥AM，
∴直线QQ′：y=－1 2
x+
9
2
，
∴4+p=－
1
2
×2+
9
2
，∴p=－
1
2
，（注：此处也可用AM2+AP2=MP2得出p=－
1
2
），∴PN=
5
2
，∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4×
1
2
×PN×AO=4×
1
2
×
5
2
×1=5；
②当P点在AM上方时，如图，
设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），
∵△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的
1
4
，
∴PQ′必过QM中点R（
3
2
，4+
2
p
），
易得直线QQ′：y=－
1
2
x+p+5，
联立
22
1
5
2
y x
y x p
=+
⎧
⎪
⎨
=-++
⎪⎩
解得：x=
6+2
5
p
，y=
22+4
5
p
，
∴H（
6+2
5
p
，
22+4
5
p
），
∵H为QQ′中点，故易得Q′（
2+4
5
p
，
22+3
5
p
），
由P（0，p）、R（
3
2
，4+
2
p
）易得直线PR解析式为：y=（
8
3
－
3
p
）x+p，
将Q′（
2+4
5
p
，
22+3
5
p
）代入到y=（
8
3
－
3
p
）x+p得：
24+3
5p
=（
8
3
－
3
p
）×
2+4
5
p
+p，
整理得：p2－9p+14=0，解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），∴P（0，7），∴PN=5，
∴S□APQM=2S△AMP=2×1
2
×PN×∣x M－x A∣=2×
1
2
×5×2=10．
综上所述，□APQM面积为5或10
点睛：本题主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质与矩形的判定、性质等知识点，根据点P的位置分类讨论以及根据已知条件求出点P的坐标是解决本题的难点.。