2020届宁夏银川一中高三第五次月考数学(理)试题

银川一中2020届高三年级第五次月考
理 科 数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集R U =，集合}5,4,3,2,1,0{=A ，}2|{≥=x x B ， 则图中阴影部分所表示的集合 A ．{}1 B ．{}0,1
C ．{}1,2
D ．{}0,1,2
2．在复平面内与复数21i
z i
=
+所对应的点关于 实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为 A ．1i + B ．1i -
C ．1i --
D ．1i -+
3．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 A ．3213log 2
+ B ．2log 3
C ．4
D ．2
4．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的焦点在x 轴上，且椭圆C 的离心率为
7
4
，面积为12π，则椭圆C 的方程为 A ．22134x y += B ．221916
x y +=
C ．22
143x y +=
D ．22
1169
x y +=
5．已知()(1)(2)2f k k k k k =+++++⋯+（k *∈N ），则 A ．(1)()22f k f k k +-=+ B ．(1)()33f k f k k +-=+ C ．(1)()42f k f k k +-=+
D ．(1)()43f k f k k +-=+
6．已知数列{}n a 为等比数列，且2
234764a a a a =-=-，则5
2)3
a π⋅=
A
．
B
C
．D
．-
7．设抛物线2
y 4x =-的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜
||PF = A ．
23 B ．
43
C ．
73
D ．4
8．若4sin cos 3θθ-=
，且3π,π4θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则sin(π)cos(π)θθ---= A
．3-
B
．
3
C ．43
-
D ．
43
9．已知三棱锥A BCD -
中，AB CD ==2==AC BD
，AD BC ==点在同一个球面上，则此球的体积为 A ．
32
π B ．24π
C
D ．6π
10．在Rt ABC ∆中，已知90,3,4,C CA CB P ∠===o 为线段AB 上的一点，且
CA CB CP x y CA
CB
=⋅+⋅u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ，则
11
x y
+的最小值为 A ．
76
B ．
712
C
．
712+
D
．
76+
11．已知函数()y f x =是(11)-，
上的偶函数，且在区间(10)-，上是单调递增的，A 、B 、C 是锐角三角形ABC △的三个内角，则下列不等式中一定成立的是 A ．(sin )(sin )f A f B > B ．(sin )(cos )f A f B > C ．(cos )(sin )f C f B >
D ．(sin )(cos )f C f B >
12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为
'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，
(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为
A ．(,0)-∞
B ．(0,)+∞
C ．(
)4
,e
-∞
D ．(
)
4
,e +∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知椭圆()222104x y a a +=>与双曲线22
193
x y -=有相同的焦点，则a 的值为______.
14．已知实数x ，y 满足不等式组20
25020x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，且z =2x -y 的最大值为a ，
则dx x
a e
⎰1=______．
15．已知点()2,0A -，()0,4B ，点P 在圆()()2
2
:345C x y -+-=上，则使90APB ∠=︒ 的点P 的个
数为__________.
16．已知函数()22
log ,02
()3,2
x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x a =有4个不同的实数根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则
4
34123
x x x x x x ++的取值范围是____． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：(共60分) 17．(12分)
已知等差数列{}n a 满足：4107,19a a ==，其前n 项和为n S ． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ； （2）若1
1
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．(12分)
已知函数2()3cos 2sin 1f x x x x =+-. (1)求函数()f x 的单调递增区间；
(2)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2,C ,24
f A c π
===，求ABC ∆的面积.
19．(12分)
如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，23
BCD π
∠=
，四边形 ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.
（1）求证：EF ⊥平面BCF ；
（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值. 20．(12分)
已知椭圆(222:122x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2
2
PF =
. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且2OM =，求AOB ∆面积的最大值.
21．(12分)
已知函数(
))f x lnx x a R =+-∈有两个极值点12,x x ，且12x x <. (1)若5a =，求曲线()y f x =在点()()
4,4f 处的切线方程； (2)记()()()12g a f x f x =-，求a 的取值范围，使得()15
0424
g a ln <≤-.
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为))2,0[(sin 3cos π∈θ⎩
⎨
⎧θ=θ
= y x ，曲线2C
的参数方程为
122(x t t y ⎧
=--⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
为参数)． (1)求曲线1C ，2C 的普通方程；
(2)求曲线1C 上一点P 到曲线2C 距离的取值范围． 23．[选修4－5：不等式选讲]
已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.
银川一中2020届高三年级第五次月考（理科）参考答案
一、选择题：
二、填空题
13. 4 14. 6 15. 1 16. (7,8) 三、解答题
17. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则11
37
919a d a d +=⎧⎨+=⎩，…………2分
解得：1
a 1,d 2==， …………4分
∴12(1)21n a n n =+-=-，2(121)
2
n n n S n +-==． …………6分
（2）()()111111212122121n n n b a
a n n n n
+⎛⎫
=
==- ⎪-+-+⎝⎭
， …………8分 ∴数列{}n b 的前n 项和为
11111
1123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
L …………10分 11122121
n
n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭ …………12分 18. 解（1）∵()2
21f x sin x =+-x ﹣cos2x ＝2sin （2x 6
π
-
），…2分 令2k π2π
-
≤2x 6π
-
≤2k π2π+
，k ∈Z ，解得k π6
π-≤x ≤k π3π
+，
k ∈Z ， (4)
分 ∴函数f （
x ）的单调递增区间为：[k π6
π-，k π3π
+]，k ∈Z ． …6分
（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2，∴sin （2A 6π
-）＝1，
∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ
-=，解得A 3
π=， …8分
∵C 4
π
=，c ＝2，
∴由正弦定理
a c
sinA sinC
=，可得a 2c sinA sinC ⋅=
== …10分
∴由余弦定理a 2
＝b 2
+c 2
﹣2bc cos A ，可得6＝b 2
+4﹣21
22
b ⨯⨯⨯
，解得b ＝13去）， …11分 ∴S △ABC 12=ab sin C 162=（13233
+= …12分 19.
（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ,设1AD CD BC ===， 又∵23
BCD π
∠=
,∴2AB =,∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒= ∴222AB AC BC =+.则BC AC ⊥. ……2分 ∵CF ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ，∴AC CF ⊥, ……4分 而CF BC C =I ,∴AC ⊥平面BCF .∵//EF AC ,∴EF ⊥平面BCF . ……6分 （Ⅱ）解：分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设1AD CD BC CD ====，令(03FM λλ=≤≤， 则())
()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,,0,1C A
B M λ， ……8分
∴
()
()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-u u u v u u u u v 设(),,n x y z =v
为平面MAB 的一个法向量，
由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v 得300
x y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()
3,3n λ=v ，∵()1,0,0m =v
是平面FCB 的一个
法向量， ……10分
∴(
)
(
)
2
2
cos ,1331
34
n m n m n m
λλ⋅===
++
-⨯-+v v v v v v
∵03λ≤≤0λ=时，cos θ7
， ∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成二面角最大，此时二面角的余弦值为
7
. ……12分 20.解：（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点2,2P c ⎛± ⎝⎭
，2b = ……2分
则有2
22
212c a ⎛ ⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22
182
x y +=； ……4分
（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ⊥，
由OM
AB =
1
2
AOB S OM AB ∆=
⋅=； ……5分 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，
由22
182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()222
148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，2122
4814t x x k
-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ……7分
已知OM =()
2
222
214116k t k
+=
+. ……8分
()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦
Q ()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2
2
2
1t d k
=+， ()()()
22
222
2221682114114AOB
k t t S k k k ∆-+=+⋅++. …10分 将()
2222
214116k t k
+=
+代入化简得()
()
222
2
219241116AOB
k k S
k ∆+=
+.
令2
116k p +=，
则()()
()2
2
2
22
211211192414116AOB
p p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+2
11433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.
当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2.
综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. ……12分 21。

解：(1)5a =时，(
)ln x x f x +-=(
)11f x x '=
+ ……2分
()()446,'40,f ln f =-=
所以，点()()
4,4f 处的切线方程是46y ln =-； ……4分 (2)(
)122
12x f x x x -'=
+=
2
a
=
1=，且2160a ∆=->，4a >， ……6分 因为(
)11112f x lnx x lnx x =+-=--，()2222f x lnx x =--， ……8分
t =，得()
2
214
t a t
+=，且1t >.
所以()()12121
ln 2x g a x x t lnt x t ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭
， ……10分
令()12ln h t t t t
=--
则()()2
2
222
11221'10t t t h t t t t t --+=+-==
> 所以()h t 在(1,)+∞上单调递增， 因为()15
4424
h ln =
-，所以14t <≤， 又因为()2
2
1124t a t t t
+==++在(]1,4上单调递增，所以45a <≤. ……12分 22.解：由题意，cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），则cos sin 3x y θ
θ=⎧⎪
⎨=⎪⎩，平方相加，
即可得1C ：2
2
y x 19
+=， ……2分
由122(2x t t y t ⎧
=--⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
为参数），消去参数，得2C
：)y x 2=+，
y 0++=. ……4分 （2）设()P cos α,3sin α，
P 到2C
的距离d =
=
……6分 ∵[)α0,2π∈，当πsin α16⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭时，即πα3
=
，max d = 当πsin α16⎛
⎫+
=- ⎪⎝
⎭时，即4πα3
=，min d 0=. ……8分
∴取值范围为0,⎡⎣. ……10分
23.解：（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<； ……2分 当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2
(1)0x ->，显然成立， 此时解集为(,1)-∞；
当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；
当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2
(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集； 综上，原不等式的解集为(,1)-∞； ……5分
（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意； ……7分
当1a <时，2(),1
()2()(1),x a a x f x x a x x a
-≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满
足题意； ……9分
综上，a 的取值范围是[1,)+∞. ……10分。