面积计算公式的推导“化归”是如何发生的

在小学数学课堂学习中，平面图形面积计算 公式的推导是十分重要的部分。

虽然各种图形面 积计算公式的推导都依赖于“化归”这一数学思 想，但从战术的角度来看，化归的方式却各有不 同，这些不同的化归方式，学生是怎么想到的？目前在课堂教学过程中，教师往往把化归方式直接 呈现给学生,学生只是用教师提供的方式见证了 果然是可以化归的。

但学生疑惑的是：老师是怎 么想到这种化归方式的呢？
这里试着从这个角度来谈谈教师在平行四 边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式推导过 程中，如何凸显思想的发生，以及如何来充分实 现这些教学内容中蕴藏的数学教育价值的。

©平行四边形面积:怎么想到割补化归的
在平行四边形的面积计算公式推导中，老师 会开门见山地问学生:你有办法把平行四边形转 化成长方形吗?有的学生看过书，会说剪掉一个“化归”
是如何发生的
◊俞正强吴新君
角拼过去，就是长方形。

老师就会说:大家来试试
看。

于是全体学生来一番操作演示，学生明白了
平行四边形确实是可以转化为长方形的，记住公
式，问题就解决了。

这样看似成功的教学后面，掩盖着这样一个
问题：为什么要把平行四边形转化为长方形？你
是怎么想到把平行四边形转化为长方形的呢?这
两个问题，是平行四边形这一推导过程有别于长
方形面积计算公式推导的数学价值所在。

这两个问题该怎么解决呢？我们提供如下过
程。

环节一:用面积板来讨论平行四边形的面积。

问题:这个平行四边形（如图1)的面积是多
少？
图1
【设计意图】在长方形面积计算公式的推导
中，曾经安排学生用1平方厘米的单位正方形来
摆一摆，这就形成了面积板这一教学用具的表
象。

事实上，所有平面图形求面积的方法都只是
在利用面积板无法直接解决时的变通方法。

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8
2020.7-8彳舦#m学版:
环节二:讨论—
—你是怎么数的？问题:半个、小半个怎么数呢？（如图2)
图2
【设计意图】两个环节中面积单位的规整让 学生主动完成了两次等积变形的过程。

当出现平
行四边形的时候，学生最先想到的依然是用面积
单位来度量，遇到了面积单位不完整的时候怎么
办？一定是想把它拼完整，于是就有了就近的上
下规整。

当体会到不能上下规整时，就会去想左
右规整。

环节三:讨论—
—刚才数方格的时候把一块 补到另一块上，那补之前与补之后有什么区别？
说明：长方形的长就是平行四边形的底，宽 就是平行四边形的高，这样转化之后再数格子，
会发现图形虽然变了，但是它们的面积没有变。

我们通过转化，把原本不是整格的部分变成了整
格，根据长方形的面积=长x宽，我们知道平行四
边形的面积=底x高。

【设计意图】让学生体会，数方格前是平行四 边形，数方格时其实已是长方形了。

环节四：讨论—
—前面两个图形间的关系。

(略）
以上环节想说明的是，学生的化归思想缘于直观的数方格，他们想把方格补完整来数就实施"^了这种朴素的化归方法。

因此，平行四边形转化为长方形，首先的剪拼模型是这样的（如图3):
形
我们教科书上提供的剪拼方法是优化后的
补方格方法（如图4):
因此，在平行四边形的面积计算公式推导过
程中，教师教学设计的落脚点应该在学生数方
格中经历方格的割补凑整到图形的割补转化的
递进，以此实现与学生经验的无缝对接。

©三角形面积:怎么想剖剪拼化归的
在学习完平行四边形后，学生来学习三角形
面积计算公式的推导。

学生通过剪拼将三角形转
化为平行四边形，是不难实现的，这是对方法的
再一次应用。

但是，通过对拼上一个完全一样的
三角形来实现转化，学生是十分难以想到的。

事
实上，三角形转化成平行四边形往往不是通过剪
拼完成的，而是通过建立关系完成的。

本质上这
是一个发现关系的过程。

三角形面积是这个平行
四边形面积的一半，这是学生自然而然能想到 的。

因此，三角形面积计算公式推导的数学思想
要在这一点上有所凸显。

怎么让学生来发现关系呢?我们提供如下过 程。

环节一：初步感悟三角形和平行四边形的关 系。

1.呈现材料一:求三角形的面积“如图5)
B/W
•S甲•行w边形=18cm2平■行四边形=12cm2
•S明影和彤=9cm2S si影肩形=6cm2
图5
2.你是怎么得到这些三角形的面积的？（平行四边形面积的一半）
3.为什么可以这样得到？（因为对角线把平行四边形分成了两个完全一样的三角形）s K方形=20cm2
•S明影_-.角彤=10cm2
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4.通过这三道题的练习，你发现三角形和平 行四边形的关系了吗？
小结:一个平行四边形是由两个完全相等的 三角形拼成的，因此，对角线可以把一个平行四 边形分割成两个面积完全相等的三角形。

【设计意图】这一环节给学生呈现长方形、 平行四边形面积，求三角形面积的一组题，目的 是让学生通过观察直观感悟三角形的面积与平 行四边面积间的关系。

建立初步的关系：一个平 行四边形利用对角线可以分出两个完全一样三 角形；这个平行四边形面积是三角形面积的2 倍；三角形的面积是这个平行四边形面积的一 半D
环节二：体会三角形和平行四边形等底等高 的关系。

1.
呈现材料二：请大家看这份材料（如图6),
阴影部分三角形的面积是多少？
A
7\k
^6
3
IU
图6
2.
每个三角形的底是多少？高是多少？面积
是多少？你有什么发现？
(从这一材料中我们发现，每幅图中平行四
边形的底和高与三角形的底和高是一样的）
3. 利用平行四边形对角线分出来的三角形，
它们与原平行四边形有什么关系？（底和高是一
样的）
小结：像这样的平行四边形和三角形，我们 就把它称作等底等高的图形。

把这两句话合起来 就是“与平行四边形等底等高的三角形的面积是 平行四边形面积的一半”。

【设计意图】这一环节提供了平行四边形的 底和高，让学生利用这些数据求出三角形的面 积。

目的是让学生发现三角形和平行四边形的底 和高是相等的，让学生进一步直观体会到三角形 与平行四边形是等底等高的关系。

进而将环节
一、二相结合，建立起三角形的面积是和它等底 M
等高的平行四边形面积的一半的关系。

与4.变式：此时三角形面积和平行四边形面积 p —
之间是什么关系？如果移动三角形顶点的位置，这种关系会发生变化吗？（如图7)
\n
_
A 7
i
I
图7
I 【设计意图】通过前面的学习，学生已经借助 丨
对角线认识到三角形面积为同底等高平行四边 j
形面积的一半，通过一个三角形的变式演示，让 I
学生进一步体会任意一个三角形的面积都是与 I
它同底等高的平行四边形面积的一半。

环节三：深人理解三角形和平行四边形的关
|
系，完善三角形面积计算公式。

（如图8、图9)6 6
图8
图9
1. 先出示图8,再擦去空白三角形部分成图
9。

提问：这是一个什么图形？
2. 它的面积是多少？(5x 6+2=15)
3. 这里的5x 6表示什么？为什么除以2?
(“5x 6”表示同底等高的平行四边形的面积，三
角形面积是它的一半，所以除以2)
4. 老师把底和高变成其他数，最后变成字
母，得出字母公式。

（如图10)
a
图10
【设计意图】这个环节直接出现一个三角形， 并标出三角形的底和高，求三角形的面积。

这组 材料跟材料二比去除了平行四边形，只剩下一个 三角形，我们的目的是想让学生从第三份材料中 想到第二份材料，这是这节课中一个跳跃性的关 键环节。

前面两份材料是为了这个环节的公式推
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m M
•%几何
导做铺垫的，目的是在这里帮助学生推导出公
式。

在学生建立三角形和平行四边形的关系的基
础上，体会三角形面积的算法。

©梯形面积:化归方法的实践场
在学习梯形面积之前，学生已经学习了以下
内容。

(1)长方形面积计算公式推导（从实证到抽
象）；（2)平行四边形面积计算公式推导（从数数
到剪拼化归）；（3)三角形面积计算公式推导（从
观察发现到剪拼化归）。

那么，梯形面积计算公
式推导有新的东西吗?落脚点在哪里呢？
这个内容的教学，可以给学生提供一个充
分的自主推导的过程—既可以割补推导，又
可以剪拼推导，还可以用建立关系推导，以此强
化学生对化归方法的理解，形成能力。

因此，梯形
面积计算公式的推导，落脚点在学生的尝试与讨
论上。

那么怎么组织尝试开展讨论呢?我们设计以
下教学环节。

环节一：回顾曾经经历的三种推导方法。

一是微课回忆长方形、平行四边形•、三角形
面积计算公式推导过程。

二是梳理三种推导方法。

（测量、剪拼、建立
关系）
三是讨论：现在推导面积的方法已有三个版
本，有没有第四个版本？
【设计意图】回顾三种方法，凸显各种方法的
特征，并对面积计算公式推导的方法进行复习梳
理，给学生一个完整的体验。

环节二:讨论一用什么方法推导梯形面积
计算公式？
准备材料如图11)
图11
1.现在要推导梯形面积，你准备用哪种方
法？选择哪种梯形推导？
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2.动手操作后反馈，用了什么方法？怎么操
作？拼成了一个什么图形？怎么求这个图形的面
积？
【设计意图】让学生自主选择图形，选择推导
方法，验证自己的猜想是否正确，是否科学，能否
推出梯形的面积计算公式。

环节三:讨论——哪种是推导出梯形面积计
算公式的最好方法？
问题：1.讨论哪种方法适合哪种梯形。

剪拼法适合什么梯形？(等腰梯形）
割补法适合什么梯形？（直角梯形）
建立关系适合什么梯形？（任何梯形）
2.三种方法，哪种最适合梯形面积推导？
【设计意图】三种方法，哪种都是可以推导出
梯形面积计算公式的，事实上最后可以把三种图
形的面积计算公式转化成同一个公式。

®圆面积:方圆之间的突破
圆面积计算公式推导，是所有平面图形面积
计算公式推导中最困难的，它的困难不在于化
归思想的应用，而在于方圆之间的空间观念
上。

学生通常把圆和方截然分开，对圆转化为
方始终心存疑惑。

因此，圆面积计算公式推导
的落脚点不在于演示转化过程，而在于突破学
生头脑中的方圆之间的障碍。

那么，如何突破
呢?我们提供以下材料。

环节一：观察材料一。

在五年级“圆的认识”这一课中，圆的特征是
曲线。

这是与前面所认识的图形在外观上最大的
不同。

因此，“圆的认识”就有必要在直线与曲线
上再一次建立链接。

材料一：把正三边形每条边从中间折断，就
得到正六边形;然后把六边形从每条边的中间折
断，得到正十二边形;……依次不断进行下去，得
到图12。

A O O O O
正三边形正六边形正十二边形正二十四边形正_边形
图
12
问题一：依次不断折，一直到最后，会变成 什么样的图形？
问题二：圆是几边形？
观点一：圆是无数边形。

观点二：圆是一边形。

讨论：为什么圆是无数边形？
无数边形是观察推想出来的，是无数条直 边。

一边形是观察得来的，是一条曲边。

无数条 直边变成了一条曲边。

环节二：观察材料二。

请观察材料二：（如图13)
么④⑩O
三个等腰角形六个等8三角形十二个等腰-角形 _个等腰三角形
图13
问题:圆是由几个等腰三角形组成的？
【设计意图】这两份材料的作用，就是使学生在观念上将方和圆融合在一起----方在一定状态下变为圆，圆里蕴含着许多个方。

因此，圆可以转化为方。

圆是由无数个等腰三角形组成 的，自然可以分割成等腰三角形来转化。

有了这 个观念做准备，圆面积计算公式的推导难度就 降下来了，学生将圆转化为方的思路也就顺杨 起来了。

@长方形面积计算公式推导中的化归讨论
首先，长方形的面积计算公式是从面积单 位的度量开始的。

材料：出示1个长方形、丨2个1平方厘米的 单位正方形。

问题:这个长方形的面积是多少？
图14
结论：有12个面积单位，面积为12平方厘米。

【设计意图】用单位正方形度量，这是每一
位小朋友都会的。

在这个环节中，没有化归的体
验。

其次，将学生拥有的单位正方形减少6个，
要求学生度量长方形的面积。

学生呈现如下度量（如图15):
结论:4x3=12(个面积单位）。

【设计意图】这个过程将度量从1至12的
计数调整为3X4的计算3
再次，将学生拥有的单位正方形再减少6
个。

提供给学生一把尺子，要求学生得到长方形
的面积数。

学生的解决策略基本是这样的（如图16):
结论:4x3=12(个面积单位）。

【设计意图】这个环节，使学生从面积单位
的度量转化为长度单位的度量。

依据是面积单
位的定义；边长为1厘米的正方形面积为1平
方厘米。

最后得到长方形面积计算公式为长X宽。

在上述分析过程中，长方形的面积计算公
式推导过程也包含着化归思想的体验与践行。

这个化归不是等积变形，也不是建立关系，而是
将面积单位的度量转化为长度单位的度量，即
工具的化归。

(作者单位：浙江金华师范学校附属小学）[J]
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