湖北省武汉市第二中学、麻城一中14—15学年下学期高一期中考试数学(理)试题(附答案)

武汉二中、麻城一中2014-2015学年度下学期期中联考
高一理科数学试卷
考试时间：2015年4月24日下午2:30—4:30 试卷满分：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量a ＝(1，－cos θ)，b ＝(1,2cos θ)且a ⊥b ，则cos 2θ等于( ) A ．－1 B ．0 C.12 D.2
2
2．已知sin 2α＝1
3
，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )． A ．－13 B ．－23 C. 13 D. 2
3
3．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( )． A. 52 B ．72 C. 154 D ．152
4．若x ∈(1-e ，1)，a ＝ln x ，b ＝(1
2)ln x ，c ＝e ln x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )．
A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞c ＞a
C ．a ＞b ＞c
D ．b ＞a ＞c
5．等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，S n )在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( )
6．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝32＋f (x )(x ∈R)，且f (1)＝5
2，则数列{f (n )}(n ∈N *)前20项的和
为( )
A ．305
B ．315
C ．325
D ．335
7．在△ABC 中，若a ＝2b ，面积记作S ，则下列结论中一定成立的是( )． A ．B ＞30° B ．A ＝2B C ．c ＜b D ．S ≤ b 2
8．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若543=++，则△AOC 的
面积为( )．
A. 25
B. 12
C. 310
D. 65 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若 a cos B ＋bcos A ＝c sin C ，S ＝1
4
(b 2＋c 2－a 2)，则角B 等于( )．
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30° 10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋ 3 cos(2x ＋θ)(x ∈R )满足)
()
(2015
1
2015
x f x f =
-，且)(x f 在⎣⎡⎦
⎤0，π4上是减函数，则θ的一个可能值是( )． A. π3 B ．2π3 C. 4π3 D ．5π3
11. 在△ABC 中，动点P 满足⋅-=22
2
，则P 点轨迹一定通过△ABC 的（ ）
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
12.已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2.若函数f (x )＝sin2x ＋2cos 2x 2，记
y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( )
A ．0
B ．－9
C ．9
D ．1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．不等式
2)1(5
2
≥-+x x 的解集是__________．
14．已知函数f (x )＝x ＋sin x ，项数为19的等差数列{a n }满足a n ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π
2，且公差d ≠ 0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0. 15．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －2 ≥0，x －2y ＋4 ≥0，
3x －y －3 ≤0，且目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为11，则
实数k ＝________.
16．关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的四个结论： ①最大值为2；
②把函数f (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π
4个单位后可得到函数f (x )＝2(sin x -cos x )cos x 的图
象；
③单调递增区间为⎣
⎡⎦⎤kπ＋7π8，kπ＋ 11π8(k ∈Z)；
④图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k 2π＋π
8，－1(k ∈Z)．其中正确的结论有________.（将你认为正确结论的序号都填上）．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）
（1）已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，1
2，求a ＋c 的值； （2）已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ≥ 0，x ＋2y ≥ 0，
3x ＋y －5≤ 0， 求2x ＋y 的最大值；
18. （本题满分12分） 已知向量)1),2cos(
2(-+=x OP π
，)2cos ),2
sin((x x OQ --=π
，定义函数x f ⋅=)( (1)求函数)(x f 的表达式,并指出其最大值和最小值.
(2)在锐角△ABC 中,角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 且f (A )=1, bc =8, 求△ABC 的面积S .
19．（本题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对应边分别是a 、b 、c ，满足b 2＋c 2＝bc ＋a 2. (1)求角A 的大小；
(2)已知等差数列{a n }的公差不为零，若a 1cos A ＝1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，求{4
a n a n ＋1}
的前n 项和S n .
20．（本题满分12分）
已知f (x )＝⋅，其中＝(2cos x ，－3sin 2x )，＝(cos x,1)(x ∈R)． (1)求f (x )的周期和单调递减区间；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，AB →·AC →＝3，求边长b 和c 的值(b ＞c )．
21．（本题满分12分）
已知数列}{n a 中，11=a ，*)(3
1N n a a a n n
n ∈+=
+ （1）求证：⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+211n a 是等比数列，并求}{n a 的通项公式n a ； （2）数列}{n b 满足n n n
n a n
b ⋅⋅
-=2
)13(，求数列}{n b 的前n 项和为T n ； （3）对于（2）中T n ，若不等式λn )1(-＜1
2
-+n n n T 对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范
围.
22. （本题满分12分）
设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >b >c ),已知f (1)=0,且存实数m ,使f (m )=-a . (1)试推断
a
b
2与0的大小，并说明理由； (2)设g (x )=f (x )+bx , 对于x 1，x 2∈R, 且x 1≠ x 2, 若g (x 1)=g (x 2)=0, 求|x 1-x 2|的取值范围； (3)求证：f (m +3)>0.
武汉二中、麻城一中2014-2015学年度下学期期中联考
高一理科数学试卷参考答案
一、选择题 题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案 B D A B C D D A C B A C
8. 答案 A 解析 依题意得，(3OA →＋5OC →)2＝(－4OB →)2,9OA →2＋25OC →2＋30OA →·OC →
＝ 16OB →2，即34＋30cos ∠AOC ＝16，cos ∠AOC ＝－35，sin ∠AOC ＝1－cos 2∠AOC ＝45，△AOC
的面积为12|OA →||OC →|sin ∠AOC ＝2
5
.
10. 答案 B 解析 f(x)＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π
3，由2014f(－x)＝12014f x
，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以函数f(x)是奇函数．所以θ＋π
3＝kπ(k ∈Z)，即θ＝kπ－π
3
，故B ，D 可能正确，又因为f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4上是减函数，所以D 不满足条件． 12.[答案] C [解析] 据已知得2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即数列{a n }为等差数列，又f (x )＝sin2x ＋2×1＋cos x
2＝sin2x ＋1＋cos x ，因为a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，故cos a 1＋cos a 9＝cos a 2＋
cos a 8＝…＝cos a 5＝0，又2a 1＋2a 9＝2a 2＋2a 8＝…＝4a 5＝2π，故sin2a 1＋sin2a 9＝sin2a 2＋sin2a 8＝…＝sin2a 5＝0，故数列{y n }的前9项之和为9，故选C. 二、填空题 13. [－1
2
，1)∪(1,3]
14. 答案 10 解析 因为函数f(x)＝x ＋sin x 是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n }有19项，a n ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π
2，若f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 18)＋f(a 19)＝0，则必有f(a 10)＝0，所以k ＝10. 15. 4
16.（3） （4）解析 因为f(x)＝2sin xcos x －2cos 2x
＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
4－1. 所以最大值为2－1，故①错误． 将f(x)＝2sin 2x －1的图象向右平移π
4个单位后得到f(x)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2－1的图象，故②错误．
由－π2＋2kπ≤2x －π4≤π2＋2kπ，得－π8＋kπ≤x≤3π
8＋kπ，k ∈Z ，即增区间为⎣⎡⎦⎤－π8＋kπ，3π8＋kπ(k ∈Z)，故③正确．
由2x －π4＝kπ，k ∈Z ，得x ＝kπ2＋π
8，k ∈Z ，所以函数的对称
中心为⎝⎛⎭⎫kπ2＋π
8，－1，k ∈Z ，故④正确．
三、解答题
17．（1）解析 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，12知a <0，且－13，1
2为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，－13×12＝c
a ，解得a ＝－12，c ＝2，
∴10-=+c a …………………………………………………………………………（5分） （2）解析 设z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，作出不等式对应的区域，平移直线y ＝－2x ＋z ，
由图象可知当直线经过点B 时，直线的截距最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，3x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝2，
即B (1,2)，代入z ＝2x ＋y ，得z ＝2x ＋y ＝4.………………………………………（10分） 18. 【解析】(1)f(x)=
·
=(-2sinx,-1)·(-cosx,cos2x)=sin2x-cos2x=
sin
,
所以f(x)的最大值和最小值分别是和-.…………………………………………（6分）
(2)因为f(A)=1,所以sin
=. 所以2A-=或2A-=.
所以A=或A=. 又因为△ABC 为锐角三角形, 所以A=.因为bc=8, 所以△ABC 的面积S=×8×=2
.…………………………………………………（12分）
19.[解析] (1)∵b 2
＋c 2
－a 2
＝bc ， ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12， ∴cos A ＝1
2
，
又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π
3.…………………………………………………………（4分）
(2)设{a n }的公差为d ，由已知得a 1＝1
cos A ＝2， 且a 24＝a 2·a 8， ∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，且d 不为零， ∴d ＝2，
∴a n ＝2n .……………………………………………………………………………（8分） ∴
4a n a n ＋1＝1n n ＋1 ＝1n －1
n ＋1
， ∴S n ＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n
n ＋1
.………………（12分）
20.解 (1)由题意知，f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )的最小正周期T ＝π，
∵y ＝cos x 在[2k π，2k π＋π](k ∈Z)上单调递减， ∴令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π，得k π－π6≤x ≤k π＋π
3
.
∴f (x )的单调递减区间⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π
3，k ∈Z.………………………………………（6分） (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π
3＝－1. 又π3＜2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π.∴A ＝π
3
. ∵AB →·AC →＝3，即bc ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc,7＝(b ＋c )2-18，b ＋c ＝5，
又b ＞c ，∴b ＝3，c ＝2.………………………………………………………………（12分）
21.解（1）32
1121
1
1
=++
+n n a a ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 为此等比数列且23
2111=+a ∴1
32
-=
n
n a …………………………………………………………………………（4分） （2）①n n n n n b 212211
⋅=⋅
=- 错位相减得：n
n n T 2
2
2+-=……………………（8分） ② ∴λn )1(-＜1
2
2
4--
n
①k n 2=时，λ＜3)224(min 1
2=--k ②12-=k n 时，λ＞2)42
2
(
max 2
2-=--k
∴2-＜λ＜3……………………………………………………………………（12分） 22.解：（1）∵a m f -=)(，R m ∈，
∴方程02
=+-c bx ax 有实根0)(42≥--=∆c a a b
∵0)1(=f ，∴0=++c b a ，即b c a -=+. ∵0)4()(42
≥-=--a b b b a b
∵a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0，从而a c a a b 4)(3+--=+ ∴c ＞0.
∴0≥b ， ∴
02≥a
b
…………………………………………………………（4分） （2）据题意，x 1，x 2是方程0)(=x g 即022=+-c bx ax 的两实根.
∴])[(4
)(4444)(||222222212
212
21ac c a a
ac b a a c a b x x x x x x -+=-=-
=-+=- 3)2
1
(4]1)[(422++=++=a c a c a c
∵a ＞b )(c a +-= ∴2a ＞c -＞a
c
⇒0＞2- 又0≤-=+b c a ∴1≤a
c
. ∴]4
9
,41[)21(
2∈+a c ∴]32,2[||21-∈-x x …………………………（8分） （3）∵0)1(=f ，设))(1()(a
c
x x a x f --=
∵a m f -=)(，∴1))(1())(1(-=--⇒-=--a
c
m m a a c m m a ＜0,
∵a
c
＜m ＜1m ⇒＞2-.3+⇒m ＞1 ∴)3(+m f ＞0)1(=f .…………（12分）。