高考数学一轮复习第17讲 导数的综合应用

第17讲 导数的综合应用
激活思维
1.
已知函数f (x )＝
a x
－1＋ln
x ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值范围是( )
A. (2，＋∞)
B. (－∞，3)
C. (－∞，1]
D. [3，＋∞)
2. 若函数f (x )＝x e x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a|－1e <a<0
B. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a|a>－1e
C. {}a|－e<a<0
D. {}
a|0<a<e
3. 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2，若对任意的x
∈
(0，＋∞)，2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A. (－2,0)
B. (0，e)
C. (0，＋∞)
D. [－2，＋∞)
4. (多选)已知定义在⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，且cos xf ′(x )＋sin xf (x )＜0恒成立，则( )
A. f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4
B.
3f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＞f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫π3 C. f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫π3 D. 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫π6＞
3f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫π4 知识聚焦
1. 利用导数证明不等式 (1)
构造法：证明f (x )<g (x )，x
∈
(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )<0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，则只需F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )<0，即证明了f (x )<g (x )．
(2)
最值比较法：证明f (x )<g (x )，x
∈
(a ，b )时，若构造函数F (x )＝f (x )－g (x )后，F (x )的单调性无法确定，可考虑f (x )的最大值与g (x )的最小值，如果f (x )max <g (x )min ，则可得f (x )<g (x )．
2. 利用导数解决不等式的恒成立(能成立)问题
“恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题，一般都可通过求相关函数的最值来解决，如：当f (x )在x ∈
D 上存在最大值和最小值时，若f (x )≥g (a )对于x
∈D 恒成立，应求f (x )在x
∈D 上的最小值，将原条件转化为g (a )≤f (x )min ；若f (x )≤g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )在x ∈D 上的最大值，将原条件转化为g (a )≥f (x )max ；若存在x ∈
D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )在x
∈D 上的最大值，将原条件转化为g (a )≤f (x )max ；若存在x
∈
D ，使得f (x )≤g (a )成立，应求f (x )在x ∈D 上的最小值，将原条件转化为g (a )≥f (x )min .
3. 利用导数研究函数零点
(1) 求函数f(x)的单调区间和极值；
(2) 根据函数f(x)的性质作出图象；
(3) 判断函数零点的个数．
第1课时导数与不等式证明
分类解析
目标1 构造函数证明不等式
(2021·赣州模拟)已知函数f(x)＝1－lnx
x，g(x)＝
ae
ex＋
1
x
－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直．
(1) 求a，b的值；
(2) 求证：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥2 x.
(2020·深圳二模节选)已知函数f(x)＝a e x＋2x－1(其中常数e＝2.718 28…是自然对数的底数)，求证：对任意的a≥1，当x>0时，f(x)≥(x＋a e)x.
目标2 分析最值证明不等式
已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1) 讨论函数f(x)的单调性；
(2) 当a＝e时，求证：xf(x)≤e x－2e x.
目标3 放缩法证明不等式
(2020·惠州三模节选)设函数f(x)＝e x＋a·sin
x＋b(a，b为实数)，且曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为x－y－1＝0.
(1) 求a，b的值；
(2) 求证：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＞ln x.
课堂评价
1. 设a＝e6
36，b＝
e7
49，c＝
e8
64，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>c
B. b>a>c
C. c>b>a
D. c>a>b
2. (2021·洛阳期中)若a＞b＞1，P＝a e b，Q＝b e a，则P，Q的大小关系是( )
A. P＞Q
B. P＝Q
C. P＜Q
D. 不能确定
3. 设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.
(1) 求f(x)的单调区间与极值；
(2) 求证：当a>ln2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.
第2课时导数与不等式恒成立(能成立)问题
分类解析
目标1 f(x)<g(x)型
若对任意x∈(0，＋∞)，不等式2x＋ln x≤a(x2＋x)恒成立，求实数a的取值范围．
若对任意x∈(0，＋∞)，不等式2x ln x≥－x2＋ax－3恒成立，求实数a的取值范围．
目标2 f(x 1)<g(x 2)型
已知函数f(x)＝ln x －ax ＋1－a
x －1(a ∈R )．
(1) 当a ≤1
2时，讨论f (x )的单调性；
(2)
设g (x )＝x 2
－2bx ＋4，当a ＝
14
时，若对任意x 1∈(0，2)，存在x 2∈
[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，求实数b 的取值范围．
(2021·济宁期中)已知函数f (x )＝1
2ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )．
(1) 若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值； (2) 求f (x )的单调区间； (3)
设g (x )＝x 2－2x ，若对任意x 1
∈
(0,2]，均存在x 2
∈
(0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．
目标3 f(x 1，x 2)<g(x 1，x 2)型
已知函数f(x)＝x －1－a ln x(a
∈
R )，若a <0，且对任意x 1，x 2
∈
(0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪1x1－1x2，求实数a 的取值范围．
已知f (x )＝
13
x 3－ax ln
x ，若对于任意x 1，x 2
∈
[1,2]，x 1≠x 2，都有f ′(x 1)－f ′(x 2)
x 1
－x
2
>a 恒成立，求a 的取值范围．
课堂评价 1.
已知函数f (x )＝x 2e x ，当x
∈
[－1,1]时，不等式f (x )<m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A. ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1e ，＋∞
B. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ，＋∞
C. [e ，＋∞)
D. (e ，＋∞)
2.
(2021·
姜
堰
中
学)已知函数f (x )＝ln x －a
x
，若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围是( )
A. (0,1)
B. (0，e)
C. (1，＋∞)
D. [－1，＋∞)
3. 已知函数f (x )＝ax －e x
(a ∈R )，g (x )＝lnx
x
.
(1) 求函数f (x )的单调区间；
(2) 若存在x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x 成立，求a 的取值范围．
第3课时导数与函数零点
分类解析
目标1 求函数零点的个数
给出定义在(0，＋∞)上的两个函数f(x)＝x2－a ln x，g(x)＝x－a x.
(1) 若f(x)在x＝1处取最值，求a的值；
(2) 在(1)的条件下，试确定函数m(x)＝f(x)－g(x)－6的零点个数，并说明理由．
设函数f(x)＝e2x－a ln x，讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数．
目标2 根据函数零点求参数
(2020·晋城一模)已知函数f (x )＝ln x －ax 2－2x .
(1) 若f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤14，2上单调递减，求实数a 的取值范围； (2) 当a ＝－14时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．
(2021·漳州期中)若已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a .
(1) 当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)
当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．
课堂评价
1. 函数f(x)＝ln x－x的零点个数是( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
2. 若函数f(x)＝ax－a
ex＋1(a<0)没有零点，则实数a的取值范围为________．
3. (2021·株洲期中)若函数f(x)＝a(x＋1)－2ln(x＋1)(a为常数，且a>0)在x＝1处取得极值．
(1) 求实数a的值，并求f(x)的单调区间；
(2)
若关于x的方程f(x)＋x2＋b＝6x＋1－8ln(x＋1)在[1,2]上恰有1个实数根，求实数b的取值范围．。