数学：2.4教案(新人教A版选修2-1)(2)

抛物线及其标准方程（一）
一、、教学目标：
（一）、教学知识点
1、抛物线的定义
2、抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线。

（二）、能力要求 1、掌握抛物线定义及其标准方程
2、理解标准方程中参数P的几何意义，能根据已知条件求抛物线的标准方程，并会由标准方程求相应准线方程，焦点坐标，画出其图形。

3、进一步掌握解析几何坐标法思想，会用坐标法建立抛物线的方程。

4、培养学生主动探索精神，提高学生分析、对比、概括等方面能力，渗透数形结合，函数方程分类讨论等数学思想。

（三）、德育渗透目标
根据圆锥曲线的统一定义，可以对学生进行运动、变化、对立、统一的辨证唯物主义思想教育。

二、教学重点：
1、抛物线的定义
2、标准方程的建立
三、教学难点:
1、抛物线的标准方程的推导及四种图形。

2、抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。

四、教学方法
诱思探究法
通过回忆椭圆及双曲线定义引入抛物线并引导学生主动分析探索其标准方程等相关知识。

五、教学设计
（一）、课题导入
前面我们学习了椭圆和双曲线，我们共同顾一下椭圆和双曲线的第二定义，也即（如图示）平面内与一个定点F的距离和一条定直线L的距离的比是常数e的点M的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＝1时是双曲线。

那么当e=1时它是什么曲线呢？
（1）同学们注意观察动画演示，回答问题。

如图示，把一根直尺固定在图上直线L的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点到直角顶点C的长，并且把绳子的另一端固定在图上一定点F。

用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出一条曲线。

问题①笔尖（设为动点M）在运动过程中满足的条件是什么？
②此曲线是否为椭圆或一支双曲线？为什么？如果不是猜想它是什么？
（2）观察、讨论总结
①动点M在运动过程中满足的几何条件是到定点F的距离和它到定直线L的距离相等。

即|MF|=|MC|,即||
||
MF
MC
=e=1
②点M轨迹不是椭圆或双曲线，因为它不符合其定义，它就是我们曾经知道并且从今天开始深入研究的抛物线，这一节我们研究的课题是“抛物线及其标准方程（一）”。

二、讲授新课 1、抛物线的定义
通过前面分析讨论，让学生自行下定义。

定义：平面内与一个定F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫抛物线，（其中点F 不在直线L 上）。

2、抛物线标准方程的探究 （1）、回顾坐标法求平面内切点M 的轨迹方程的方法步骤。

（2）、引导学生自行建立适当坐标系，求出抛物线的方程。

（设定点F 到定直线L 的距离为常数p ）
通过练习演板，表达学生的一些不同求法：
如：解法一：以L 为Y 轴，过点F 垂直于L 的直线为X 轴，建点直角坐标系（如图示）则F (P,O)设动点M （X,Y ）,由抛物线定义得：22()||x p y x -+=，化简得y 2
=2px-p 2
(p
＞0)
解法二：以定点F 为原点，过点F 垂直于L 的直线为X 轴建立如图示坐标系，则F(0,0),L 的方程为X=-P,设点M （x,y ）,由定义得22||x y x p +=+化简得
y 2
=2px-p 2
(p ＞0)
解法三：建立直角坐标系X0Y,使X 轴经过点F 且垂直于直线l ，垂足为K ，并使原点与线段KF 的中点重合，设|KF|=p(p ＞0)，那么F （,02
p ），准线l 方程： 2p
x =-，设点M （x,y ）为抛物线上任一点，由定义得：
22()||22
p p
x y x -+=+， 化简得： y 2=2px(p ＞0)
（3）引导学生分析对比可以看出解法三的答案不仅形式较简单而且方程中一次项系数是焦点到准线距离的2倍，我们把这个方程叫做抛物线的标准方程。

它表示的抛物线的焦点在x 的正半轴上，坐标是（
,02
p
）
，它的准线方程是2p x =-，抛物线开口方向向右。

（4）引导学生注意观察联想抛物线的不同位置。

如焦点可在x 轴的负半轴上或y 轴的正半
轴上或y 轴的负半轴上，因此类似于椭圆或双曲线，抛物线标准方程有如下四种形式： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2
=2px (
2p ,0) x=-2
p (p ＞0)
y 2
=-2px (-2p ,0) x=2
p (p ＞0)
x 2
=2py (0,
2p ) y=-2
p (p ＞0)
x 2
=-2py (0,-
2p ) y=2
p (p ＞0)
因此，求抛物线标准方程时，一要确定形式，二要求出参数P. 3、 例题研讨
例1（1）已知抛物线的标准方程是y 2
=6x ，求它的焦点坐标和准线方程。

（2）已知抛物线的焦点是F （0，-2），求它的标准方程。

解（1）因为P=3，所以焦点坐标是（32，0），准线方程是x=-3
2
(2)因为焦点在y 轴的负轴上，并且
2
p =2，P=4,所以所求抛物线的标准方程是x 2
=-8y. 例2.根据已知条件分别写出抛物线标准方程。

（1）经过点（2，2）。

（2）焦点在直线x-y+1=0上。

解（1）依题意，设标准方程为y2=2px或x2=2py,将（2，2）分别代入都得P=1，故所求标准方程为y2=2x或x2=2y
(2)焦点是直线x-y+1=0与坐标轴的交点故焦点F(0,1)或（-1，0）从而标准方程为x2=4y 或y2=4x.
4、课堂练习（一）（课本练习第3、4题）
课堂练习（二）
（1）抛物线y=4x2的焦点坐标是，准线方程是
(2)平面内到定点F(-a,0)与到定直线L,x=a的距离相等的点的轨迹是。

要点分析：(1) F(0,
1
16
),注意，y=-4x2是二次函数解析式，对应的标准方程是 x2=-
1
4
y
（3）当a＞0或a＜0是抛物线，当a=0时，定点F在定直线L上，因此轨迹为直线。

所以掌握抛物线定义时要严密准确。

其中定点F不在定直线L上。

4、课时小结
（1）理解掌握抛物线的定义，四种标准方程及参数p的几何意义
（2）熟练抛物线标准方程与其焦点坐标及准线方程之间关系。

（3）进一步掌握坐标法求方程的思想方法。

（4）领会椭圆、抛物线、双曲线的对立统一关系。

6、作业：课本133页第1，2，3，4题。