两自由度系统的振动

5.2
图5-5（a）表示两个摆长，质量相同的单摆，中间以弹簧相连，形成两自由度系统。
图5-5双摆拍振
取 、 表示摆的角位移，逆钟向转动为正，每个摆的受力如图5-5（b）。根据刚体绕定轴转动方程，当 、 角位移很小时，得到摆做微小振动的微分方程
,
用与前面类似的分析方法，得到系统的第一阶和第二阶固有频率为
(5-5)
保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即
展开后为
(5-6)
式(5-6)唯一确定了频率 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是 的二次代数方程，它的两个特征根为
(5-7)
由于式(5-7)确定的 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。
图5-9动力减振器系统中主系统的幅频特性曲线
5.6阻尼对强迫振动的影响
为了把问题简化，以上的分析都没有考虑系统的阻尼。本节以图5-10所示系统为例，讨论阻尼对两自由度系统受迫振动的影响。这个系统是在上节的动力减振器的两个质量块之间增加一个阻尼器而成。其运动微分方程为
(5-20)
仍只考虑稳态运动。若利用复指数形式，则激振力为 ，而稳态运动的形式为
解：（1）建立运动微分方程式
分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力图如图5-3(b)所示，它们的运动微分方程分别为
若写成(5-2)的标准形式，则
所以
解出， 。因此，系统的第一阶和第二阶固有频率为
（3）求主振型
将 、 分别代入式(5-26)，得
第
应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。
解：系统的的运动微分方程分别为
若写成(5-2)的标准形式，则
所以
解出， 。
对应的两个主振型为
将初始条件（1）代入式(5-10)，解得
因此，
所以
这表明，其响应为频率p1、p2的两种主振动的线性组合。
再将初始条件（2）代入式(5-10)，得
所以
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率p2作谐振动。
5.5动力减振器
上节已经指出，对一个两自由度系统，当其中的一个质量块受到外界激励时，它却有可能不动而使另一个质量块运动。根据这个原理，可以制成工程上常用的动力减振器。
图５-8所示梁上装有一电动机，运转时由于转子的偏心而诱发强迫振动。这可用质量为 、弹簧刚度为 的单自由度系统的受迫振动来描述。在某一确定的电机转速下可能由于共振而引起强烈振动。为此在梁上附加一个质量为 、弹簧刚度为 的弹簧质量系统，从而构成了一个两自由度的系统。
图5-6双摆拍振 , 的时间历程
5.3
5.3.l
如前所述，一般情况下两自由度系统的振动微分方程组的形式为
可见在质点m1和m2的运动方程式中，都含有坐标x1和x2。这表明，两个质点的运动不是互相独立的，它们彼此受另一个质点的运动的影响。
像这样表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在静力耦联或弹性耦联。
5.2.2
将固有频率p1和p2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比
(5-8)
以上二式说明，虽然振幅的大小与振动的初始条件有关，但当系统以任一阶固有频率作同步谐振动时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。同时联系到式(5-3)不难看出两个质量块任意瞬时位移的比值 也同样是确定的，并且等于振幅比，即：
例图5-3所示系统中已知各弹簧的弹簧常量k1＝k2＝k， ；物体的质量m1＝m，m2＝2m。若在质量 上作用一激振力 而 。（１）求系统的响应；（２）计算共振时的振幅比；（３）作幅频特性曲线。
解：（１） 所以 。
所以பைடு நூலகம்
(a1)
(a2)
故系统的响应为
（２） 。当 时， ；当 时， 。
（３）将振幅的表达式(a1)、(a2)改写成如下无量纲形式
称为拍的周期。由于 较小，所以拍的周期一般较长。此外，两个拍振之间相位角差为 ，就是说，当t= 0时，左边的摆以 开始摆动，右边的不动；随后，左边摆的振幅逐渐减小，右边摆的振幅逐渐增大。当 时，左边的摆停止，右边的摆达到 ，再经过 ，即 时，右边的摆停止，左边的摆达到 。这种循环，每隔一个拍振周期重复一次。可以看到，两个摆的动能也从一个摆传递到另一个摆，循环传递，使它们持续地振动。
(b1)
(b2)
图５-7双质量弹簧系统的幅频特性曲线
图５-7给出的无量纲振幅 （兰色）、 （红色）和无量纲频率 之间的关系曲线表明有两次共振。每次共振时，两个质量块的振幅都同时达到最大值。当激励频率为 时， 的振幅为零，这种现象通常称为反共振。当激励频率 时，两个质量块的运动方向相同；当激励频率 时，两个质量块的运动方向相反。当 时，两个质量块的振幅都非常小而趋于零。
这种经特别选择的、可使方程式写成既无动力耦联又无静力耦联形式的坐标称为主坐标。
例5-7 试由双摆作微小摆动的微分方程，寻求系统的主坐标。
解：双摆作微小摆动的微分方程为
将以上两式相加、相减便得到
令 ， ，上式变为
可见， 就是系统的主坐标，所以该系统的两个固有频率为
，
5.4
在图5-3所示的两自由度系统力学模型中，若两个物块受到激振力的作用， ，可列出该系统的受迫振动微分方程，其矩阵形式为
这表明，系统以频率 振动时，质量m1与m2按同一方向运动；以频率 振动时，总是按相反的方向运动。
系统以某一阶固有频率按其相应的主振型运动，称为系统的主振动。第一阶主振动为
(5-11)
第二阶主振动为
(5-12)
可见系统作主振动时，各点同时经过平衡位置和最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。但必须指出，并非任何情况下系统都可能作主振动。
主振型为
系统的振型图如图5-4所示。图(a)表明在第一主振型中二物体的振动方向是相同的；图(b)表明在第二主振型中二者的振动方向是反相的，并且弹簧上的A点是不动的，这样的点称为节点。
例5-2在图示5-3所示系统中，已知 ，求该系统对以下两组初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm， ；（2） 。
由式(5-18)可得
(5-19)
这说明对于确定的激振力的幅值和频率，振幅比同样是确定值，也就是说系统有确定的振型。
当干扰力的频率 等于第一阶固有频率时，
将方程(5-8)第一式中 的分子分母同乘以 的分子分母同乘以f1，根据比例式相加法则得到
同理，当＝p2时，则有 。这表明，系统在任何一个共振频率下的振型就是相应的主振型。振动测量中常利用这一规律来测量系统的固有频率，并根据共振时系统的振动形态来判断该固有频率的阶次。
，
系统的第一阶和第二阶主振型为
，
于是得到第一主振动
,
第二主振动
,
在任意初始条件下，系统振动的一般解
如果初始条件是：t= 0时， ， ，代入上式得到
，
因此得到双摆作自由振动的规律
,
如果弹簧的刚度k很小，即
＜＜
这时 相差很少，将上式写成
，
令 则上式为
,
这表明，两个摆的运动可以看作是频率为 的简谐运动，但其振幅不是常数，而是缓慢变化的简谐函数 和 ，这种现象称为拍振。
5.3.2
从上一节的分析可以知道，两质点无阻尼系统的运动方程式以q1(t)，q2(t)为广义坐标可写成如下最一般的形式
(A)
式中Mij和Kij(i≠j)分别表示动力和静力耦联项。
然而，如果坐标选择得当，可使式(A)中的耦联项为Mij= 0，Kij= 0(i≠j)。即总是可以使微分方程式不联立，在每个式子中分别只含一个未知数而与另一未知数无关。如果能得到这种独立的运动方程式，则作为方程解求出的系统各个分量的运动与其它各分量的运动无关，分别作具有各自固有的振幅、频率和相位的单自由度振动，即谐和振动，问题就大大简化了。
(5-1)
这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式
(5-2)
显然此时
但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。
5.1.2
根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为
(5-3)
或写成以下的矩阵形式
(5-4)
将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组
(5-16)
代入原方程组后得
(5-17)
由此解出受迫振动的振幅
(5-18)
式中 ，其中p1、p2为系统的两个固有频率（见 的表达式）。
于是得出结论：在简谐干扰力作用下，两自由度无阻尼的线性振动系统的受迫振动是以干扰力频率为其频率的简谐振动，其振幅由式(5-18)确定。
式(5-18)表明，受迫振动的振幅大小不仅和干扰力的幅值大小F1、F2有关，而且和干扰力的频率有关。特别是当＝p1或＝p2时，即当干扰力的频率等于振动系统的固有频率时，振幅B1、B2将会无限地增大，发生共振。与单自由度振动系统不同，两自由度系统一般有两个固有频率，因此，可能出现两次共振。
(5-21)
将（5-21）代入（5-20）后可解出 、 。下面只以主质量 的振幅 进行讨论。其无量纲表达式为
(5-22)
式中
可见对于确定的 和 ，无量纲振幅 是 和 的函数，这与单自由度受迫振动的情况一样。
图5-11对应 和 的幅频特性曲线。 为无阻尼的情况； 相当于 和 刚性连接，所以幅频特性曲线与单自由度受迫振动的幅频特性曲线相同。不难看出，阻尼会使共振附近的振幅显著减小，但激振频率 或 时，阻尼对振幅的影响很小。此外，(5-22)所代表的响应曲线，无论 的值如何都通过 与 两点。这表明对于这两点对应的频率，主质量的振幅与阻尼无关。
令
则得
(5-15)
这是二阶线性常系数非齐次微分方程组。由微分方程理论知，其解由对应的齐次方程组的通解与该非齐次方程组的特解组成。前者为系统的自由振动，和单自由度系统一样，由于阻尼的存在，它将在较短时间内衰减掉，后者为系统的受迫振动，不随时间衰减。当自由振动部分衰减了以后，它就是系统的稳态响应。设方程组(5-15)的特解为
(5-9)
其它各点的位移则都可以由 和 所决定。这样在振动过程中，系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。也就是说，振幅比决定了整个系统的振动形态，因之称为主振型。与 对应的振幅比 称为第一阶主振型，与 对应的振幅比 称为第二阶主振型。
将式(5-7)中的p1、p2之值带入式(5-8)，得
(5-10)
如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C偏离其平衡位置的铅直位移z及平板的转角来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。
5.1
5.1.1
图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x1、x2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得
根据上节的讨论，此系统的振动微分方程为：
其强迫振动的振幅为
式中
，
不难看出，当 时，
这就是说，主系统不动而减振器以 作受迫振动。减振器弹簧在下端受到的作用力为
在任何瞬时，都与激振力 相平衡，因此使主系统的振动转移到减振器上来。图5-9给出了当 ， 时无量纲振幅 和无量纲频率 之间的关系曲线。由曲线可以看出，当 时， 。当考虑系统的阻尼时，主系统不是完全不动，而是以较小的振幅振动。此外还可以看出在 附近有两个共振峰值。如果 、 选择不当，可能引起新的共振。为此必须控制附加动力减振器后的两自由度系统的固有频率。
根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程(5-1)的通解，是它的两个主振动的线性组合，即
(5-13)
上式可以写成如下的矩阵形式，即
(5-14)
式中 由运动的初始条件确定。所以一般情况下，系统的自由振动是两个不同频率的主振动的叠加，其结果不一定是简谐振动。
例5-1试求图5-3(a)所示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k1＝k2＝k3＝k，物体的质量m1＝m，m2＝2m。
另外，与上式情况不同，当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时，称为在坐标之间有动力耦联或惯性耦联。
某个系统中是否存在耦联取决于用以表示运动的坐标的选择方法，而与系统本身的特性无关。一般说来，为了表示多质点系的运动状态，可以选用的独立坐标系，即广义坐标，可能有几种。根据选择坐标的不同，系统可以是静力耦联，动力耦联、静力兼动力耦联，或非耦联的（即完全无耦联的）。