安徽省合肥市包河区2018-2019学年第一学期期中教学质量检测九年级数学试卷(含解析)

安徽省合肥市包河区2018-2019学年第一学期期中教学质量检测
九年级数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 抛物线132++=)(-x y 的顶点坐标是（ ▲ ）
A. （3，1）
B. （1，3）
C.（-3，1）
D. （1，-3） 2. 下面四条线段中，是比例线段的是（ ▲ ）
A. 3cm 、6cm 、8cm 、9cm
B. 3cm 、6cm 、9cm 、18cm
C. 3cm 、6cm 、7cm 、9cm
D. 3cm 、5cm 、6cm 、9cm
3. 将抛物线2x y 21-=平移，得到抛物线232
1
2-)(-+=x y ，下列平移方式，正确的是（ ▲ ）
A. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
B. 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位
C. 先向左平移3个单位，再向上平移2个单位
D. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
4. 已知点)-(21，A ，点)2(a B ，都在反比例函数)≠(0k x
k
y =的图像上，过点B 分别作两坐标轴的垂
线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积为（ ▲ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 6
5. 已知点），），（，（21y y 23-均在抛物线122++=x x y -上，则21y y 、的大小关系为（ ▲ ）
A. 21y y <
B. 21y y >
C. 21y y ≤
D. 21y y ≥ 6. 如图，在ABC 中，若BC DE ∥，
5
4
=EC AE ，1=DE ，则BC 的长是（ ▲ ） A. 45 B. 23 C. 49 D. 4
13 7. 二次函数)≠
(02a c bx ax y ++=的部分图像如图所示，则不等式02<++c bx ax 的解集是（ ▲ ） A. -3>x B. 1<x C. 13<<x - D. 1><x x 或-3
第6题图
第7题图
第8题图
8. 如图，在ABC 中，点D 是边AC 上的一点，BDC ABC ∠∠=，2=AD ，3=CD ，则边BC 的长为（ ▲ ）
A. 6
B. 10
C. 15
D. 52
9. 某种商品每件进价为18元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（3018≤≤x ，且x 为整数）出售，可卖出（x -30）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为（ ▲ ） A. 18元 B. 20元 C. 22元 D. 24元 10. 已知函数
使m y =成立的x 的值有4个时，m 的取值范围是（ ▲ ）
A. 1<<m 8-
B. -8>m
C. 08-<<m
D. 1<<m 4- 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
11. 已知反比例函数)(-是常数k x
k y 1
=
的图像有一支在第四象限，那么k 的取值范围为 。

12. 若
3
32c
b a ==，且3=+
c b a -，则c = 。

13. 已知二次函数312++=x b x y )-(，当1<x 时，y 随x 增大而减小，那么b 的取值范围为 。

14. 矩形纸片ABCD ，6=AB ，8=BC ，在矩形边上有一点P ，且2=AP 。

将矩形纸片折叠，使点C 与点P 重合，折痕所在直线交矩形两边于点E ，F ，则EF 长为 。

三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知二次函数图象的顶点坐标为），（1-2，且经过点），（30，求该函数的解析式。

16. 广宇同学准备在自家庭院里修建一个面积为3平方米的长方形鱼池. （1）求鱼池的长y （米）关于宽x （米）的函数表达式； （2）若鱼池的宽不超过1.5米，则鱼池的长至少应为多少米？
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，已知，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于D ，过B 作BE ∥CD 交AC 的延长线于点E 。

求证：CB
AC
DB AD =。

18. 已知关于x 的二次函数3-2-k x x y 22+=的图像与x 轴有两个交点。

（1）求k 的取值范围；
（2）若k 为正整数，求抛物线与x 轴交点的坐标.
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，是某座抛物线型的隧道示意图，已知路面AB 宽24米，抛物线最高点C 到路面AB 的距离为8米，为保护来往车辆的安全，在该抛物线上距路面AB 高为6米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF 。

.
20. 如图，在等腰直角ABC ∆中，°=90ABC ∠，点D 在BC 边上，过点D 作AC DE ⊥于点E ，连接BE 交AD 于点F .
（1）求证：BEC ADC ∆∆~；
（2）若点D 为BC 的中点，BC =4，求BE 的长.
六、解答题（本大题满分12分）
21. 如图，一次函数）（01≠m n mx y +=的图象与双曲线）
（02≠k x
k
y =相交于A （-1，2）和B （2，b ）两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D . （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式
n mx x
k
+≥的解集； （3）经研究发现：在y 轴负半轴上存在若干个点P ，使得CPB ∆为等腰三角形。

请直接写出P 点所有可能的坐标.
22. 如图，二次函数c
+
y+
=2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为
ax
bx
（2，0），点C的坐标为（0，4），它的对称轴是直线x=-1.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在第二象限内抛物线上是否存在一点P，使PBC
∆的面积
∆的面积最大？若存在，求出PBC
最大值；若没有，请说明理由.
23. 如图1，在矩形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交CD 于点G .
（1）若3=EF AF ，则=CG CD。

（2）若m EF AF =，求=CG
CD
的值（用含有m 的代数式表示，写出解答过程）
（3）如图2，四边形ABCD 中，DC//AB ，点E 是BC 的延长线上的一点，AE 是BD 相交于点F ，若a CD AB =，，则=EF AF b CE
BC = 。

（直接用含a ，b 的代数式表示）
安徽省合肥市包河区2018-2019学年第一学期期中教学质量检测
九年级数学试卷
1.【考点】二次函数的图象和性质
【解析】抛物线y= -（x+3）2+1的顶点坐标为（-3，1）
【答案】C
2.【考点】比例线段
【解析】A.3×9≠6×8，本选项四条线段不是比例线段；
B.3×18=6×9，本选项四条线段是比例线段；
C.3×9≠6×7，本选项四条线段不是比例线段；
D.3×9≠5×6，本选项四条线段是不比例线段.
【答案】B
3.【考点】二次函数的图像
【解析】解：∵的顶点坐标为（0，0），的顶点坐标为（-3，-2），
∴将抛物线y=向左平移3个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线．【答案】D
4.【考点】反比例函数的图像
【解析】∵点A（-1，2）,点B（2，a）都在反比例函数y=的图象上，
∴k=-1×2=2×a，
∴k=-2，a=-1，
∵过点B分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S，
∴S=|-2|=2．
【答案】B
5.【考点】二次函数的图像
【解析】∵二次函数y＝-x2+2x+1，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点(-3，y1)，(2，y2)再该函数解析式上，
∴.
【答案】A
6.【考点】相似三角形的判定
【解析】∵DE//BC，
∴△ADE~△ABC，
∴，
∵，
∴，
∵DE=1，
∴.
【答案】C
7.【考点】二次函数与不等式（组）
【解析】由图可知，对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点坐标为（-3，0），∴函数图象与x轴的另一交点坐标为（0，1），
∴ax2+bx+c＜0的解集是x>1或x<-3．
【答案】D
8.【考点】相似三角形的性质
【解析】∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∴，
即，
∴，
【答案】C
9.【考点】二次函数的应用
【解析】设利润为y元，由题意得
y=（x-18）（30-x）
= -x2+48x-540
∴当x==24元时，利润最大，
【答案】D
10.【考点】二次函数的图像
【解析】函数的图象如图所示，
∵y=m成立的x值有4个，
∴-8<m<1.
【答案】A
11.【考点】反比例函数的图像与性质
【解析】∵反比例函数的图象有一支在第二象限，∴k﹣1＜0，解得k＜1．
【答案】k＜1
12.【考点】比例的性质
【解析】设，则a=2k,b=3k,c=4k，
∵a+b-c＝3,∴2k+3k-4k=3,∴k=3,∴c=4k=12.
【答案】12
13.【考点】二次函数的增减性
【解析】∵y＝x2+(b-1)x+3，∴对称轴为，
∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小，
∵当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴1，解得b≤-1，
【答案】b≤-1
14.【考点】相似形
【解析】如图1，当点P在AB上时，
∵AP=2，CD=AB=6， F ∴PF=6，
∵EF垂直平分PC，∴四边形PFCE是正方形，EF过点D，
∴EF=.
如图2，当点P在AB上时，过E作EQ⊥BC于Q，∵AP=2，AB=6，∴BP=4，
∴PC=，∵EF垂直平分PC，∴∠1=∠2，∵∠B=∠EQF，
∴△CPB∽△EFQ，∴，∴，
∴EF=,
综上所述：EF长为或
【答案】或
15.【考点】待定系数法求二次函数的解析式
【解析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．本题利用顶点公式，将二次函数与y轴的交点（0，3）代入，用待定系数法求出二次函数的解析式．
【答案】∵二次函数图象的顶点坐标为(2，-1)，
∴可设二次函数的解析式为y＝a(x-2)2-1，
将点(0，3)代入y＝a(x-2)2-1得：
3＝a×(0-2)2-1，
解得：a＝1，
∴y＝(x-2)2-1＝x2-4x+3．
16.【考点】反比例函数的应用
【解析】本题考查的是反比例函数的应用有关知识.
（1）根据题意得出xy＝3，然后解出y与x的函数关系即可；
（2）根据x＞0，y随x的增大而减小，然后再进行解答即可.
【答案】（1）∵长方形鱼池面积为3平方米
∴xy＝3，
∴.
（2）∵当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当0＜x≤1.5时，，
即y≥2，
∴鱼池的长至少应为2米.
17.【考点】相似三角形的性质
【解析】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质和角平分线定理、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理和平行线的性质．
根据CD平分∠ACB，可知∠ACD=∠BCD；由BE∥CD，可求出△BCE是等腰三角形，故BC=CE；根据平行线的性质及BC=CE可得出结论．
【答案】证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD．
又∵BE∥CD，
∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD．
∵∠ACD=∠BCD，
∴∠CBE=∠CEB．
∴BC=CE．
∵BE∥CD，
∴=，
又∵BC=CE，
∴=．
18.【考点】一元一次不等式组的解法
【解析】此题考查了抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是根据根的判别式证明抛物线与x轴有两个交点判别式.
（1）利用，解一元一次不等式得出k的取值范围即可；
（2）根据k的取值范围来判断正整数k的值，再利用公式法求得抛物线与x轴交点的横坐标. 【答案】（1）由题意得：Δ＝(-2)2-4(2k-3)＝16-8k＞0，
解得k＜2．
（2）∵k为正整数，k＜2，∴k＝1．
∴二次函数为y＝x2-2x-1．
令y＝0，即x2-2x-1．解得，．
∴抛物线与x轴交点的坐标为，．
19.【考点】二次函数的应用
【解析】此题考查的是二次函数在实际生活中的应用，注意利用函数对称的性质来解决问题.利用待定系数法求得抛物线的解析式，已知抛物线上距水面AB高为6米的E、F两点，可知E、F 两点纵坐标为6，把y=6代入抛物线解析式，可求E、F两点的横
坐标，根据抛物线的对称性求EF长.
【答案】如图，以AB所在直线为x轴、线段AB的中垂线为y
轴建立直角坐标系，由题意知，A(-12，0)，B(12，0)，C(0，8)．
设过点A、B、C的抛物线解析式为：
y＝ax2+8(a＜0)．
把点B(12，0)的坐标代入，得a×122+8＝0
解得：，
则该抛物线的解析式为：
把y＝6代入，得，
解得x1＝6，x2＝-6．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：EF＝|x1-x2|＝|6-(-6)|＝12
(m)．
设过点A、B、C的抛物线解析式为：
y＝ax2+8(a＜0)．
把点B(12，0)的坐标代入，得a×122+8＝0
解得：，
则该抛物线的解析式为：
把y＝6代入，得，
解得x1＝6，x2＝-6．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：EF＝|x1-x2|＝|6-(-6)|＝12 (m)．
20.【考点】勾股定理
【解析】本题主要考查勾股定理、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决本题的关键.
(1)先根据两角对应相等，两三角形相似证明△DEC∽△ABC，再根据两边对应成比例且夹角相等证明△ADC∽△BEC；
(2)先根据勾股定理求出AD的长，由题意得到△CED为等腰直角三角形，再根据相似三角形的性质求BE的长．
【答案】（1）∵∠C＝∠C＝45°，∠ABC＝∠DEC＝90°，
∴△DEC∽△ABC．
∴，∴．
∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△BEC．
（2）∵在等腰直角△ABC中∠ABC＝90°，点D为BC的中点，BC＝2，
∴AB＝BC＝4，BD＝2．
∴在Rt△ABD中，
∵∠C＝45°，DE⊥AC，∴可得△CED为等腰直角三角形．
∴
∵△ADC∽△BEC
∴
∴．
21.【考点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用了数形结合的思想，熟练运用数形结合思想是解本题第二问的关键．
（1）将A，B坐标代入反比例函数解析式求出k，b的值，再将A，B点代入一次函数解析式可求解；
（2）由A与B交点横坐标，根据函数图象确定出所求不等式的解集即可；
（3）根据等腰三角形的性质分PC=PB，PC=BC，PB=BC求解即可.
【答案】（1）∵A(-1，2)和B(2，b)在双曲线上，
∴k＝-1×2＝2b，
解得b＝-1．
∴B(2，-1)．
∵A(-1，2)和B(2，-1)在直线y1＝mx+n(m≠0)上，
∴，
解得，
∴y1＝-x+1；
（2）由图象可知：-1≤x＜0或x≥2是不等式的解集；
（3）(0，-1)，，(0，-3)．
22.【考点】二次函数的应用
【解析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积；
（1）利用待定系数法求出即可得出结论；
（2）求出是关键.
【答案】（1）根据题意得，，
解得：，
∴二次函数的解析式；
（2）如图，，
存在．
理由如下：
∵A的坐标为(2，0)，它的对称轴是直线x＝-1．
∴点B的坐标为(-4，0)，
设P点(-4＜x＜0)，
∵
，
∴x＝-2时，△PBC的面积最大为4．
23.【考点】平行线分线段成比例
【解析】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．（1）如图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H．由△ABF∽△EHF，推出==3，推出AB=3EH，由四边形ABCD是平行四边形，EH∥AB，推出EH∥CD，AB=CD 又E为BC中点，
推出EH为△BCG的中位线，推出CG=2EH，即可推出===；
（2）如图2中，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB，推出==a，推出AB=a•EH，
由AB=CD，推出CD=a•EH，由EH∥AB∥CD，推出△BEH∽△BCG．推出==2，推出CG=2EH，推出DG=CD-CG=（a-2）EH，由此即可解决问题；
（3）如图3中，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．由EH∥CD，推出△BCD∽△BEH，推出==b，推出CD=bEH，又=a，推出AB=aCD=abEH，由EH∥AB，推出△ABF∽△EHF，即可推出==ab．
【答案】（1）如图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H．
则有△ABF∽△EHF，∴
==3，∴AB=3EH．∵四边形ABCD是平行四边形，EH∥AB，∴EH∥CD，AB=CD，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，
∴CG=2EH，
∴===.
故答案为；
（2）解：如图所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．
∴，
∴AB＝mEH．
∵AB＝CD，
∴CD＝mEH．
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG．
∴，
∴CG＝2EH．
∴．
（3）如图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．
∵EH∥CD，∴△BCD ∽△BEH，
∴，∴CD=bE H．
又，∴AB=aC D=abEH．
∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴，
故答案为ab．。