2017-2018学年高中数学人教B版必修2学业分层测评：第2

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
一、选择题
1．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是( )
A．外离B．外切
C．相交D．内切
【解析】由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切．
【答案】 B
2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为( )
【导学号：45722115】A．x2＋y2－6x－8y＝0
B．x2＋y2＋6x－8y＝0
C．x2＋y2＋6x＋8y＝0
D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0
【解析】已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3,4)，可知选B.
【答案】 B
3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5 B．1
C．35－5 D．35＋5
【解析】圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝35－5.
【答案】 C
4．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( ) A．4 B．4 2
C．8 D．8 2
【解析】∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2
－10x ＋17＝0.
∴a ＋b ＝10，ab ＝17，
∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32.
∴|C 1C 2|＝2 a －b 2＝32×2＝8.
【答案】 C
5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1上作两条切线PA ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( )
A ．2x －3y －1＝0
B ．2x ＋3y －1＝0
C ．3x ＋2y －1＝0
D ．3x －2y －1＝0
【解析】 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322
＝134
.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134
－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x ＋3y －1＝0，故选B. 【答案】 B
二、填空题
6．两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有________条.
【导学号：45722116】
【解析】 圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，
圆C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16，
圆心C 1(－2,2)，圆心C 2(2,5)，r 1＝3，r 2＝4.
则|C 1C 2|＝ －2－2 2＋ 2－5 2＝5<3＋4，
故r 2－r 1<|C 1C 2|<r 2＋r 1，
两圆相交，则有两条公切线．
【答案】 两
7．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．
【解析】 设所求圆的方程为 (x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0(λ≠－
1)，将(3,1)代入得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133
x ＋y ＋2＝0. 【答案】 x 2＋y 2－133
x ＋y ＋2＝0 8．两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c
的值为________．
【解析】 由题意知，线段AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上，
且k AB ＝41－m
＝－1，即m ＝5， 又点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋m 2，1在该直线上， 所以1＋m 2
－1＋c ＝0，所以c ＝－2，所以m ＋c ＝3. 【答案】 3
三、解答题
9．求圆心为(2,1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．
【解】 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，
即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0，
① 已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0， ②
②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5
－4－5＋r 2＝0，∴r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.
10．有相距100 km 的A ，B 两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A 地的单位距离的运费是B 地的2倍．问怎样确定A ，B 两批发市场的售货区域对当地居民有利？
【解】 建立以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点的直角坐标系，则A (－50,0)，B (50,0)．
设P (x ，y )，由2|PA |＝|PB |，得x 2＋y 2＋5003
x ＋2 500＝0， 所以在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0内到A 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003
x ＋2 500＝0外到B 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003
x ＋2 500＝0上到A ，B 两地购物一样合算．
1．已知0＜r ＜2＋1，则两圆x 2＋y 2＝r 2与(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的位置关系是( )
A ．外切
B ．相交
C ．外离
D ．内含 【解析】 设圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的圆心为O ′，则O ′(1，－1)．圆x 2＋y 2＝r 2的
圆心O (0,0)，两圆的圆心距离d OO ′＝12＋ －1 2＝ 2.显然有|r －2|＜2＜2＋r .所以两圆相交．
【答案】 B
2．以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2
＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )
A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1
B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652
＝45
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45
【解析】 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C ，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B.
【答案】 B
3．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
【解析】 曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6,6)
到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2
＝5 2.过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小
圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2
＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径长为 2.设圆心C 2的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0＋y 0－2|2
＝2，解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)， 所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2
＝2.
【答案】 (x －2)2＋(y －2)2＝2
4．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)．
(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程，并求内公切线方程．
(2)若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且AB ＝22，求圆O 2的方程.
【导学号：45722117】
【解】 (1)由两圆外切，所以|O 1O 2|＝r 1＋r 2 r 2＝|O 1O 2|－r 2＝2(2－1)
故圆O 2的方程及(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2
两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x ＋y ＋1－22＝0.
(2)设圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，
因为圆O 1的方程为：x 2＋(y ＋1)2＝4，
此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程： 4x ＋4y ＋r 22－8＝0.
①
作O 1H ⊥AB ，则AH ＝12AB ＝2， O 1H ＝2，
由圆心(0，－1)到直线①的距离得|r 22－12|42
＝2， 得r 22＝4或r 22＝20，
故圆O 2的方程为：
(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。