2013年数学一19题

2013年数学一19题
解析一：
根据题意，不难发现这是一个最优化问题，需要利用相关知识对其
进行求解。

为了方便理解和分析，下面将逐步进行解析。

首先，根据题目所给条件：对于任意的实数x，函数f(x)的图象关
于点P(-4,1)对称，可推知函数f(x)的对称轴为直线x=-4。

由此可得，
点A的横坐标为-4。

其次，要求函数f(x)的极值，需要确定它的导函数。

根据题意，可
知函数f(x)具有2个零点，设为x1、x2，其中x1 < x2。

由对称性可得，x1和x2关于x=-4对称，即x1=-8，x2=0。

于是，可以得到函数f(x)的导函数f'(x) = (x + 8)(x)(x - 4)。

进而，可
求得f'(x)的零点为x=-8、x=0和x=4，这些点将极值点与临界点进行了
划分。

接下来，分析函数f(x)的符号变化情况。

根据导函数的零点，将x
的实数域分为4个区间：(-∞, -8)，(-8, 0)，(0, 4)和(4, +∞)。

通过对各区
间取点进行符号判断，可以得到以下变化情况：
当x ∈ (-∞, -8)，f'(x)值为负，则f(x)递增；
当x ∈ (-8, 0)，f'(x)值为正，则f(x)递减；
当x ∈ (0, 4)，f'(x)值为负，则f(x)递增；
当x ∈ (4, +∞)，f'(x)值为正，则f(x)递减。

结合以上分析，可以得出函数f(x)在区间(-∞, -8)和(0, 4)上为递增函数，在区间(-8, 0)和(4, +∞)上为递减函数。

现在，考虑求最值的问题。

由于函数f(x)在包含极值点的区间内具有单调性，因此，可以通过极值点和临界点进行比较来确定最值。

具体来说：
当x → -8时，f(x)逼近于正无穷大，可得极小值。

记为M1；
当x → 0时，f(x)逼近于负无穷大，可得极大值。

记为M2。

最终，需要求出M2-M1的值。

根据数列极限的性质，可以得到该差值为2。

解析二：
除了上述解法，我们还可以利用对称性来进一步简化解题过程。

根据函数f(x)的对称性可知，任意点(x, y)关于点P(-4, 1)对称的点为(x', y')，其中x' = -8-x，y' = 2-y。

将点A设为(-4, a)，根据对称性可得点B为(-8, 2-a)。

由于函数f(x)的对称轴为x = -4，可通过与对称轴的距离来求解。

根据点到直线的距离公式可得：
M1 = √[(-8 - x)^2 + (2 - a - 1)^2]
M2 = √[(0 - x)^2 + (2 - a)^2]
将M1和M2相减并化简可得：
M2 - M1 = -x - a + 2
因为M2 - M1 = 2，所以有：
-x - a + 2 = 2
解得a = 0。

将a = 0带入原来的式子可得：
M2 = √[(0 - x)^2 + (2 - 0)^2] = √[x^2 + 4]
将M2带入原来的式子中，得：
2 - x = √[x^2 + 4]
化简并整理：
x^2 + 4 - 4x^2 + 4x - x^2 = 0
解得x = 4。

综上所述，函数f(x)的极大值与极小值之差为2。