多旋翼无人机技术基础课件第六章
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多旋翼无人机技术基础 （6）
符长青博士
多旋翼无人机结构动力学的定义
多旋翼无人机结构动力学是一门在多旋翼无人机设计中受到普遍重视 且仍处于不断发展中的学科，它主要研究多旋翼无人机结构的强迫振动、 自由振动和动稳定性，不考虑空气动力与结构的弹性力、阻尼力和惯性力 之间的相互作用，如果涉及空气动力，也只把它作为与结构振动运动无关 的外力对待，结构动力学是研究气动弹性响应的基础。 （1）结构 （2）振动 （3）结构动力系统 （4）振动固有特性
2 (t ) o a(t ) x Asin(0t )
式中u(t)和 分别表示速度、加速度，简谐振动加速度的大小与位移成正 比而方向相反，始终指向振动的静平衡位置。
2 (t ) o a(t ) x x
无阻尼自由振动的运动微分方程
无阻尼自由振动系统不存在阻尼，没有能量损耗，只受到重力场和弹 性力场作用，故属于保守系统，一旦振动起来，将永远振动下去。现取质 量为m的质量件的静平衡位置为独立坐标原点，建立线位移x坐标系（向下 为正），λ静位移，弹簧刚度为k。单自由度系统固有振动或无阻尼自由振 动的运动微分方程
多旋翼无人机结构动力分析模型
由于多旋翼无人机结构十分复杂，其结构动力学同其他学科一样，不 可能将原始结构拿来分析计算，必须根据分析的目的、要求的计算精度、 结构的受力、传力特点、现有的计算条件来分析结构各部分在振动中的作 用，综合简化成正确反映结构动态特性的力学（物理）模型即分析模型。 一般说来，力学模型可分为连续系统模型与离散系统或称集中参数系 统模型，实际模型有时还可能是它们的复合模型。同一实际结构，根据分 析的目的、内容、精度要求，可以简化成不同的模型。除了外激励外，构 成结构动力学模型还必须包含质量、弹性、阻尼三大要素。对于集中质量 系统，这些要素可以具体化为质量件、弹性件与阻尼件。 （1）质量件是离散系统中产生惯性力、储存动能的功能件，通常假 定它是刚体，它具有惯性。 （2）弹性件是系统中产生弹性恢复力、提供结构刚度、储存势能的 功能件，一般假定它的质量略去不计。 （3）阻尼件是系统中产生阻尼力，使能量从动力系统中耗散出去的 功能件。
后存在的振动。
（2）自激振动：没有周期外力作用下，由系统内部激发及反馈的相互
作用而产生的稳定周期振动。自由振动和自激振动 的区别在于，自由振动的激励来自外界，只在初始受 激励；而自激振动的激励来自自身，并一直存在。
（3）强迫振动：结构系统在外激励作用下被迫产生的振动。 （4）参数振动：结构系统自身参数变化激发的振动。 （5）共振：结构系统所受激励的频率与该系统某阶固有频率相接近时，
为圆弧线。
（3）弯曲振动：弯曲振动是指振动体上质点沿轴方向
振动的纵向振动和振动体上做垂直于轴方向振动 的横向振动。
（4）扭转振动：扭转振动是指振动体上的质点只作绕
轴线的振动，也称之为角振动。
简谐振动的表示方法
简谐振动可以用正弦或余弦函数表示，如图所示，其典型 的运动方程为 x(t ) A sin(0t ) 式中简谐振动三要素（振幅、频率、初相位）分别是：A为 振幅，表示振动中的最大位移量；������初相位；ω0圆频率或角 频率，表示频率f的2π倍，单位为弧度/秒(rad/s)；T=1/f为周期 ω0=2πf=2π/T
旋翼桨叶弯曲自由振动频率计算
铰接式0阶振动频率：旋翼桨叶是刚体挥舞，基阶模态的固有频率为：
0 (1 l pj
多旋翼无人机振动的类型（4）
4．按照系统振动的运动规律分类 （1）周期振动：振动量（如位移、速度、加速度等）是
时间的周期函数。
（2）简谐振动：振动量为时间的正弦或余弦函数的周期
振动，是最简单的周期振动。
（3）非周期振动和瞬态振动：非周期振动的振动量是
时间的非周期函数，如果这种振动只在很短的时间内 存在，则称为瞬态振动。
简谐振动复数表示方法
根据复数的矢量表示法，在复平面上的一个复数Z代表该复平面(Re， Im)上的一个矢量，如图矢量0P所示。图中Re表示实轴，Im表示虚轴，矢 量的模就是复数Z的模A，其位置由复角θ确定。如果矢量0P绕0点以等角 速度ω在复平面内逆时针旋转，就是一复数旋转矢量。它在任一瞬时的复 角θ=ωt，则复数Z的表达式为
多旋翼无人机振动的类型（1）
1．按照振动系统的自由度数目分类 结构动力系统的自由度是指在振动过程的任何 瞬时，为完全确定系统所处的空间位置和运动状态所 必需的最少独立坐标数目。 （1）单自由度系统的振动 （2）多自由度系统的振动 （3）连续体振动
多旋翼无人机振动的类型（2）
2．按照振动的输入特性（激励）或控制方式分类 （1）自由振动：结构系统受初始干扰产生的振动，或者外激励力消失
（4）随机振动：振动量不是时间的确定性函数，因而不
能预测，只能用概率统计的方法进行研究。
多旋翼无人机振动的类型（5）
5．按照系统结构参数的特性分类 （1）线性振动：线性振动是系统内的恢复力、阻尼
力和惯性力分别与振动位移、速度和加速度成线性关系的 振动，可用常系数线性微分方程来描述。线性振动叠加原 理成立，系统自由振动的频率及模态是系统所固有的，其 特性不随时间改变。
系统振幅显著增大的现象。
多旋翼无人机振动的类型（3）
3．按照振动的输出（响应）性质分类
（1）确定性振动：结构系统特性是确定性的， 不论它是常参数系统还是变参数系统，在 受到确定性激励时，响应也是确定性的， 包括简谐振动、周期振动、瞬态振动等。 （2）随机振动：结构系统在受到随机激励时， 系统的响应亦将是随机的。
K i EJ ( yi) 2 dr 2 ( yi ) 2 dr md
0 0 r R R R
式中右端第一项为弹性刚度，第二项为离心力刚度： 第i阶振动模态的广义质量为
M i m yi2 dr
0 R
桨叶挥舞弯曲振动边界条件
旋转桨叶的弯曲自由振动微分方程的边界条件： ①铰接式：
旋翼的结构型式
（1）铰接式 （2）半铰接式：万向接头式和跷跷板式 （3）无铰式 （4）无轴承式 （5）空气螺旋桨式
旋翼桨叶的外形和材料
（1）桨叶气动外形设计
①翼型 ②先进的桨尖形状
（2）桨叶的结构型式及材料
①金属桨叶：上世纪50～60年代，使用寿命可达1000小时 ②复合材料桨叶：上世纪70年代以后，旋翼采用复合材料 桨叶。经过优化的桨叶悬停效率可达到0.8，旋翼升阻比达到 10.5，功率减少10%。
kx 0 m x
二阶齐次常系数线性微分方程
2 n x x0
其通解为
x x0 cos n t
0 x
n
sin n t
无阻尼单自由度系统振动固有频率
因为同频率简谐振动之和仍为同频率的简谐振动，其通解可写成 x X sin(n t )
式中
0 x 2 X＝ x0 n
输入（激励） 输出（响应）
结构动力系统
多旋翼无人机结构动力学目的
多旋翼无人机结构动力学的目的就是研究关于多旋翼无 人机结构动力系统振动固有特性，它在外激励作用下产生动 响应的基本理论和分析方法，以使多旋翼无人机结构具有优 良的动力学特性。根据多旋翼无人机结构动力系统输入、输 出与系统特性三者之间的关系，可归纳为三类问题。
（2）惯性力的存在
结构动力的突出特征是存在振动现象。在振动过程中组成结构的质 点具有加速度，从而在结构中产生了惯性力。惯性力的存在是动力学问 题的又一特性。在结构动力学中，必须十分重视结构的质量大小与分布 情况，注意研究振动中惯性力的状况。
多旋翼无人机结构动力学研究方法
多旋翼无人机结构动力学的研究方法可分为分析的方法和试验的方法 两大类。对多旋翼无人机设计来说，两种方法是相辅相成的，缺一不可。
Z A(cost i sin t ) Aeit
式中i为虚轴的单位长度，即 旋转矢量来表示。
i 1
。简谐振动也可用复数z所代表的复
简谐振动的速度和加速度
简谐振动的速度和加速度仍然为同频率的简谐振动。 1 (t ) 0 A sin( 0 t ) u (t ) x 2
y (0) 0 y (0) 0 y ( R) 0
②无铰式：
y (0) 0 y (0) 0 y ( R) 0
旋翼桨叶弯曲自由振动特点
①铰接式：0阶振型是一条直线，振型随转速变化。
②无铰式：其一阶振型对应铰接式零阶、二阶振型对应铰接式一阶，区别 在桨叶根部：铰接式根部铰支，而无铰式及无轴承式根部固支，模态弯 矩根部最大
2
arctan
n x0 x0
k m
可得到无阻尼单自由度系统的振动固有圆频率（单位是rad/s）为
n
固有频率（单位是Hz）为
fn 1 2
k m
无阻尼自由振动的特性
（1）单自由度系统无阻尼自由振动为简谐振动，振动频率只与 系统本身的物理性质（弹性和惯性）有关，故称为系统的固 有频率。 （2）刚度相同的两个单自由度系统，其固有频率随质量的增大 而减小；质量相同的两个系统，其固有频率随系统刚度的增 大而增大。 （3）系统的初始条件对系统固有频率没有影响，而振幅X与初 相位φ均由初始条件决定。振幅和初相位都决定于初始条件 ，这是自由振动的共同特性。 （4）数值不变的常力（如重力W）作用在系统上，只改变系统 的平衡位置，而不影响系统的运动规律、固有频率、振幅和 初相位，即不影响系统的振动固有特性。
（1）结构动力试验
多旋翼无人机结构动力试验包括模态试验、动力学环境试验、模拟试 验等。这些试验既可以直接考核产品的动力学性能，也为结构动力分析提 供必要的验证和数据。
（2）结构动力分析
多旋翼无人机结构动力分析方法是先确定外激励的性质、大小与变化 规律，确定初始条件，再将它的实际结构经过去粗取精、去伪存真的过程 ，简化成结构动力分析模型（物理模型），进而研究建立起与之相应的振 动微分方程（运动方程），即数学模型。
R 2 r源自文库
R
0
EJ （yi) dr N ( yi ) dr
2 2 0
R
2 i
R
0
myi2 dr 0
式中yi为i阶振型函数；ωβi为 i阶振动固有频率。
y Ω T dr
N
y
r R r
桨叶挥舞弯曲振动频率
第i阶振型的频率ωi
i
Ki Mi
式中Ki、Mi分别为第i阶振动模态的广义刚度和广义质量。其 中广义刚度为
（2）非线性振动：非线性振动是系统内的恢复力、
阻尼力和惯性力分别与振动位移、速度和加速度有一组以 上不成线性关系时的振动，微分方程中将出现非线性项。 叠加原理不成立。
多旋翼无人机振动的类型（6）
6．按振动位移的特征分类 （1）直线振动：直线振动的特征是振动体上质点的
运动轨迹是直线。
（2）圆振动：圆振动的特征是振动上质点的运动轨迹
旋翼桨叶挥舞方向弯曲振动
假设旋翼桨叶为绕y轴旋转的梁，该旋转梁剖面dr在离心力N和气动力 载荷T作用下，利用牛顿法（力平衡法）得到桨叶挥舞平面内的弯曲振动 方程。如果桨叶气动力载荷T=0，可得到旋转桨叶的弯曲自由振动方程
0 （EJ y ) ( Ny ) m y
式中EJβ为桨叶剖面挥舞弯曲刚度，m为桨叶单位长度质量，y为桨叶挥舞 变形。其中 N rm dr 为桨叶剖面r承受的离心力。应用分离变量法及固有 振型正交性可得出积分表达式：
①响应计算：已知激励和系统模型求响应，也称正问题 ②系统识别：已知激励和响应求系统特性，也称参数识
别或称为第一类逆问题。
③载荷识别：已知系统和响应，求激励，也称第二类逆
问题。
多旋翼无人机结构动力学的特点
（1）结构动力问题包含时间变量
静载荷是不随时间变化的稳态力，静力问题具有单一的解答。动力 问题则不同，动载荷（输入）是随时间变化的速变力，因此，在动力分 析中，输入（激励）的大小、方向甚至作用点，一般都是随时间而变化 的。这就决定了动力系统的输出（响应）也随时间而变化，使动力问题 不像静力问题那样具有单一的解答，我们必须在动载荷作用的时间范围 内求解结构响应的时间历程。
符长青博士
多旋翼无人机结构动力学的定义
多旋翼无人机结构动力学是一门在多旋翼无人机设计中受到普遍重视 且仍处于不断发展中的学科，它主要研究多旋翼无人机结构的强迫振动、 自由振动和动稳定性，不考虑空气动力与结构的弹性力、阻尼力和惯性力 之间的相互作用，如果涉及空气动力，也只把它作为与结构振动运动无关 的外力对待，结构动力学是研究气动弹性响应的基础。 （1）结构 （2）振动 （3）结构动力系统 （4）振动固有特性
2 (t ) o a(t ) x Asin(0t )
式中u(t)和 分别表示速度、加速度，简谐振动加速度的大小与位移成正 比而方向相反，始终指向振动的静平衡位置。
2 (t ) o a(t ) x x
无阻尼自由振动的运动微分方程
无阻尼自由振动系统不存在阻尼，没有能量损耗，只受到重力场和弹 性力场作用，故属于保守系统，一旦振动起来，将永远振动下去。现取质 量为m的质量件的静平衡位置为独立坐标原点，建立线位移x坐标系（向下 为正），λ静位移，弹簧刚度为k。单自由度系统固有振动或无阻尼自由振 动的运动微分方程
多旋翼无人机结构动力分析模型
由于多旋翼无人机结构十分复杂，其结构动力学同其他学科一样，不 可能将原始结构拿来分析计算，必须根据分析的目的、要求的计算精度、 结构的受力、传力特点、现有的计算条件来分析结构各部分在振动中的作 用，综合简化成正确反映结构动态特性的力学（物理）模型即分析模型。 一般说来，力学模型可分为连续系统模型与离散系统或称集中参数系 统模型，实际模型有时还可能是它们的复合模型。同一实际结构，根据分 析的目的、内容、精度要求，可以简化成不同的模型。除了外激励外，构 成结构动力学模型还必须包含质量、弹性、阻尼三大要素。对于集中质量 系统，这些要素可以具体化为质量件、弹性件与阻尼件。 （1）质量件是离散系统中产生惯性力、储存动能的功能件，通常假 定它是刚体，它具有惯性。 （2）弹性件是系统中产生弹性恢复力、提供结构刚度、储存势能的 功能件，一般假定它的质量略去不计。 （3）阻尼件是系统中产生阻尼力，使能量从动力系统中耗散出去的 功能件。
后存在的振动。
（2）自激振动：没有周期外力作用下，由系统内部激发及反馈的相互
作用而产生的稳定周期振动。自由振动和自激振动 的区别在于，自由振动的激励来自外界，只在初始受 激励；而自激振动的激励来自自身，并一直存在。
（3）强迫振动：结构系统在外激励作用下被迫产生的振动。 （4）参数振动：结构系统自身参数变化激发的振动。 （5）共振：结构系统所受激励的频率与该系统某阶固有频率相接近时，
为圆弧线。
（3）弯曲振动：弯曲振动是指振动体上质点沿轴方向
振动的纵向振动和振动体上做垂直于轴方向振动 的横向振动。
（4）扭转振动：扭转振动是指振动体上的质点只作绕
轴线的振动，也称之为角振动。
简谐振动的表示方法
简谐振动可以用正弦或余弦函数表示，如图所示，其典型 的运动方程为 x(t ) A sin(0t ) 式中简谐振动三要素（振幅、频率、初相位）分别是：A为 振幅，表示振动中的最大位移量；������初相位；ω0圆频率或角 频率，表示频率f的2π倍，单位为弧度/秒(rad/s)；T=1/f为周期 ω0=2πf=2π/T
旋翼桨叶弯曲自由振动频率计算
铰接式0阶振动频率：旋翼桨叶是刚体挥舞，基阶模态的固有频率为：
0 (1 l pj
多旋翼无人机振动的类型（4）
4．按照系统振动的运动规律分类 （1）周期振动：振动量（如位移、速度、加速度等）是
时间的周期函数。
（2）简谐振动：振动量为时间的正弦或余弦函数的周期
振动，是最简单的周期振动。
（3）非周期振动和瞬态振动：非周期振动的振动量是
时间的非周期函数，如果这种振动只在很短的时间内 存在，则称为瞬态振动。
简谐振动复数表示方法
根据复数的矢量表示法，在复平面上的一个复数Z代表该复平面(Re， Im)上的一个矢量，如图矢量0P所示。图中Re表示实轴，Im表示虚轴，矢 量的模就是复数Z的模A，其位置由复角θ确定。如果矢量0P绕0点以等角 速度ω在复平面内逆时针旋转，就是一复数旋转矢量。它在任一瞬时的复 角θ=ωt，则复数Z的表达式为
多旋翼无人机振动的类型（1）
1．按照振动系统的自由度数目分类 结构动力系统的自由度是指在振动过程的任何 瞬时，为完全确定系统所处的空间位置和运动状态所 必需的最少独立坐标数目。 （1）单自由度系统的振动 （2）多自由度系统的振动 （3）连续体振动
多旋翼无人机振动的类型（2）
2．按照振动的输入特性（激励）或控制方式分类 （1）自由振动：结构系统受初始干扰产生的振动，或者外激励力消失
（4）随机振动：振动量不是时间的确定性函数，因而不
能预测，只能用概率统计的方法进行研究。
多旋翼无人机振动的类型（5）
5．按照系统结构参数的特性分类 （1）线性振动：线性振动是系统内的恢复力、阻尼
力和惯性力分别与振动位移、速度和加速度成线性关系的 振动，可用常系数线性微分方程来描述。线性振动叠加原 理成立，系统自由振动的频率及模态是系统所固有的，其 特性不随时间改变。
系统振幅显著增大的现象。
多旋翼无人机振动的类型（3）
3．按照振动的输出（响应）性质分类
（1）确定性振动：结构系统特性是确定性的， 不论它是常参数系统还是变参数系统，在 受到确定性激励时，响应也是确定性的， 包括简谐振动、周期振动、瞬态振动等。 （2）随机振动：结构系统在受到随机激励时， 系统的响应亦将是随机的。
K i EJ ( yi) 2 dr 2 ( yi ) 2 dr md
0 0 r R R R
式中右端第一项为弹性刚度，第二项为离心力刚度： 第i阶振动模态的广义质量为
M i m yi2 dr
0 R
桨叶挥舞弯曲振动边界条件
旋转桨叶的弯曲自由振动微分方程的边界条件： ①铰接式：
旋翼的结构型式
（1）铰接式 （2）半铰接式：万向接头式和跷跷板式 （3）无铰式 （4）无轴承式 （5）空气螺旋桨式
旋翼桨叶的外形和材料
（1）桨叶气动外形设计
①翼型 ②先进的桨尖形状
（2）桨叶的结构型式及材料
①金属桨叶：上世纪50～60年代，使用寿命可达1000小时 ②复合材料桨叶：上世纪70年代以后，旋翼采用复合材料 桨叶。经过优化的桨叶悬停效率可达到0.8，旋翼升阻比达到 10.5，功率减少10%。
kx 0 m x
二阶齐次常系数线性微分方程
2 n x x0
其通解为
x x0 cos n t
0 x
n
sin n t
无阻尼单自由度系统振动固有频率
因为同频率简谐振动之和仍为同频率的简谐振动，其通解可写成 x X sin(n t )
式中
0 x 2 X＝ x0 n
输入（激励） 输出（响应）
结构动力系统
多旋翼无人机结构动力学目的
多旋翼无人机结构动力学的目的就是研究关于多旋翼无 人机结构动力系统振动固有特性，它在外激励作用下产生动 响应的基本理论和分析方法，以使多旋翼无人机结构具有优 良的动力学特性。根据多旋翼无人机结构动力系统输入、输 出与系统特性三者之间的关系，可归纳为三类问题。
（2）惯性力的存在
结构动力的突出特征是存在振动现象。在振动过程中组成结构的质 点具有加速度，从而在结构中产生了惯性力。惯性力的存在是动力学问 题的又一特性。在结构动力学中，必须十分重视结构的质量大小与分布 情况，注意研究振动中惯性力的状况。
多旋翼无人机结构动力学研究方法
多旋翼无人机结构动力学的研究方法可分为分析的方法和试验的方法 两大类。对多旋翼无人机设计来说，两种方法是相辅相成的，缺一不可。
Z A(cost i sin t ) Aeit
式中i为虚轴的单位长度，即 旋转矢量来表示。
i 1
。简谐振动也可用复数z所代表的复
简谐振动的速度和加速度
简谐振动的速度和加速度仍然为同频率的简谐振动。 1 (t ) 0 A sin( 0 t ) u (t ) x 2
y (0) 0 y (0) 0 y ( R) 0
②无铰式：
y (0) 0 y (0) 0 y ( R) 0
旋翼桨叶弯曲自由振动特点
①铰接式：0阶振型是一条直线，振型随转速变化。
②无铰式：其一阶振型对应铰接式零阶、二阶振型对应铰接式一阶，区别 在桨叶根部：铰接式根部铰支，而无铰式及无轴承式根部固支，模态弯 矩根部最大
2
arctan
n x0 x0
k m
可得到无阻尼单自由度系统的振动固有圆频率（单位是rad/s）为
n
固有频率（单位是Hz）为
fn 1 2
k m
无阻尼自由振动的特性
（1）单自由度系统无阻尼自由振动为简谐振动，振动频率只与 系统本身的物理性质（弹性和惯性）有关，故称为系统的固 有频率。 （2）刚度相同的两个单自由度系统，其固有频率随质量的增大 而减小；质量相同的两个系统，其固有频率随系统刚度的增 大而增大。 （3）系统的初始条件对系统固有频率没有影响，而振幅X与初 相位φ均由初始条件决定。振幅和初相位都决定于初始条件 ，这是自由振动的共同特性。 （4）数值不变的常力（如重力W）作用在系统上，只改变系统 的平衡位置，而不影响系统的运动规律、固有频率、振幅和 初相位，即不影响系统的振动固有特性。
（1）结构动力试验
多旋翼无人机结构动力试验包括模态试验、动力学环境试验、模拟试 验等。这些试验既可以直接考核产品的动力学性能，也为结构动力分析提 供必要的验证和数据。
（2）结构动力分析
多旋翼无人机结构动力分析方法是先确定外激励的性质、大小与变化 规律，确定初始条件，再将它的实际结构经过去粗取精、去伪存真的过程 ，简化成结构动力分析模型（物理模型），进而研究建立起与之相应的振 动微分方程（运动方程），即数学模型。
R 2 r源自文库
R
0
EJ （yi) dr N ( yi ) dr
2 2 0
R
2 i
R
0
myi2 dr 0
式中yi为i阶振型函数；ωβi为 i阶振动固有频率。
y Ω T dr
N
y
r R r
桨叶挥舞弯曲振动频率
第i阶振型的频率ωi
i
Ki Mi
式中Ki、Mi分别为第i阶振动模态的广义刚度和广义质量。其 中广义刚度为
（2）非线性振动：非线性振动是系统内的恢复力、
阻尼力和惯性力分别与振动位移、速度和加速度有一组以 上不成线性关系时的振动，微分方程中将出现非线性项。 叠加原理不成立。
多旋翼无人机振动的类型（6）
6．按振动位移的特征分类 （1）直线振动：直线振动的特征是振动体上质点的
运动轨迹是直线。
（2）圆振动：圆振动的特征是振动上质点的运动轨迹
旋翼桨叶挥舞方向弯曲振动
假设旋翼桨叶为绕y轴旋转的梁，该旋转梁剖面dr在离心力N和气动力 载荷T作用下，利用牛顿法（力平衡法）得到桨叶挥舞平面内的弯曲振动 方程。如果桨叶气动力载荷T=0，可得到旋转桨叶的弯曲自由振动方程
0 （EJ y ) ( Ny ) m y
式中EJβ为桨叶剖面挥舞弯曲刚度，m为桨叶单位长度质量，y为桨叶挥舞 变形。其中 N rm dr 为桨叶剖面r承受的离心力。应用分离变量法及固有 振型正交性可得出积分表达式：
①响应计算：已知激励和系统模型求响应，也称正问题 ②系统识别：已知激励和响应求系统特性，也称参数识
别或称为第一类逆问题。
③载荷识别：已知系统和响应，求激励，也称第二类逆
问题。
多旋翼无人机结构动力学的特点
（1）结构动力问题包含时间变量
静载荷是不随时间变化的稳态力，静力问题具有单一的解答。动力 问题则不同，动载荷（输入）是随时间变化的速变力，因此，在动力分 析中，输入（激励）的大小、方向甚至作用点，一般都是随时间而变化 的。这就决定了动力系统的输出（响应）也随时间而变化，使动力问题 不像静力问题那样具有单一的解答，我们必须在动载荷作用的时间范围 内求解结构响应的时间历程。