江苏省最新高三数学(精选试题26套)分类汇编9 圆锥曲线

江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编9：圆
锥曲线
一、填空题
1 ．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线
C :x 2a 2-y 2
b
2=1(a >b >0)的一条渐近线方程为 y =
3x ,则该双曲线的离心率的值是_____.
【答案】2 2 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知双曲线与椭圆2
212
x y +=有相同的焦点,且它们的
离心率互为倒数,则该双曲线的方程为________. 【答案】22221x y -=
3 ．（江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）已知椭圆x 2
sin α-y 2
cos
α=1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上,则α的取值范围是____
【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π4
4 ．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）如图,已知椭圆
)0(12
2
22>>=+b a b y a x 的左、右准线分别为21,l l ,且分别交x 轴于D C ,两点,从1l 上一点A 发出一条光线经过椭圆的左焦点F 被x 轴反射后与2l 交于点B ,若AF BF ⊥,且75ABD ∠=︒,则椭圆的离心率等于_________.
【答案】
2
2
6- 5 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）以椭圆
22
22
1(0)x y a b a b +=>>的左焦点(,0)F c -为圆心,c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是______________.
【答案】
6 ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（3））椭圆()22
2210x y a b a b
=>>+的右焦点为
1F ,右准线为1l ,若过点1F 且垂直于x 轴的弦的弦长等于点1F 到1l 的距离,则椭圆的离心
率是_______. 【答案】
2
1
7 ．（江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）在平面直角坐标系xOy 中,过点
11( 0)A x ，、22( 0)A x ，分别作x 轴的垂线与抛物线22x y =分别交于点12A A ''、,直线12A A ''与 x 轴交于点33( 0)A x ，
,这样就称12x x 、确定了3x .同样,可由23x x 、确定4x ,,若12x =,23x =,则5x =_________.
【答案】 12;
设
()
2
1 2
n n n A x x ，、
()
2
1111 2
n n n A x x +++，,则割线
n A 1
n A +的方程
为:22
1
2111122()2n n n n
n n
x x y x x x x x ++--=--, 令0y =得121n n
n n n
x x x x x +++=
+,即21111n n n x x x ++=+,不难得到34515171266x x x ===，，;
8 ．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线方程
为x 2
=2py (p >0). 若直线x -y -2=0与该抛物线相切,则实数p 的值是_____. 【答案】4
9 ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的上、下
顶点分别为,M N ,右顶点为A ,右焦点为F ,若0AN MF =,则椭圆的离心率为_________.
【答案】解析:由题设得1b b
c a
-
⨯=-即2b ac =,也就是220a ac c --=,210e e +-=
,e =
. 10．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）已知双曲线过点(2,1)
且一条渐近线方程为x -y =0,则该双曲线的标准方程为____.
【答案】x 23 - y 2
3
=1
11．（江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）椭圆152
22=+y a
x (a 为定
值,且5>a )的左焦点为F,直线m x =与椭圆相交于点A.B,FAB ∆的周长的最大值
是12,则该椭圆的离心率e 是_______________. 【答案】
3
2
12．（江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc ）如图,已知椭圆
C 的方程为: 22
221x y a b
+=(0)a b >>,B 是它的下顶点,F 是其右焦 点,BF 的延长
线与椭圆及其右准线分别交于P 、Q 两点, 若点P 恰好是BQ 的中点,则此椭圆的离心率是___.
【答案】
13．（江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）在平面直角坐标系xOy 中,直角三角
形ABC 的三个顶点都在椭圆2
22 1 (1)x y a a
+=>上, 其中0 1A （，）
为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为278
,则实数a 的值为_________.
【答案】3 设AB 的方程为:1(0)y kx k =+>,则AC 的方程为:11y x k
=-+,由
2
2
2
11y kx x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 2
2
2
2
(1)20a k x a kx ++=,解得222
21B a k x a k -=+，用“1k -”替换“k ”得2
222C a k x a k
=+，
故22
22
22221a k a k AB AC a k a k ==++ 所以(
)
(
)
44
2
2222
2242
1
22(1)121(1)()1
ABC
a k a k k k S AB AC a k a k a k a k ∆++=⋅==+++++, 令12t k k
=+≥,则432222
2(1)1ABC a a S a a a t ∆=
--+
≤
(当且仅当212a t a -=>时等号成立), 由32278
1a a =-得2(3)(839)0a a a ---=解得3a =，
或a =(舍去),所以3a =.
第12题
14．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）已知双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1
(a >0,b >0) 的焦点到渐近线的距离是a ,则双曲线的离心率的值是_____. 【答案】
2
15．（江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）已知A(1,4),F 是双曲线
x 24-y
212=1的左焦点,P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为________ 【答案】9
16．（江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc ）已知双曲线
的顶点与焦点分别是椭圆的22
221y x a b
+=(0a b >>)焦点与顶点,若双曲线的两条渐近
线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为______
17．（江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）已知点P 是双曲线
22
2
21(0,0)x y a b a b
-=>>右支上一点,1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点. I 为12PF F ∆内心,若12121
2
IPF IPF IF F S S S ∆∆∆=+,则双曲线的离心率为________.
【答案】2
18．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））已知抛物线)0(22
>=p px y ,过定点
(p,0)作两条互相垂直的直线121,,l l l 与抛物线交于P 、Q 两点,l 2与抛物线交于M 、N 两点,l 1斜率为k.某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为(k p p k p ,2
+),请你写出弦MN 的
中点坐标:_____________. 【答案】),(2
pk p pk -+
19．（江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）椭圆x 2
25+y
2
9
=1上一点M 到
焦点F 1的距离为2,N 是MF 1的中点,则|ON|等于____ 【答案】4
20．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（3））如图,用一块形状为半椭圆14
2
2
=+y x )
0(≥y 的铁皮截取一个以短轴BC 为底的等腰梯形ABCD ,记所得等腰梯形ABCD 的面积为S ,
则
1
S
的最小值是___________.
21．（江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）已知抛物线y 2
=2px (p >0)，过定点（p ,0）
作两条互相垂直的直线l 1,l 2,l 1与抛物线交于P 、Q 两点，l 2与抛物线交于M 、N 两点，
l 1斜率为k .某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为（p k 2+p ,p
k
），请你写出弦MN 的中点坐
标： ▲ .
【答案】),(2pk p pk -+
22．（江苏省常州市戴埠高级中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷）已知点P 在抛
物线24y x =上,那么点P 到点Q(2,-1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为_________. 【答案】答案 1
(,1)4
-
23．（江苏省常州市戴埠高级中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷）设椭圆
22
22
+=1x y a b (>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ,点P 在椭圆上且异于,A B 两点,O 为坐标原点.若直线AP 与BP 的斜率之积为1
2
-
,求椭圆的离心率_________. 【答案】
2
24．（江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc ）如图,矩形长为
6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为60颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为
____________________.
【答案】19.2
25．（江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc ）已知双曲线中
x
心在原点,渐近线方程为2
x
y ±
=,一个焦点为)0,5(F ,抛物线)0(22>=p px y 的焦点为双曲线的一个顶点,则=p _______________. 【答案】54
26．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）若抛物线28y x
=的焦点与双曲线2
21x y m
-=的右焦点重合,则双曲线的离心率为______.
【答案】
3
27．（江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）已知双曲线
12
2
22=-b y a x ()0,1>>b a 的焦距为c 2,离心率为e ,若点(-1,0)和(1,0)到直线1=-b y a x 的距离之和为S ≥c 5
4
,则e 的取值范围是_________. 【答案】 ]5,2
5
[
28．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）已知A ,B ,P 是双曲线
22
22
1x y a b -=上不同的三点,且A ,B 连线经过坐标原点,若直线PA ,PB 的斜率乘积1
2
PA PB k k ⋅=,则该双曲线的离心率为_________.
29．（江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）已知F 1、F 2是椭圆的两
个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△ABF 2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是____ 【答案】2-1
30．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））已知B 为双曲线22
221(0,0)
x y a b a b
-=>>的左准线与x 轴的交点,点(0,)A b ,若满足2AP AB =的点P 在双曲线上,则该双曲线的离心率为__.
31．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）在平面直角
坐标系xOy 中,已知点A 是椭圆
22
1259
x y +=上的一个动点,点P 在线段OA 的延长线
上,且72OA OP ⋅=,则点P 横坐标的最大值为______. 【答案】15
提示:设(1)OP OA λλ=>,由2
72OA OP OA λ⋅=⋅=,得2
72
OA
λ=
, 22
72
P A A A A x x x x y λ=⋅=
⋅+=22729925A A A x x x ⋅-⋅+=2
7216925A A x x ⋅+⋅=7291625
A
A x x +⋅, 研究点P 横坐标的最大值,仅考虑05A x <≤,
72151225
P x ≤
=⋅(当且仅当15
4A x =时取“=”). 32．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y 2
=2x
的焦点为F . 设M 是抛物线上的动点,则MO
MF
的最大值为____.
.
33．（江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）设双曲线
22
145
x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为双曲线上位于第一象限内一点,且21F PF ∆的面积为6,则点P 的坐标为_________. 【答案】⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛2,556 34．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）等腰Rt ABC 中,
斜边
BC =一个椭圆以C 为其中一个焦点,另一个焦点在线段AB 上,且椭圆经过A,B
两点,则该椭圆的离心率为____________.
【答案】36-
35．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）已知椭圆x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)
的两个焦点为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),P 为该椭圆上一点,且→PF 1·→PF 2=c 2
,则此椭圆离心率的取值范围是___________.
【答案】[
32
36．（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）设一个椭圆的短轴长、焦距、长轴长成等差数列,
则此椭圆的离心率e=_________.
【答案】45. 由a +b =2c , a 2-b 2=c 2
, 两式相除得a -b =12c , 与a +b =2c 相加得2a =52
c ,从而
e=c a =4
5
. 二、解答题
37．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）已知椭圆2
21:12
x C y +=和圆
222:1C x y +=,A ,B ,F 分别为椭圆C 1左顶点、下顶点和右焦点. ⑴点P 是曲线C 2上位于第二象限的一点,若△APF
的面积为
12+求证:AP ⊥OP ; ⑵点M 和N 分别是椭圆C 1和圆C 2上位于y 轴右侧的动点,且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍,证明直线MN 恒过定点
.
【答案】
38．（江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正常情
况下,该运动员在空中的最高处距水面
2
10
3
米,入水处距池边的距离为4米,运动员在距
水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(Ⅰ)中的抛物线,且运动员
在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为
3
3
5
米,问此次跳水会不会失误?
并通过计算说明理由.
【答案】解:(1)在给定的直角坐标系下,设最高点为A ,入水点为B , 抛物线的解析式为2y ax bx c =++. 由题意,知O (0,0),B (2,-10),且顶点A 的纵坐标为
2
3
. 2
25064210
43342100a c ac b b a a b c c ⎧=-⎪=⎧⎪⎪-⎪⎪∴=⇒=⎨⎨⎪⎪++=-=⎪⎪⎩⎪
⎩
或3220a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩
∵抛物线对称轴在y 轴右侧,∴02b
a
->,又∵抛物线开口向下,∴a <0, 从而b >0,故有2510
,,063
a b c =-
== ∴抛物线的解析式为22510
63
y x x =-+.
(2)当运动员在空中距池边的水平距离为3
35
米时,
即33
32155
x =-=时,225810816()65353y =-⨯+⨯=-,
∴此时运动员距水面的高为10-163=14
3
<5,因此,此次跳水会失误.
39．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知椭圆C : x 2a + y 2
b
=1(a >b >0)的左
焦点为F 1(-3,0),过点F 1作一条直线l 交椭圆于A ,B 两点,点A 关于坐标原点O 的对称
点为A 1,两直线AB ,A 1B 的斜率之积为-16
25.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)已知D (m ,0)为F 1右侧的一点,连AD ,BD 分别交椭圆左准线于M ,N 两点,若以MN 为直径的圆恰好过点F 1,求m 的值.
【答案】解:(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A 1(-x 1,-y 1).
所以,AB k =y 2－y 1x 2－x 1,1A B k =y 2＋y 1x 2＋x 1,于是AB k ·1A B k =y 22－y 12
x 22－x 12
,
由⎩
⎨⎧x 12a 2＋ y 12
b 2＝1，x 22a 2＋ y 22b
2＝1，得x 22－x 12a 2+ y 12－y 12b 2=0,所以AB k ·1A B k =-b 2
a 2
所以,b 2a 2=1625,所以b a =45
.设b =4k ,a =5k ,其中k >0.由c =3,得25k 2-16k 2
=9,所以k =1
所以,椭圆C :x 225+ y 2
16
=1
(2)①若l 存在斜率k 时,设l :y =k (x +3),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋3)，x 225＋ y 216
＝1消去y ,得(16+25k 2)x 2+150k 2x +225 k 2
-400=0. 所以2222
12121212222
150225400256,(3)(3)162516251625k k k x x x x y y k x x k k k -+=-=⇒=++=-+++
设342525
(,),(,)33M y N y -
-,由M 、A 、D 共线,得131(325)3()m y y m x +=
-, 同理2
42(325)3()
m y y m x +=
-
又131411111616
(,),(,),033
F M y F N y F M F N F M F N 由已知得=-=-⊥⇒∙=, 得
212343412325)256,99()()m y y y y y y m x m x （而，即+=-=--222561625k k -+·2
12325)9()()m m x m x （+--=-2569,
整理得 22(1)(16400)0k m +-=,所以m =±5,因为m >-3,所以m =5
40．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）抛物线y x 22
-=上有两点)
,().,(2211y x B y x A 且)2,0(,0-==⋅(O 为坐标原点)
(1)求证:∥ (2)若2-=,求AB 所在直线方程. 【答案】抛物线
y x 22-=上有两点
),().,(2211y x B y x A 且
)2,0(,0-==⋅OM OB OA (O 为坐标原点)
(1)求证:∥ (2)若2-=,求AB 所在直线方程.
41．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C : x 2a 2+ y 2
b
2
=1(a >b >0)的上顶点到焦点的距离为2,离心率为
32
. (1)求a ,b 的值.
(2)设P 是椭圆C 长轴上的一个动点,过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. (ⅰ)若k =1,求△OAB 面积的最大值;
(ⅱ)若PA 2+PB 2
的值与点P 的位置无关,求k 的值. 【答案】解(1)由题设可知a =2,e =c a =
32
,所以c =
3,故b =1. 因此,a =2,b =1 (2)由(1)可得,椭圆C 的方程为 x 2
4+y 2
=1.
设点P (m ,0)(-2≤m ≤2),点A (x 1,y 1),点B (x 2,y 2). (ⅰ)若k =1,则直线l 的方程为y =x -m .
联立直线l 与椭圆C 的方程,即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －m x 2
4
＋y 2
＝1.将y 消去,化简得 54x 2-2mx +m 2
-1=0.解之得x 1=2(2m － 1－m 2)5, x 2=2(2m ＋ 1－m 2
)5, 从而有,x 1+x 2=8m 5, x 1· x 2=4(m 2
－1)5,
而y 1=x 1-m ,y 2=x 2-m ,
因此,∣AB |= (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2= 2(x 1－x 2)2= 2 (x 1+x 2)2
－4 x 1·x 2 =
45
2· 5－m 2
,
点O 到直线l 的距离d =∣m ∣
2
,
所以,S △OAB =12×|AB |×d =25
5－m 2
×|m |,
因此,S 2
△OAB =425( 5-m 2)×m 2
≤425·(5－m 2
＋m 2
2
)2=1.
又-2≤m ≤2,即m 2
∈[0,4].
所以,当5-m 2=m 2,即m 2
=52, m =±
102时,S △OAB 取得最大值1.
(ⅱ)设直线l 的方程为y =k (x -m ).
将直线l 与椭圆C 的方程联立,即⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x －m ) x 2
4
＋y 2
＝1. 将y 消去,化简得(1+4k 2
)x 2
-8mk 2
x +4(k 2m 2
-1)=0,解此方程,可得,
x 1+x 2=8mk 2 1＋4k 2,x 1·x 2=4(k 2m 2－1)
1＋4k 2 .
所以,
PA 2+PB 2=(x 1-m )2+y 12+(x 2-m )2+y 22=3
4
(x 12+x 22)-2m (x 1+x 2)+2m 2+2 =m 2·(－8k 4－6k 2＋2)＋(1＋4k 2)·(8k 2＋8) (1＋4k 2)
2
(*) 因为PA 2
+PB 2
的值与点P 的位置无关,即(*)式取值与m 无关,
所以有-8k 4-6k 2
+2=0,解得k =±12.
所以,k 的值为±1
2
42．（江苏省南通市通州区姜灶中学2013届高三5月高考模拟数学试题 ）设椭圆
22
2
2+=1x y a b
(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ,点P 在椭圆上且异于,A B 两点,O 为坐标原点.
(Ⅰ)若直线AP 与BP 的斜率之积为1
2
-
,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若||=||AP OA ,证明直线OP 的斜率k 满足|k 【
答
案
】
法
一
:(1)
取
(0,)
P b ,
(,0),(,0)
A a
B a -;则
221
()22
AP BP b b k k a b a a ⨯=
⨯-=-⇔=
222
212a b e e a -==⇔=
(2)设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<;则线段OP 的中点(cos ,sin )22
a b Q θθ
||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=- sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θ
θθθ
=
⇔-=+
2AQ AQ ak k k ⇒≤⇔<
⇔>方法二:依题意,直线OP 的方程为y kx =,可设点00(,)P x kx ,由点P 在椭圆上,有
22200221x k x a b +=,因为00,0a b kx >>≠,所以22200221x k x a b
+=即222
0(1)k x a +<③ 由||||,(,0)AP OA A a =-,得222200()x a k x a ++=整理得2200(1)20k x ax ++=,于是
0221a x k -=+,代入③得22222
4(1)3||1a k a k k k
+⨯<⇒>⇒>+43．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）在平面直角坐标系xOy
中,已知椭圆2122
22,)0(1F F b a b
y a x 的左右焦点为>>=+,M 是椭圆上任一
点,21F MF Λ面积的最大值为1,椭圆的内接矩形(短形的边与椭圆的对称轴平行)面积的最大值为22. (1) 求椭圆的方程;
(2) 设M 、A 、B
是椭圆上异于顶点的三点,且存在锐角
OB OA OM ⋅+⋅=θθθsin cos ,使得
①求证:直线OA 与OB 斜率乘积为定值 ②求2
2
OB
OA +的值.
【答案】
44．（江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）如图,已知抛物线
M :()042>=p py x 的准线为l ,N 为l 上的一个动点,过点N 作抛物线M 的两条切线,
切点分别为A ,B ,再分别过A ,B 两点作l 的垂线,垂足分别为C ,D . (1)求证:直线AB 必经过y 轴上的一个定点Q ,并写出点Q 的坐标;
(2)若ANB BDN ACN ∆∆∆,,的面积依次构成等差数列,求此时点N 的坐标.
【答案】
45．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）某跳水运动员在一次跳水训练
时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段.已知跳水板AB 长为2m,跳水板距水面CD 的高
BC 为3m.为安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距h m(h ≥1)时
达到距水面最大高度4m.规定:以CD 为横轴,BC 为纵轴建立直角坐标系. (1)当h =1时,求跳水曲线所在的抛物线方程;
(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时h 的取值范围.
【答案】
则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,1h ,答,此时h 的取值范围⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈3
4,1h .
46．（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）在平面上,给定非零向量b ,对任意向量c ,定义
c =a -
2(a ⋅b )
|b |
2b . (1)若a =(2,3), b =(-1,3), 求c ;
(2)若b =(2,1),证明:若位置向量a 的终点在直线Ax +By +C =0上,则位置向量c 的终点也在一条直线上;
(3)已知存在单位向量b ,当位置向量a 的终点在抛物线C :x 2
=y 上时,位置向量c 终点总在抛物线C′: y 2
=x 上,曲线C 和C′关于直线l 对称,问直线l 与向量b 满足什么关系? 【答案】(1) c =(2,3)-2(－2＋9)10(-1,3)=(175,-65
). (2)设a =(x ,y ), c =(x′,y′),则(x′,y′)=(x ,y )-25(x +2y )(2,1)=(-35x -45y , -45x +3
5y ),
所以, ⎩⎨⎧x ′＝－35x －45y ，y ′＝－45x ＋35y .于是,⎩⎨⎧x ＝－35x ′－4
5
y ′，y ＝－45x ′＋3
5y ′.
故A (-35x′-45y′)+B (-45x′+3
5y′)+C =0,
从而, -15(3A +4B )x′+1
5
(-4A +3B )y′+C =0.
由于A , B 不同时为零,所以3A +4B , -4A +3B 也不同时为零.于是向量c 的终点在一条直
线-15(3A +4B )x +1
5
(-4A +3B )y +C =0上. (3)设b =(b 1, b 2), 则b 12
+b 22
=1,对任意实数t , 取a =(t ,t 2
), 则 c =(t ,t 2)-(2(t ,t 2)⋅(b 1, b 2))(b 1, b 2)=(t ,t 2)-(2tb 1+2t 2b 2)(b 1, b 2)
=((1-2b 22)t -2b 1b 2t 2, -2b 1b 2t +(1-2b 12)t 2
).
因为c 的终点在曲线C′上,所以((1-2b 22)t -2b 1b 2t 2)2=-2b 1b 2t +(1-2b 12)t 2
. ○
1 由于t 为任意实数,比较○
1式两边t 的系数得 1-2b 22=0, (-2b 1b 2)2=-2b 1b 2, 1-2b 12
=0, 从而, b 12=b 22=1
2, b 1b 2<0,所以, b =±(22,-22
).
对曲线C 中任意点(x 0,y 0),可知(y 0, x 0)在曲线C′上, 反之亦然. 故曲线C :x 2
=y 与曲线C′:y 2
=x 关于直线l :y =x 对称. l 的方向向量d =(1,1), 因为d ⋅b =0,所以d ⊥b , 即直线l 与向量b 垂直. 47．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）在综合实践活动中,因制作
一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而成,BC 边的长为2t 分米
(3
12
t ≤≤
);曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为cos 1y x =-),此时记门的最高点O 到BC 边的距离为1()h t ;曲线2C 是一段抛物线,其焦点到准线的距离为9
8
,此时记门的最高点O 到BC 边的距离为2()h t .
(1)试分别求出函数1()h t 、2()h t 的表达式;
(2)要使得点O 到BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?
【答案】解:(1)对于曲线1C ,因为曲线AOD 的解析式为cos 1y x =-,所以点D 的坐标为(,cos 1)t t -
所以点O 到AD 的距离为1cos t -,而3AB DC t ==-,则
第17题
13
()(3)(1cos )cos 4(1)2h t t t t t t =-+-=--+≤≤
对于曲线2C ,因为抛物线的方程为2
94x y =-,即249
y x =-,所以点D 的坐标为
24
(,)9
t t -
所以点O 到AD 的距离为2
49
t ,而3AB DC t ==-,所以2243()3(1)92
h t t t t =-+≤≤
(2)因为1()1sin 0h t t '=-+<,所以1()h t 在3
[1,]2
上单调递减,所以当1t =时,1()h t 取
得最大值为3cos1-
又224939()()9816h t t =-+,而312t ≤≤,所以当32t =时,2()h t 取得最大值为5
2
因为1cos1cos 32π>=,所以153cos1322-<-=, 故选用曲线2C ,当3
2
t =时,点
E 到BC 边的距离最大,最大值为5
2
分米
48．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（3））已知椭圆C :x 2 a 2 +y 2
b 2
=1(a >b >0)的离心率
为
1 2 ,且经过点P (1,3 2
). (I)求椭圆C 的方程;
(II)设F 是椭圆C 的右焦点,M 为椭圆上一点,以M 为圆心,MF 为半径作圆M .问点M 满足什么条件时,圆M 与y 轴有两个交点?
(Ⅲ)设圆M 与y 轴交于D 、E 两点,求点D 、E 距离的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)∵椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a >b >0)的离心率为1 2 ,且经过点P (1,3
2
),
∴⎩⎪⎨⎪
⎧a 2-b 2 a =1
2
1
a 2 +9
4b
2
=1
,即 ⎩⎪⎨⎪⎧3a 2-4b 2
=01 a 2 +9 4b 2 =1,解得 ⎩⎨⎧a 2=4
b 2=3,
∴椭圆C 的方程为
x 2 4 +y 2
3
=1
(Ⅱ)易求得F (1,0).设M (x 0,y 0),则
x 0
2 4 +
y 02
3
=1,
圆M 的方程为(x -x 0)2
+(y -y 0)2
=(1-x 0)2
+y 02,
令x =0,化简得y 2-2y 0y +2x 0-1=0,⊿=4y 02-4(2x 0-1)2
>0①.
将y 02=3(1- x 02
4 )代入①,得3x 02
+8x 0-16<0,解出 -4<x 0<4 3
,
又∵3
422200<
≤-∴≤≤-x x (Ⅲ)设D (0,y 1),E (0,y 2),其中y 1<y 2.由(2),得
DE = y 2- y 1=4y 02-4(2x 0-1) =-3x 02-8x 0+16 =
-3(x 0+
4 3 )2+64 3
, 当x 0=-4 3 时,DE 的最大值为3
3
8 49．（江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y
2
b
2
=1 (a>b>0),双曲线x 2a 2-y
2b
2=1的两条渐近线为l 1,l 2,过椭圆C 的右焦点F 作直线l,使l ⊥l 1,
又l 与l 2交于P 点,设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A,B.
(1)当l 1与l 2夹角为60°,双曲线的焦距为4时,求椭圆C 的方程及离心率;
(2)求|FA||AP|
的最大值.
【答案】解(1)双曲线的渐近线为y=±b a x,两渐近线夹角为60°,又b
a <1,∴∠POx=30°,
∴b a =tan 30°=33
,∴a=3b.又a 2+b 2=22,∴3b 2+b 2
=4, ∴b 2
=1,a 2
=3,∴椭圆C 的方程为x 2
3+y 2=1,∴离心率e=a 2
－b 2
a =63
(2)由已知,l:y=a b (x-c)与y=b a x 联立,解方程组得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2
c ，ab c
设|FA||AP|=λ,则FA →=λAP →
,∵F(c,0),设A(x 0,y 0),则(x 0-c,y 0)=λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
c －x 0，ab c －y 0,
∴x 0=c ＋λ·a 2
c 1＋λ,y 0=λ·ab c 1＋λ.即A ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫c ＋λ·a 2
c 1＋λ，
λ·ab c 1＋λ 将A 点坐标代入椭圆方程,得(c 2
+λa 2)2
+λ2a 4
=(1+λ)2a 2c 2
,
等式两边同除以a 4,(e 2+λ)2+λ2=e 2(1+λ)2
,e ∈(0,1),
∴λ2=e 4－e
2
e 2－2=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－e 2＋22－e 2+3
≤-2
2－e
2
·
22－e
2+3=3-22=(2-1)2
, ∴当2-e 2=2,即e 2
=2-2时,λ有最大值2-1,即|FA||AP|
的最大值为2-1
50．（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）已知椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>,点
A B 、分别为其左、右顶点,点12F F 、分别为其左、右焦点,以点A 为圆心,1AF 为半径
作圆A ;以点B 为圆心,OB 为半径作圆B ;
若直线:l y x =被圆A 和圆B
(1)求椭圆C 的离心率;
(2)己知a =7,问是否存在点P ,使得过P 点有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为
3
4
;若存在,请求出所有的P 点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
由3
l k =-
,得直线l 的倾斜角为150︒, 则点A 到直线l 的距离1sin(180150)2
a d a =︒-︒=
, 故直线l 被圆A
截得的弦长为1L ==直线l 被圆B
截得的弦长为22cos(180150)L a =︒-︒,
据题意有
:12L L =
6=
化简得:2
163270e e -+=,
解得:74e =
或1
4
e =,又椭圆的离心率(0,1)e ∈; 故椭圆C 的离心率为1
4
e =.
(2)假设存在,设P 点坐标为(,)m n ,过P 点的直线为L ;
当直线L 的斜率不存在时,直线L 不能被两圆同时所截; 故可设直线L 的方程为()y n k x m -=-,
则点)0,7(-A 到直线L 的距离2
117k
n
km k D ++--=,
由(1)有14c e a =
=,得34A a r a c =-==4
21, 故直线L 被圆A
截得的弦长为1'L =
则点)0,7(B 到直线L 的距离2
217k
n km k D ++-=
,
7=B r ,故直线L 被圆B
截得的弦长为2'L =,
据题意有:
1234
L L =,即有2222
1216()9()A B r D r D -=-,整理得1243D D =,
2
173k
n
km k ++-=
,○
1 所以4|―7k ―km +n |=3|7k -km +n |,
即4(―7k ―km +n )=3(7k -km +n )或4(―7k ―km +n )=-3(7k -km +n ), 也就是(49+m )k -n =0或(1+m )k -n =0与k 无关.
于是⎩⎨⎧49＋m ＝0 n ＝0或⎩⎨⎧1＋m ＝0 n ＝0,
故所求点P 坐标为(-1,0)或(-49,0).
方法二 对式○
1两边平方整理成关于k 的一元二次方程得 07)14350()3433507(222=++-++n k mn m k m m ,
关于k 的方程有无穷多解,
故有:⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧==+=++490100
70143500
343350722m n m n n m n n m m 或,
故所求点P 坐标为(-1,0)或(-49,0).
(注设过P 点的直线为m kx y +=后求得P 点坐标同样得分)
51．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）给定椭圆
22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>,称圆心在坐标原点O ,
的圆是椭圆C 的“伴随圆”. 若椭圆C
的一个焦点为20)F ,其短轴上的一个端点到2F
(1)求椭圆C 及其“伴随圆”的方程;
(2)若过点(0,)(0)P m m <的直线与椭圆C 只有一个公共点,且截椭圆C 的“伴随圆”所
得的弦长为求m 的值;
(3)过椭圆C “伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ,使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点,试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由. 【答案】解:(1)由题意得
:a =
半焦距c =则1b =, 椭圆C 方程为2
213
x y += , “伴随圆”方程为224x y +=
(2)则设过点P 且与椭圆有一个交点的直线为:y kx m =+,
则22
13y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()222
136(33)0k x kmx m +++-= 所以()()()
2
226413330km k m ∆=-+-=,解2231k m +=① 又因为直线截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为22,
则有=()2221m k =+ ② 联立①②解得,221,4k m ==,
所以1k =±,2(0)m m =-<,则(0,2)P -
(3)当12,l l 都有斜率时,设点00(,),Q x y 其中220
04x y +=, 设经过点00(,),Q x y 与椭圆只有一个公共点的直线为00()y k x x y =-+,
由0022
()
13y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得到[]22003()30x kx y kx ++--= 即
2220000(13)6()3()30
k x k y kx x y kx ++-+--=,
[]2
22
00006()4(13)3()30k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⋅+--=⎣⎦,
经过化简得到:222
000(3)210x k x y k y -++-=, 因为220
04x y +=,所以有222
0000(3)2(3)0x k x y k x -++-=, 设12,l l 的斜率分别为12,k k ,因为12,l l 与椭圆都只有一个公共点,
所以12,k k 满足方程222
0000(3)2(3)0x k x y k x -++-=,
因而121k k ⋅=-,即直线12,l l 的斜率之积是为定值1-
52．（江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）如图,在平面直角坐标系xOy 中.椭
圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ,右准线为l . (1)过点F 作直线交椭圆C 于点,A B ,又直线OA 交l 于点T ,若2OT OA =,求线段AB 的长;
(2)已知点M 的坐标为()000,,0x y x ≠,直线OM 交直线0012
x x
y y +=于点N ,且和椭
圆C 的一个交点为点P ,是否存在实数λ,使得2
?OP OM ON λ=⋅,若存在,求出实数λ;若不存在,请说明理由
.
【答案】解:(1)由题意可知1A F x x c ===,
故将1A x =代入2
212
x y +=,
可得||2
A y =
,
从而AB =(2)假设存在实数λ满足题意. 由已知得0
:y OM y x x =
① 0012
x x
y y += ② 椭圆C :2
212
x y += ③ 由①②解得0
22
0022N x x x y =
+,0220022N y y x y =+.
由①③解得22
022
0022P
x x x y =+,22
0220022P y y x y =+
∴22222
2
2
000022222
2
000000222()
222P P
x y x y OP x y x y x y x y +=+=+=+++, 222200000022222
2
000000222()
222N N x y x y OM ON x x y y x y x y x y +⋅=+=+=+++. 故可得1λ=满足题意
53．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知椭圆E :()22
2210x y a b a b =>>+的
离心率为1
2
,右焦点为F ,且椭圆E 上的点到点F 距离的最小值为2.
⑴求椭圆E 的方程; ⑵设椭圆E 的左、右顶点分别为,A B ,过点A 的直线l 与椭圆E 及直线8x =分别相交于点,M N .
(ⅰ)当过,,A F N 三点的圆半径最小时,求这个圆的方程;
(ⅱ)若cos AMB ∠=,求ABM △的面积. 【答案】⑴由已知,1
2c a =,且2a c -=,所以4a =,2c =,所以22212b a c =-=,
所以椭圆E 的方程为
22
11612
x y =+ ⑵(ⅰ)由⑴,(4,0)A -,(2,0)F ,设(8,)N t .
设圆的方程为220x y dx ey f =++++,将点,,A F N 的坐标代入,得
2
1640,420,
6480,d f d f t d et f ⎧-=⎪
=⎨⎪=⎩+++++++解得2,
72,8,
d e t t f =⎧⎪⎪=--⎨⎪=-⎪⎩ 所以圆的方程为2272
2()80x y x t y t
--=+++
, 即222172172
(1)[()]9()24x y t t t t
-=+++++,
因为2272()t t +≥,
当且仅当72
t t
=±+,圆的半径最小,
故所求圆的方程为22280x y x ±-=++ (ⅱ)由对称性不妨设直线l 的方程为(4)(0)y k x k =>+.
由2
2(4),
1,1612
y k x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩++
得222
121624(,)3434k k M k k -++,
所以22
2424(,)
3434k
MA k k --=++,2223224(,)3434k k MB k k -=++,
所以cos 24MA MB AMB MA MB
∠=
=
=, 化简,得42164090k k --=,
解得214k =
,或294k =,即12k =,或32
k =, 此时总有3M y =,所以ABM △的面积为1
83122
⨯⨯=.
54．（江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）如图，F 1，F 2是离心率为
2
2
的椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，直线l ：x =-1
2
将线段F 1F 2分成两段，其长度之比为1：3．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 在直线l 上，线段AB 的中垂线与C 交于P ，Q 两点． ①求椭圆C 的方程；
②是否存在点M ，使以PQ 为直径的圆经过点F 2，若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）设F 2（c ，0），
∵直线l ：x =﹣将线段F 1F 2分成两段，其长度之比为1：3，∴，解得c =1．
∵离心率为e =，∴a =，∴椭圆C 的方程为．……4分
（Ⅱ）当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x =﹣， 此时P （﹣
，0），Q （
，0），
=﹣1，不合题意．……6分
当直线AB 不垂直于x 轴时，设存在点M （﹣，m ），m ≠0， 设直线AB 的斜率为k ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由，得，
则﹣1+4mk =0，故k =，
此时，直线PQ 的斜率为k 1=﹣4m ，
PQ 的直线方程为y ﹣m =﹣4m （x +），即y =﹣4mx ﹣m ．……8分
联立，消去y ，整理，得（32m 2+1）x 2+16m 2x +2m 2
﹣2=0．
∴，x 1x 2=，……10分
由题意=0，
∴
=（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2
=x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1+（4mx 1+m ）（4mx 2+m ）
=（1+16m 2）x 1x 2+（4m 2﹣1）（x 1+x 2）+1+m 2
=
+
+1+m 2
=
=0，
∴m =．∵M 在椭圆内，∴，∴m =符合条件．……13分 综上所述,存在两点M 符合条件,坐标为M （﹣，﹣
）和M （﹣，
）． (14)
分
55．（江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）在平面直角坐标系中,已
知点(1,1)
P -,过点P 作抛物线2
0:T y x =的切线,其切点分别为11(,)M x y 、22(,)N x y (其中12x x <). (Ⅰ)求1x 与2x 的值;
(Ⅱ)若以点P 为圆心的圆E 与直线MN 相切,求圆E 的面积;
(Ⅲ)过原点(0,0)O 作圆E 的两条互相垂直的弦,AC BD ,求四边形ABCD 面积的最大值.
【答案】解析:(Ⅰ)由2
y x =可得,2y x '=
∵直线PM 与曲线0T 相切,且过点(1,1)P -,∴2111121
x x x +=-,即2
11210x x --=,
∴1212
x =
=
或11x =, 同理可得
:21x =,
或21x =∵12x x <
,∴11x =
21x =(Ⅱ)由(Ⅰ)知,122x x +=,
121x x ⋅=-,则直线MN 的斜率
22
1212121212
y y x x k x x x x x x --===+--,--∴直线M 的方程为:1121()()y y x x x x -=+-,又
211y x =,
∴2
2112112()y x x x x x x x -=+--,即210x y -+=
∵点P 到直线MN 的距离即为圆E 的半径,
即r =
=故圆E 的面积为2
1664
4455S r πππ==⋅
= (Ⅲ)四边形ABCD 的面积为1
2
S AC BD =g
不妨设圆心E 到直线AC 的距离为1d ,垂足为1E ;圆心E 到直线BD 的距离为2d ,垂足为2E ;
则AC BD ==
由于四边形12EE OE 为矩形.且2
2222
12(10)(10)2d d OE +==-+--=
所以12
S AC BD ==g 由
基
本
不
等
式
22
2ab a b ≤+可
得
2
2222
2
212222()5
S r d d ≤+=-+=
,当且仅当12d d =时等号成立 注:(Ⅲ)解法较多,阅卷时可酌情给分.
56．（江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）已知椭圆
C :22
221x y a b
+=(a >b >0)的上顶点为A ,左,右焦点分别为F 1,F 2,且椭圆C 过点P (43,b 3),以AP
为直径的圆恰好过右焦点F 2.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,试问:在x 轴上是否存在两定点,使其到直线l 的距离之积为1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)因为椭圆过点P (43,b 3),所以169a 2+19
=1,解得a 2
=2,
又以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.所以AF 2⊥F 2P ,即-b c ⋅b
343
-c =-1, b 2
=c (4-3c )
而b 2
=a 2
-c 2
=2-c 2
,所以c 2
-2c +1=0,解得c 2
=1, 故椭圆C 的方程是x 2
2
+y 2
=1
(2)①当直线l 斜率存在时,设直线l 方程为y =kx +p ,代入椭圆方程得
(1+2k 2)x 2+4kpx +2p 2
-2=0.
因为直线l 与椭圆C 有只有一个公共点,所以
△=16k 2p 2-4(1+2k 2)(2p 2-2)=8(1+2k 2―p 2
)=0,
即 1+2k 2=p 2
设在x 轴上存在两点(s ,0),(t ,0),使其到直线l 的距离之积为1,则
|ks +p |k 2+1 ⋅ |kt +p |k 2+1=|k 2st +kp (s +t )+p 2
|
k 2+1=1,
即(st +1)k +p (s +t )=0(*),或(st +3)k 2
+(s +t )kp +2=0 (**).
由(*)恒成立,得⎩⎨⎧st +1=0，s+t =0.解得⎩⎨⎧s =1t =-1,或⎩⎨⎧s =-1
t =1
,
而(**)不恒成立.
②当直线l 斜率不存在时,直线方程为x =±2时, 定点(-1,0)、F 2(1,0)到直线l 的距离之积d 1⋅ d 2=(2-1)(2+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1 57．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））在平面直角坐标系xOy 中,已知点(1,1)A -,P
是动点,且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP +k OA =k PA . (1)求点P 的轨迹C 的方程;
(2)若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点,且PQ OA λ=,直线OP 与QA 交于点M ,问:是否存在点P 使得△PQA 和△PAM 的面积满足2PQA PSM S S ∆∆=?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)设点(,)P x y 为所求轨迹上的任意一点,则由
OP OA PA k k k +=得,
(第18题图)
(第18题图)
11
11
y y x x -+=
-+,整理得轨迹C 的方程为2y x =(0x ≠且1x ≠-) (2)设22
1122(,),(,),P x x Q x x
由PQ OA λ=可知直线//PQ OA ,则PQ OA k k =,
故2
221211010
x x x x --=
---,即211x x =--, 直线OP 方程为:1y x x = ①;
直线QA 的斜率为:
2111(1)1
211
x x x ---=----+, ∴直线QA 方程为:11(2)(1)y x x -=--+, 即11(2)1y x x x =-+-- ②
联立①②,得12x =-,∴点M 的横坐标为定值12
-
由2PQA PAM S S ∆∆=,得到2QA AM =,因为//PQ OA ,所以2OP OM =, 由2PO OM =,得11x =,∴P 的坐标为(1,1). ∴存在点P 满足2PQA PSM S S ∆∆=,P 的坐标为(1,1)
58．（江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）已知椭圆
22
22
1(0)x y a b a b +=>>的焦距为4,设右焦点为1F ,离心率为e . (1)
若2
e =
,求椭圆的方程; (2)设A 、
B 为椭圆上关于原点对称的两点,1AF 的中点为M ,1BF 的中点为N ,若原点O 在以线段MN 为直径的圆上.
①证明点A 在定圆上;
②设直线AB 的斜率为k ,
若k ≥求e 的取值范围. 【答案】解:(Ⅰ)
由e =
,c =2,
得a =,b =2 , 所求椭圆方程为22
184
x y +=
.。