福建省高三下学期5月质量检测 数学 PDF版

2023届宁德市普通高中毕业班五月份质量检测
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{
}
2
{31},60M x x N x x x =-<≤=∈--<Z ∣∣，则M N ⋂=（）
A.{21}x
x -<≤∣ B.{}2,1,0,1--C.{32}x
x -<<∣ D.{}
1,0,1-2.某学校利用实践基地开展劳动教育活动，在其中一块土地上栽种某种蔬菜，并指定一位同学观测其中一棵幼苗生长情况，该同学获得前6天的数据如下：第x 天123456高度()
cm y 1
4
7
9
11
13
经这位同学的研究，发现第x 天幼苗的高度()cm y 的经验回归方程为4ˆˆ2.y
x a =+，据此预测第10天这棵幼苗的高度大约为（）A.19cm
B.21cm
C.23cm
D.25cm
3.使x y >成立的一个充分不必要条件是（）
A.1
1
33x y > B.1
2x y x y
-+
>-C.2ln 2ln x y
> D.1(0x y a a ->>，且1)
a ≠4.已知抛物线2:4C x y =的焦点为,F P 为抛物线上一个动点，()1,3A -，则PA PF +的最小值为（）
A.3
B.4
C.5
D.6
5.在平面直角坐标系xOy 中，点P 为圆22:1O x y +=上的任一点，
()()2,0,1,1A B -.若OP OA OB λμ=+
，则2λμ+的最大值为（）
B.2
6.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为,X Y ，且()()
2
2
1122,,,X N Y N μσμσ~~，其密
度曲线如图所示，则以下结论错误的是（）
A.Y 的数据较X 更集中
B.()()
P X c P Y c ≤<≤C.甲种茶青每500克的红茶产量超过2μ的概率大于12
D.()()1P X c P Y c >+≤=7.已知()()330,sin sin ,3lnsin lnsin ,3sin sin 2
a b c π
αβαβαβαβ<<<=-=-=-，则（）
A.b c a <<
B.c b a <<
C.c a b
<< D.a b c
<<8.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E 对应的是正四棱台中间位置的长方体；B D H F ､､､对应四个三棱柱，A C I G ､､､对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（
）
A.24
B.28
C.32
D.36
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.若()6
2
3
6
01236(1)1(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -=+++++++++ ，则（
）
A.064a =
B.0246365
a a a a +++=C.512
a = D.123456234566
a a a a a a +++++=-10.某工厂有甲､乙两个车间生产同一种产品，其产量比为2:3.从两个车间中各随机抽取了10个样品进行测量，其数据（单位：mm ）如下：
甲车间：9.410.19.810.210.010.110.29.610.39.8
乙车间：10.39.2
9.610.010.39.810.49.410.210.3
规定数据在()9.5,10.5之内的产品为合格品.若将频率作为概率，则以下结论正确的是（
）
A.甲车间样本数据的第40百分位数为9.8
B.从样本数据看，甲车间的极差小于乙车间的极差
C.从两个车间生产的产品任取一件，取到合格品的概率为0.84
D.从两个车间生产的产品任取一件，若取到不合格品，则该产品出自甲车间的概率为0.4
11.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,AB P Q M =分别为11,,BC CC BB 的中点，则以下结论正确的是
（
）
A.直线1A M 与平面APQ 平行
B.直线1DD 与直线AQ 垂直
C.平面APQ 截正方体所得的截面面积为94
D.四面体11A D PQ 的体积为
2
6
12.已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称.当1x ≥时，()()()ln 1e f x x ax x =-+⋅-，则以下结论正确的是（
）
A.当1x <时，()()()e 2ln 221f x x x ax a ⎡⎤=-+--+-+⎣⎦
B.若1a =，则()0f x >的解集为()2e,e -
C.若()f x 恰有四个零点，则a 的取值范围是()
0,1D.若对(),0x f x ∈≤R ，则2e
a =
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知复数z 满足13i z z -=-，则z =__________.
14.已知函数()f x 满足如下条件：①定义域为R ；②存在0x ∈R ，使得()()000f x f x '==；③()0f x ≤，试写出一个符合上述要求的函数()f x =__________.15.已知函数()()cos 0,02f x A x A πωϕϕω⎛
⎫
=+>≤> ⎪⎝
⎭
，射线()20y x =-≥与该函数图象的交点的横坐标从左至右依次构成数列{}n x ，且()
*7
43
n x n n =-
∈N ，则()5f =__________.
16.已知椭圆C 的一个焦点为F ，短轴12B B 的长为,P Q 为C 上异于12,B B 的两点.设
1221,PB B PB B ∠α∠β==，且()()tan 3tan tan αβαβ+=-+，则PQF 的周长的最大值为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知数列{}{},n n a b 满足2
1122,3,8n n b a n a b a b =++=+=，且数列{}n a 是等差数列.
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，求证：1
12n S ≤<.
18.（12分）
在四棱锥P ABCD -中，,90,1,2AB CD BCD BC CD PA PD AB ∠====== ∥，PB =
（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）在线段PB 上是否存在点M ，使得二面角P AD M --的大小为45 ？若存在，求PM
PB
的值；若不存在，说明理由.19.（12分）
记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知,7,3
B b a c π
==>，且其内切圆O 的面积为3π.（1）求a 和c ；
（2）连接AO 交BC 于点D ，求AD 的长.20.（12分）
人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某校成立了,A B 两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力，计划采取两种测试方案.
方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别，每首音乐只被一个AI 软件识别一次，并记录结果；方案二：对同一首歌，,A B 两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过.（1）若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中，A 组占23
；在错误识别的音乐数中，B 组占
1
2
.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表，并通过独立性检验分析，是否有95%的把握认为识别音乐
是否正确与两种软件类型有关？
正确识别
错误识别
合计
A 组软件
B 组软件合计
100
（ii ）利用（i ）中的数据，视频率为概率，求方案二在一次测试中获得通过的概率；（2）研究性小组为了验证AI 软件的有效性，需多次执行方案二，假设124
3
P P +=，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.
附：()()()()
2
2
()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.
()
20
P x χ≥0.1000.0500.0100.0050.0010
x 2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
21.（12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点())
12,F F ，点M 满足124MF MF -=，记点M 的轨迹
为E .
（1）求E 的方程；
（2）点()2,0A ，点,B C 为E 上的两个动点，且满足2
BAC π
∠=
.过A 作直线AQ BC ⊥交E 于点Q .若2
BQC π
∠=
，求直线BC 的斜率.22.（12分）已知函数()()sin ,0,e x
a x
f x x π=
∈.（1）若()1f x ≤，求实数a 的取值范围；
（2）若4a =，且()()1212,f x f x x x =<，求证：122x x π+>
且2
2
2sin e
x x x ππ--<.2023届宁德市普通高中毕业班五月份质量检查
数学试题参考答案及评分标准
说明：
1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考.如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则.
2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分.
一､选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分.
1.D
2.C
3.B
4.B
5.C
6.D
7.A
8.B
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9.ABD 10.BC
11.ACD
12.AD
三､填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分.
13.5
14.()2
f x x =-（答案不唯一：如()()1e ,cos 1x
f x x f x x =+-=-等）
15.-1
16.8
三､解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明､证明过程和演算步骤.
17.本小题主要考查等差数列的通项公式､求和等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等.
解：（1）由2
n n b a n =+得11221,4b a b a =+=+，
代入11223,8a b a b +=+=得12213,248a a +=+=，解得121,2a a ==，
又因为数列{}n a 为等差数列，故公差为211d a a =-=，因此2
,n n a n b n n ==+.
（2）证明：由（1）可得2
n b n n =+，所以
21111
1
n b n n n n ==-++，所以1231111n n
S b b b b =
++++ 111111
11223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111
n =-
+又因为*n ∈N ，所以11
0(112
n n <
≤=+时等号成立)，所以111121n ≤-
<+，即1
12
n S ≤<.18.本小题主要考查空间直线与直线､直线与平面､平面与平面的位置关系，空间角的计算等基础知识，考查空间想象能力､推理论证能力､运算求解能力，考查化归与转化思想等.解法一：（1）取AB 的中点F ，连结,BD DF
.
在四边形ABCD 中，,BC CD AB CD ⊥∥，故四边形ABCD 为直角梯形，
又222AB BC CD ===
，故1
1,2
AF BF AB BD ==
==.又由,CD BF CD BF =∥，所以四边形BCDF 为正方形，
故1
12
DF AB ==
，从而BD AD ⊥；
又1,PD PB ==，
所以222PD BD PB +=，故BD PD ⊥.
由,PD AD D PD ⋂=⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD ，从而BD ⊥平面PAD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .
（2）取AD 的中点O ，连接,OP OF ，由1PA PD ==，所以PO AD ⊥，
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD .又,O F 为,AD AB 的中点，
所以OF BD ∥，且12
22
OF BD =
=
，由（1）知BD AD ⊥，故OF AD ⊥.
以O 为原点，OF OA OP ､､所在的直线分别为x y z ､､
轴，建立如图的空间直角坐标系，
则(
)22220,0,0,0,,0,,0,0,,,0,
2222O A D P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫
-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
则(
)
0,,,0,,2222AD PB AP ⎛==--=- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭
，
设(),0,1PM
PB λλ=∈
，则22,,22PM PB λ⎫==--⎪⎪⎭
，2222,,2222AM AP PM λ⎫
=+=-⎪⎪⎝⎭
平面PAD 的一个法向量为()1,0,0m = ，
设平面ADM 的一个法向量为(),,n x y z =
，则()()0,22110,22AD n AM n x y z λλ⎧⋅==⎪
⎨⋅=-++-=⎪
⎩
令2z λ=，则()1,0,2n λλ=-
，
因为二面角P AD M
--的大小为45
，所以
cos,
2
m n
m n
m n
⋅
==
，
由[]
0,1
λ∈，解得：
1
3
λ=，
所以线段PB上存在点M，当
1
3
PM
PB=时，使得二面角P AD M
--大小为45 解法二：（1）取AD的中点,O AB的中点F，连结,,
PO BO DF
.
在四边形ABCD中，,
BC CD AB CD
⊥∥，故四边形ABCD为直角梯形，
又222
AB BC CD
===，
故CD BF
∥，且1
CD BF BC
===，
所以四边形BCDF为正方形，
故ADF
为等腰直角三角形，
从而45
AD BAD
∠
== ，
PAD
为等腰直角三角形.
在ABO
中，
2
22
5
222cos45
222
BO⎛⎫
=+-⨯⨯=
⎪
⎪
⎝⎭
，
又因为1
PA PD
==，所以PO AD
⊥，
12
22
PO AD
==
，又PB=
所以222
PB PO BO
=+，
故PO OB
⊥，
由,
AO BO O AO
⋂=⊂平面,
ABCD OB⊂平面ABCD，
从而PO⊥平面ABCD，
又PO⊂平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD.
（2）过B作Bz PO
∥，则Bz⊥平面ABCD.
以B为原点，BA BC Bz
､､所在的直线分别为x y z
､､轴，建立如图的空间直角坐标
系，则()()()()3120,0,0,2,0,0,0,1,0,1,1,0,,,222B A C D P ⎛ ⎝⎭，
设[],0,1BM
BP λλ=∈，则312,,222BM BP λλλ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ，3122,,222AM BM BA λλ⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()
1,1,0AD =-
设平面ADM 的一个法向量为(),,n x y z =
，
则20,31220,222AD n x y AM n x y z λλλ⎧⋅=-+=⎪
⎨⎛⎫
⋅=-++
=⎪ ⎪⎝⎭⎩
令y λ=，得)()
,,21n λλλ=-
，
因为二面角P AD M --的大小为45 ，
所以平面ADM 与平面ABCD 所成的角也等于45 ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =
，
()2222212cos ,28(1)
m n m n m n λλλλ-⋅===
++-
，因为[]
0,1λ∈，解得23
λ=
，所以线段PB 上存在点M ，当23BM BP =，即1
3
PM PB =时，使得二面角P AD M --大小为45 .解法三：（1）同解法二；
（2）过M 点作MH OB ⊥于H ，过H 作HE AD ⊥于E ，连结ME
由（1）知平面POB ⊥平面ABCD ，所以MH ⊥平面ABCD ，故MH AD ⊥，所以AD ⊥平面MHE ，因而ME AD ⊥，
所以MEH ∠是二面角M AD B --的平面角.
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，二面角P AD M --大小为45 ，
所以二面角M AD B --大小为45 ，从而45MEH ∠= ，故MH EH =.设MH h =，则EH h =，
因为,HE AD BD AD ⊥⊥，从而HE BD ∥，
所以2
OH EH h
OB BD ==从而
22
BH
OB
=因为,MH OB PO OB ⊥⊥，从而MH PO ∥，
所以
BH MH BM
OB PO PB ==，22
22
=，解得2
3
h =，.所以232
2232
BM PB ==，从而1
3PM PB =.19.本题主要考查正弦定理､余弦定理､三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等.
解法一：（1）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2249a c ac =+-3()11
sin 3232
ac a b c π=++，故()214ac a c =++，
于是()22
49,214,a c ac ac a c ⎧=+-⎪⎨=++⎪⎩
即40,13,ac a c =⎧⎨+=⎩，
得8,5a c =⎧⎨
=⎩或5,
8.
a c =⎧⎨=⎩因为a c >，所以8,5.
a c =⎧⎨
=⎩
（2）设,BD x CD y ==，由
57ABD ADC S x S y == ，又因为8x y +=，所以5108123
BD =⨯=.在ABD 中，由余弦定理2222cos 3
AD BA BD BA BD π=+-⋅⋅，得2
10010117525259329AD =+-⨯⨯⨯=，所以573
AD =.解法二：（1）设圆O 与边BC 相切于点E ，连结,OE OB ，则OE BC ⊥
，且OE =6
OBE π∠=
，
故3
BE ==因为ABC 三边与圆O 相切，切线长相等
所以()()337a c -+-=，即13a c +=，根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2249a c ac =+-，所以21()49403ac a c ⎡⎤=
+-=⎣
⎦，解得8,5a c =⎧⎨=⎩或5,8.a c =⎧⎨=⎩因为a c >，所以8,5.a c =⎧⎨=⎩
.（2）由余弦定理得2549641cos 2577A +-=
=⨯⨯.57AB AC AD AB AC AB AC λλλ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎪⎝⎭
.又因为351,5712
λλλ+==.2222116||1121177
AB AC AD AB AC λλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪=+=++⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎣⎦
所以3557123AD == .解法三：（1）同解法一；
（2）在ABC 中，由余弦定理得2549641cos 2577
A +-==⨯⨯，
所以43sin 7
A =，又2cos 12sin
2A A =-，所以2112sin 72A =-，所以21sin 27A =.且27cos 27
A =.231327121321sin sin sin 322
222272714A A A ADB π∠⎛⎫=-=+=⨯ ⎪⎝⎭.在ABD 中，由sin sin 3
AD AB ADB π∠=，3321214
=
，所以3AD =20.本小题主要考查列联表､二项分布､概率的期望等基础知识，考查运算求解能力､数据处理能力､应用意识，考查统计思想､化归与转化思想.
解：（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件4020
60B 组软件2020
40合计
6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409
χ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，且()
2P 3.8410.05χ≥=所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关，.
（ii ）由（i ）得1221,32
P P ==，故方案二在一次测试中通过的概率为222212212222222222121121411332322329
P C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）方案二每次测试通过的概率为
()()()()()()2222
1221222112221222212211P C P P C P C P C P P C P C P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
()21212833
PP PP =-+
2
124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭所以当1249PP =时，P 取到到最大值1627
，又1243P P +=，此时1223
P P ==.因为每次测试都是独立事件，
故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ~，期望值()16E X nP ==，因为1627
p ≤，所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次，此时1223P P ==.21.本题主要考查直线､双曲线､直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力､推理论证能力，考查化归与转化思想､数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力.
解法一：（1）因为点M 满足124MF MF -=，
所以点M 的轨迹为双曲线的右支，
故2,a c ==1b =，
所以曲线E 的方程为2
21(0)4
x y x -=>.（2）设BC 与AQ 的交点为D .
显然直线BC 的斜率存在，设BC 的方程为y kx m =+，
联立方程22,44,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()
222418440k x kmx m -+++=，设()()1122,,,B x y C x y ，所以12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩
.又2121,22
AC AB y y k k x x ==--，因为1AC AB k k ⋅=-，所以2121122
y y x x ⋅=---，故()
()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=，代入()
()2222244812404141m km k mk m k k +⎛⎫++--++= ⎪--⎝⎭，整理得22203160k m km ++=，即()()10320k m k m ++=，解得103
m k =-
或2m k =-（舍）.所以直线BC 的方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.
因为,,,A B Q C 四点共圆，且BC 为直径，由BC AD ⊥，
所以点D 为AQ 中点，且直线AD 的方程为()12y x k =-
-，联立1031(2)y k x y x k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--⎪⎩解得()()
22210631431k x k k
y k ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以点()()2221064,3131k k D k k ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，故()()2221468,3131k k Q k k ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，代入曲线E 的方程()()
222221468443131k k k k ⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥-=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得420k k -=，即1k =±，所以直线BC 的斜率为±1.
解法二：（1）同解法一；
（2）由对称性，直线BC 必过定点(),0t ，
设BC 的方程为x my t =+，联立方程22,
44,
x my t x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得()222
4240m y tmy t -++-=，设()()1222,,,B x y C x y ，所以12221222444tm y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩.2121,22
AC AB y y k k x x ==--，因为1AC AB k k ⋅=-，所以2121122
y y x x ⋅=---，故()
()()22121212440m y y tm m y y t t ++-++-+=，代入()
()222224212(2)044t tm m m t t m m -⎛⎫+⨯+--+-= ⎪--⎝⎭，因为2t ≠，整理得3100t -=，解得103t =
.所以直线BC 的方程为103x my =+，即直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
联立103(2)x my y m x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩解得()()
22261031431m x m m y m ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以点()()2226104,3m 131m m D m ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，故()()2226148,3m 131m m Q m ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，代入曲线E 的方程()()
222226148443131m m m m ⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥-=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得210m -=，即1m =±，所以直线BC 的斜率为±1.
解法三：（1）同解法一；
（2）设AC 方程为()2y k x =-，设AB 方程为()12y x k =-
-，联立方程()
22244
y k x x y ⎧=-⎨-=⎩，消去y 得()222214161640k x k x k -+--=，
设()11,C x y ，则212164214k x k --⋅=-，得2128241
k x k +=-，所以212282424141k k y k k k ⎛⎫+=-= ⎪--⎝⎭
，所以点222824,4141k k C k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭
.用1k -替换k 得点222284,44k k B k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭
.所以BC 斜率()
2222222443414822841414BC k k k k k k k k k k k ---==-++-+--，故直线BC 方程为()
222232844441k k k y x k k k ⎛⎫+=-++ ⎪---⎝⎭，即()()223104141k k y x k k =-
+--，即()
2310341k y x k ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭.
所以直线BC 恒过定点10,03⎛⎫
⎪⎝⎭
.下同解法一.解法四：（1）同解法一；
（2）将坐标系原点平移到()2,0A ，
则双曲线E 的方程变为2
2(2)14
x y +-=，即22440x y x -+=.新坐标系下直线BC 的方程设为1mx ny +=，
代入双曲线方程有()22
440x y x mx ny -++=，即()22
14440m x y nxy +-+=，两边同除以2x 得244410y y n m x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭
，设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，则124114m k k --⋅=
=-，所以34
m =，所以直线BC 的方程为314x ny +=，从而直线BC 恒过定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
，故原坐标系下直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
.由,,,A B Q C 四点共圆，设BC 的直线方程为103y k x ⎛
⎫=-
⎪⎝⎭，即1003kx y k --=；设AQ 的直线方程为()12y x k
=--，即20x ky +-=.所以过四点,,,A B Q C 的二次曲线系方程为()()
221024403kx y k x ky x y λ⎛
⎫--+-+--= ⎪⎝⎭，等式左边xy 的系数为21k -，所以210k -=，所以1k =±，即直线BC 的斜率为±1.解法五：（1）同解法一；
（2）由直线BC 不过点()2,0，
故设直线BC 的方程为()21m x ny -+=，
所以由2244x y -=得22(22)44x y -+-=，
即()()()222
2122]442]m x ny y m x ny ⎡⎡+-+-=-+⎣⎣，两边同除以2(2)x -得()222
21244222y y y m n m n x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅-=+⋅ ⎪ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭⎝⎭，
设
2
y k x =-，上式整理得244410k nk m ---=.设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，则124114
m k k --⋅==-，解得34m =，所以直线BC 的方程为
()3214x ny -+=，即310043x ny ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，从而BC 恒过定点10,03⎛⎫
⎪⎝⎭.下同解法五.
22.本小题主要考查导数及其应用､不等式等基础知识，考查推理论证能力､运算求解能力､创新意识等，考查函数与方程思想､化归与转化思想､分类与整合思想等.解法一､（1）当0a ≤时，由e 0x >，且()0,x π∈时sin 0x >，故()1f x ≤成立；
当0a >时，即为max ()1f x ≤.
由()cos sin e
x x x f x a '-=⋅，.令()0f x '=，得4x π=
，所以()f x 在0,4π⎛
⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，
所以max 4()14a
f x f π
π⎛⎫==≤ ⎪⎝⎭，即402e a π<≤.综上，4
2e a π
≤.（2）()()()4cos sin 4sin ,e e
x x x x x f x f x -='=
，所以()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，故1204
x x ππ<<<<.先证122x x π-<，由142
x ππ<-，故即证()212f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭
，由()()12f x f x =，故即证()112f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭，设()(),0,24h x f x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
则()()()22
sin cos e e 402e x x x x h x f x f x πππ-'⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-⨯< ⎪⎭'⎝'，所以()h x 在0,
4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()04h x h π⎛⎫>= ⎪⎝⎭.现证222sin e x x x ππ--<，即证()2222sin ,,e 4x x x x πππππ--⎛⎫<-∈ ⎪⎝⎭
.设2t x π=-，故即证sin e
t t t <，即证e sin 0t t t ->.设()3g e sin ,0,4t t t t t π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
，则()()g e sin cos 1t t t t =+-'，设()()e sin cos 1t p t t t =+-，由()2e cos t p t t ='，所以()p t 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在3,24
ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，又()2300,e 10,1024p p p π
ππ⎛⎫⎛⎫==->=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以03,24t ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
，使得()00p t =，故()g t 在()00,t 单调递增，在03,
4t π⎛
⎫ ⎪⎝⎭单调递减，()min 3()min 0,4g t g g π⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩
⎭又(
)3334
4
3322e 3e 300,04444g g ππ
ππππ--⎛⎫==-=>> ⎪⎝⎭，所以()g 0t >，即e sin 0t t t ->，故2
22sin e x x x ππ--<解法二､（1）()sin 1e
x a x f x =≤，由e 0x >，且()0,x π∈时sin 0x >，所以min
e sin x a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.设()e sin x
g x x =，则()()2e sin cos sin x x x g x x
-='，令()0g x '=，得4
x π=，
所以()g x 在0,
4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以4min ()2e 4g x g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即42e a π≤（2）()()()4cos sin 4sin ,e e
x x x x x f x f x -='=
，所以()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，故1204
x x ππ<<<<.先证122x x π-<，由142
x ππ<-，故即证()212f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭
，由()()12f x f x =，故即证()112f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭
，设()(),0,24h x f x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()()()22
sin cos e e 402e x x x x h x f x f x π
ππ-'⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-⨯< ⎪⎭'⎝'，所以()h x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()04h x h π⎛⎫>= ⎪⎝⎭
.所以()112f x f x π⎛⎫<-
⎪⎝⎭，从而122x x π+>.()f x 在x π=处的切线方程为()4e
y x ππ-=-，现证()()224e
x f x ππ--<.设()()44sin ,,e e 4x x r x x x ππππ-⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭()()4cos sin 41cos sin 4e e e e x x x x x x r x ππ---⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭
'，设()1cos sin 4e e x x x t x π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，则()8cos e x x t x ='，所以()r x '在,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，
()24110,40,0,4e 2e e r r r ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-<='--⎪'>= ⎪ ⎪ ⎭'⎝⎭⎝⎝
⎭故所以0,42x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00r x '=，故()r x 在0,4x π⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，在()0,x π单调递增，所以()max ()max ,4r x r r ππ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
，
又()344
330,04e e e r r π
πππππππ-⎛⎫=-=<= ⎪⎝⎭，故()0r x <，即()2224sin 4e e x x x ππ--<，所以222sin e x x x ππ--<.。