平面向量典型易错题分析
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ｌ 新 离蕾 数 学
平 面 向量 典 型 易错 题分 析
南 京 大 学 附属 中学 单铭 成
但 两条 直线 平行 不 包 含两 在平 面 向量 的学 习 中 ， 同学 们 如 果 不 能 含两 个 向量共 线 ， 正 确理解 平 面 向量 的基 础 知 识 ， 或 在 某 些 概 条 直线 重合 ， 所 以 Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ 可能 四点共 线 ， 念及 公式 的理 解 上模 糊 不 清 ， 就 会 造 成 一些 此 为 易 错 处 ． 表 面上看 起来 正 确 而 实 际上 错 误 的 判 断 ， 使 解 题思 路走 入误 区． 反 之④ 则正 确． ⑤ 正确 ， 向量 的相 等具有 传递 性． ⑥ 对 于零 向量 的有关 概念 不 清 ， 零 向量 的方 向是任 意 的 ， 并 且 规 定 零 向量 和任 何 向
量 平行 ．
膏 一、向量的基本概念不清
例 １ 下列命题 ： ① 若ｌ ｎ【 一ｌ ６ ｌ ， 贝 ４ 口 一６ ；
答 案 ④ ⑤ 向量 的概 念 较 多 ， 且 容易混淆 ， 在学 习
理 解 各 概 念 的实 质 ， 注 意 区 分 共 ② 两个 向量 相 等 的 等 价 条 件 是 它 们 的 中要分 清 、 线 向量 、 平 行 向 量 、 同 向 向量 、 反 向向量、 零 起 点相 同， 终点相 同；
２ Ｏ Ｎｅｗ Ｕｎｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｅｎ ｔ ｒ ａｎ ｃ ｅ Ｅｘ ａｍ ｉ ｎ ａｔ ｉ ｏ ｎ
） ， 点 Ｐ在 直线ＡＢ上 ， 且ｌ 能两边 同除以一个 向量 ， 即两 边不 能约去 一个 ２
向量（ 如第⑤题） ， 切记两 向量不能相 除（ 相约） ； 求 点 Ｐ 的 坐标 ． （ ２ ）向 量 的 “ 乘 法” 不 满 足 结合 律 ， 即
向量也 可相 等．
⑧（ ｎ・ ） 一ｎ ・ ６ 。 ；
⑨（ ｎ一６ ） 。 一ｎ 。 一２ ａ・ ＋ ．
其 中正 确 的 是
易 错 点 析 因 （ １ ）向量 运算 和 实数 运
③ 首先相 等 向量一定 是 共线 向量 ， 向量 算有类 似 也有 区别 的地 方 ： 对 于 一个 向量 等 共线 也称 向量 平行 ， 两 个 向量 平 行 与 两 条直 式 ， 可 以移 项 ， 两边平方、 两 边 同乘 以一 个 实 线 平行 是不 同的两 个 概 念 ： 两 个 向量平 行 包 数 ， 两边 同时取模 ， 两边 同乘 以一个 向量 ， 但 不
ａ （ ｂ・ ｃ ） ≠（ ｎ・ ） Ｃ ， 为什 么？ 此为 易错 处．
答案 设点 Ｐ的坐标为（ ， ． ｙ ） ， 由于 ｌ Ｉ 一２ Ｉ 两 ｌ ，
理 向量 问题 要 首 先 考 虑 所 给 向量 能 否 为 零
一
（ １ ）当点 Ｐ在 线段 ＡＢ 内时 ， 此 时￣ｐ －２ ； ２茚 ．
④ 若 ・ — ０， 则 ｎ—Ｏ或 一 ０； ⑤ 若 ｎ・６ 一ｃ・６， 贝 ４ ｎ —ｃ ；
的模相 等 不 能 说 明方 向相 同 ， 此为易错 处 ，
向量 相 等 即 向量 的 方 向 和 大 小 均 相 等 ， 反
⑥ｌ Ｅ ｌ ， 一ｎ ｌ ；
一 ．
即（ ３ 一ｚ， 一４ 一． ｙ ） 一２ （ ｚ＋ １ ， ｙ一 ２ ） ，
向量 ．此 为 易错处 ．
答 案 ①⑥ ⑨
由此得 ３ －Ｌ Ｔ ＝
， Ｚｖ一 ４，
☆ 三、 两向量夹角问题考虑不严
故点 Ｐ的坐标为ｆ ÷， ０ ） ；
的 夹 角为 ， 要 使 为锐 角 ， 求 的 取 值 范 围．
（ 若 ｎ 一 ， ６ 一ｃ ， 贝 ４ ｎ— ｃ ；
⑥ 若ｎ ／ ／ ６ ， ｂ ／ ／ ｃ ， 贝 ４ ｎ ／ ／ ｃ ．
其 中 正 确 的 是
易错 点析因 ① 向量是既有大小又
有 方 向 的量 ， 注 意 向量 和 数 量 的 区别 ， 向量
③ （ ｎ 一６ ） 一Ｉ ｎ 一２ １ Ｉ １ ・ｌ Ｉ ＋ｌ 西 Ｉ 。 ；
之， 向量相 等则 向量 的模肯 定相 等．
ｎ ２ 终 点均 相 同 ， 则 两个 向 量必 相等 ， 但是 两 向量 相等 不 一定 要起 点 与
终 点 均相 同 ， 向量 可 以平 移 ， 具 有 自由性 ， 且 平移 可 以确 保 向量 的方 向与 大小 不 变 ， 此 时
③ 若
边形 ；
＝
， 则 ＡＢ Ｃ Ｄ 是 平行 四 向量 等概念 ．
若 ④
一 ：
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 是 平行 四边 形， 则
二 、向量 的运 算 律 理 解 不 透
例 ２ 给 出下列命 题 ：
① ｎ・（ ６ 一ｃ ） 一口・ ６ 一ｎ ・ ｃ ； ② ｎ・（ ６・ ｃ ） 一（ ｎ・ ）・ ｃ ；
Ｊ ＝ ＝ ＝ ２ 『 葡 ｌ ，
易错点析 因： 思考不严密， 出现漏解
现象， 点 Ｐ 可 能 是 线 段 ＡＢ 内 的 点 ， 也 可 能 （ ３ ） 注意 向量 的数 乘 与 向量 的数 量 积 的 是 线段 ＡＢ外 的点 ， 因此 本题 必须 分类讨 论． 区别 ， 实数 与 向量 ａ 的积 是一 个 向量 ， 记作 若 能简单 画出相应 图形 ， 问题就 简单 得多 ． Ａ ａ； 向量 数 量 积 是 一 个 实 数 ， 不 再是 一个 向 量． 而 向量 时刻 要考 虑 方 向问题 ． （ ４ ） 零 向量是 特 殊 向量 ， 具有特殊性 ， 处
２ ）当点 Ｐ在 线 段 ＡＢ 外 时 ， 简 单 作 图 爹例 ３ 已 知 ｎ 一 （ １ ， ３ ） ， ｂ 一 （ ２ ， ） ， 设 口 与 ｂ 易知 （ Ｐ点在 Ｂ点的左侧 ， 此时有 一２ 商 ，
平 面 向量 典 型 易错 题分 析
南 京 大 学 附属 中学 单铭 成
但 两条 直线 平行 不 包 含两 在平 面 向量 的学 习 中 ， 同学 们 如 果 不 能 含两 个 向量共 线 ， 正 确理解 平 面 向量 的基 础 知 识 ， 或 在 某 些 概 条 直线 重合 ， 所 以 Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ 可能 四点共 线 ， 念及 公式 的理 解 上模 糊 不 清 ， 就 会 造 成 一些 此 为 易 错 处 ． 表 面上看 起来 正 确 而 实 际上 错 误 的 判 断 ， 使 解 题思 路走 入误 区． 反 之④ 则正 确． ⑤ 正确 ， 向量 的相 等具有 传递 性． ⑥ 对 于零 向量 的有关 概念 不 清 ， 零 向量 的方 向是任 意 的 ， 并 且 规 定 零 向量 和任 何 向
量 平行 ．
膏 一、向量的基本概念不清
例 １ 下列命题 ： ① 若ｌ ｎ【 一ｌ ６ ｌ ， 贝 ４ 口 一６ ；
答 案 ④ ⑤ 向量 的概 念 较 多 ， 且 容易混淆 ， 在学 习
理 解 各 概 念 的实 质 ， 注 意 区 分 共 ② 两个 向量 相 等 的 等 价 条 件 是 它 们 的 中要分 清 、 线 向量 、 平 行 向 量 、 同 向 向量 、 反 向向量、 零 起 点相 同， 终点相 同；
２ Ｏ Ｎｅｗ Ｕｎｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｅｎ ｔ ｒ ａｎ ｃ ｅ Ｅｘ ａｍ ｉ ｎ ａｔ ｉ ｏ ｎ
） ， 点 Ｐ在 直线ＡＢ上 ， 且ｌ 能两边 同除以一个 向量 ， 即两 边不 能约去 一个 ２
向量（ 如第⑤题） ， 切记两 向量不能相 除（ 相约） ； 求 点 Ｐ 的 坐标 ． （ ２ ）向 量 的 “ 乘 法” 不 满 足 结合 律 ， 即
向量也 可相 等．
⑧（ ｎ・ ） 一ｎ ・ ６ 。 ；
⑨（ ｎ一６ ） 。 一ｎ 。 一２ ａ・ ＋ ．
其 中正 确 的 是
易 错 点 析 因 （ １ ）向量 运算 和 实数 运
③ 首先相 等 向量一定 是 共线 向量 ， 向量 算有类 似 也有 区别 的地 方 ： 对 于 一个 向量 等 共线 也称 向量 平行 ， 两 个 向量 平 行 与 两 条直 式 ， 可 以移 项 ， 两边平方、 两 边 同乘 以一 个 实 线 平行 是不 同的两 个 概 念 ： 两 个 向量平 行 包 数 ， 两边 同时取模 ， 两边 同乘 以一个 向量 ， 但 不
ａ （ ｂ・ ｃ ） ≠（ ｎ・ ） Ｃ ， 为什 么？ 此为 易错 处．
答案 设点 Ｐ的坐标为（ ， ． ｙ ） ， 由于 ｌ Ｉ 一２ Ｉ 两 ｌ ，
理 向量 问题 要 首 先 考 虑 所 给 向量 能 否 为 零
一
（ １ ）当点 Ｐ在 线段 ＡＢ 内时 ， 此 时￣ｐ －２ ； ２茚 ．
④ 若 ・ — ０， 则 ｎ—Ｏ或 一 ０； ⑤ 若 ｎ・６ 一ｃ・６， 贝 ４ ｎ —ｃ ；
的模相 等 不 能 说 明方 向相 同 ， 此为易错 处 ，
向量 相 等 即 向量 的 方 向 和 大 小 均 相 等 ， 反
⑥ｌ Ｅ ｌ ， 一ｎ ｌ ；
一 ．
即（ ３ 一ｚ， 一４ 一． ｙ ） 一２ （ ｚ＋ １ ， ｙ一 ２ ） ，
向量 ．此 为 易错处 ．
答 案 ①⑥ ⑨
由此得 ３ －Ｌ Ｔ ＝
， Ｚｖ一 ４，
☆ 三、 两向量夹角问题考虑不严
故点 Ｐ的坐标为ｆ ÷， ０ ） ；
的 夹 角为 ， 要 使 为锐 角 ， 求 的 取 值 范 围．
（ 若 ｎ 一 ， ６ 一ｃ ， 贝 ４ ｎ— ｃ ；
⑥ 若ｎ ／ ／ ６ ， ｂ ／ ／ ｃ ， 贝 ４ ｎ ／ ／ ｃ ．
其 中 正 确 的 是
易错 点析因 ① 向量是既有大小又
有 方 向 的量 ， 注 意 向量 和 数 量 的 区别 ， 向量
③ （ ｎ 一６ ） 一Ｉ ｎ 一２ １ Ｉ １ ・ｌ Ｉ ＋ｌ 西 Ｉ 。 ；
之， 向量相 等则 向量 的模肯 定相 等．
ｎ ２ 终 点均 相 同 ， 则 两个 向 量必 相等 ， 但是 两 向量 相等 不 一定 要起 点 与
终 点 均相 同 ， 向量 可 以平 移 ， 具 有 自由性 ， 且 平移 可 以确 保 向量 的方 向与 大小 不 变 ， 此 时
③ 若
边形 ；
＝
， 则 ＡＢ Ｃ Ｄ 是 平行 四 向量 等概念 ．
若 ④
一 ：
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 是 平行 四边 形， 则
二 、向量 的运 算 律 理 解 不 透
例 ２ 给 出下列命 题 ：
① ｎ・（ ６ 一ｃ ） 一口・ ６ 一ｎ ・ ｃ ； ② ｎ・（ ６・ ｃ ） 一（ ｎ・ ）・ ｃ ；
Ｊ ＝ ＝ ＝ ２ 『 葡 ｌ ，
易错点析 因： 思考不严密， 出现漏解
现象， 点 Ｐ 可 能 是 线 段 ＡＢ 内 的 点 ， 也 可 能 （ ３ ） 注意 向量 的数 乘 与 向量 的数 量 积 的 是 线段 ＡＢ外 的点 ， 因此 本题 必须 分类讨 论． 区别 ， 实数 与 向量 ａ 的积 是一 个 向量 ， 记作 若 能简单 画出相应 图形 ， 问题就 简单 得多 ． Ａ ａ； 向量 数 量 积 是 一 个 实 数 ， 不 再是 一个 向 量． 而 向量 时刻 要考 虑 方 向问题 ． （ ４ ） 零 向量是 特 殊 向量 ， 具有特殊性 ， 处
２ ）当点 Ｐ在 线 段 ＡＢ 外 时 ， 简 单 作 图 爹例 ３ 已 知 ｎ 一 （ １ ， ３ ） ， ｂ 一 （ ２ ， ） ， 设 口 与 ｂ 易知 （ Ｐ点在 Ｂ点的左侧 ， 此时有 一２ 商 ，