福建省厦门六中高一数学上学期期中试卷

2014-2015学年度厦门六中高一年级上学期期中考试
数 学 试 题
一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设集合{M m =∈Z |32},m -<<{N n =∈N |13}n -≤≤，则M N =（ ）
A ．{0,1}
B ．{1,0,1}-
C ．{012}，
，
D ．{1
012}-，，， 2．已知集合
{04}P x x =≤≤，集合
{02}
N y y =≤≤，下列从P 到Q 的各对应关系f
不是函数的是 ( )
A ．
1:2f x y x →=
B ． 1:3f x y x →=
C ．2
:3f x y x →= D ．
:f x y →=3
．已知点
M 在幂函数()f x 的图象上，则()f x 的表达式为 （ ）
A ．12
()f x x =
B ．1
2
()f x x -= C ．2()f x x = D ．2
()f x x -=
4．设0.37
77,log 0.3,0.3a b c ===，则c b a ,,的大小关系是 （ ）
A ．c b a <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ． a b c <<
5. 函数()2x
f x e x =+-的零点所在的一个区间是 ( ) A ．(2,1)-- B ． (1,0)- C ．(0,1) D ．(1,2)
6．函数
()
34log 2
1-=x y 的定义域为 （ ）
A.3()4+∞，
B.[1
)+∞， C. )
1,43( D. ]1,43( 7．函数
()()2212
f x x a x =+-+在(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．3a ≤-
B ．3a ≥-
C ．5a ≥
D ．3a ≥
8．函数
()1
31x f x =
+的值域是 （ ）
A. (,1)-∞
B. (0,1) C ．(1,)+∞ D. (,1)(1,)-∞⋃+∞
9.若函数
()log
a
f x x
=
在区间
[,3]
a a上的最大值是最小值的3倍，则a的值为（）
B.
10．已知函数
223
y x x
=-+在区间[]
0,m
上的最大值为3，最小值为2，则m的取值
范围是（）A．
[]
0,2
B．
[]
1,2
C．
(],2
-∞
D．
[)
1,+∞
11．函数2
()1log
f x x
=+
与
1
()2x
g x-+
=在同一直角坐标系下的图象大致是（）12.已知函数
()
f x是定义在R上的偶函数，且在[0,)
+∞上为增函数，若
2
(log)(1)
f x f
>
,则x的取值范围是（）
A．
(2,)
+∞ B．
1
(,2)
2 C.
1
(0,)(2,)
2
⋃+∞
D．
(0,1)(2,)
⋃+∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

13. 已知函数
(),0
3,0
x
lnx x
f x
x
>
⎧
=⎨
≤
⎩，则
1
f f
e
⎡⎤
⎛⎫
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦的值是．
14．函数
()log(2)1
a
f x x
=-+(0,1)
a a
>≠
的图象恒过定点P,则P点的坐标是．15．设奇函数
)
(x
f的定义域为[]
5,5
-
，若当
[0,5]
x∈时，
)
(x
f的图象如右图,则不等式()0
f x≤的解集为．
16．若函数
()x f
同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有
()()0=
-
+x
f
x
f
②对于定义域上的任意2
1
,x
x，当
2
1
x
x≠时，恒有
()()
2
1
2
1<
-
-
x
x
x
f
x
f
，则称函数
()x f
为“理想函数”。

给出下列四个函数中：① ()x x f 1=；②()2
x x f = ； ③
()1212+-=x x x f ； ④
()⎩⎨⎧<≥-=00
2
2
x x x x x f ，能被称为“理想函数”的有_ _ （填相应的序号）
．
三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（12分）计算下列各式
（153
4
y （x ＞0，y ＞0）（结果用指数表示）
（2）
822log 4log 6log 3+-+ log36•log69-lg100+
23
log 2
-
18．（本题满分12分）
已知集合{|123}A x a x a =-≤≤+，{|24}B x x =-≤≤，全集U R =
（Ⅰ）当2a =时，求A B ⋃和()R
C A B ⋂； （Ⅱ）若A B A ⋂=，求实数a 的取值范围．
19.（本小题满分12分）
已知函数
()1x
f x x =
+，
（1）用函数单调性定义证明：()f x 在(1,)-+∞是增函数；
（2）试求
2()21x
x
f x =+在区间[1,2]上的最大值与最小值.
20.（本小题满分12分）
已知函数
()()()()1,01log 1log ≠>--+=a a x x x f a a .
（1）判断函数()x f 的奇偶性，并说明理由； （2）求使()0>x f 的x 的取值范围.
21. (本题满分12分) 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．
（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
22．(本题满分14分) 设a ∈R，函数
()2f x x x a x
=-+．
（1）若a =2，求函数()f x 在区间[0，3]上的最大值； （2）若a ＞2，写出函数()f x 的单调区间（不必证明）；
（3）若存在a ∈[3，6]，使得关于x 的方程()2f x t a =+有三个不相等的实数解，求实数
t 的取值范围．
厦门六中2014—2015学年上学期高一半期考Array 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
.
4小题，每小题4分，共16分）
．_______________ 14．_____________
．________________________ 16． ________ _____________
6小题，共74分；解答应写出文字说明与演算步骤）（本小题满分12分）解：
（本小题满分12分）解：
19. （本小题满分12分）解.
20.（本小题满分12分）解：
21.（本小题满分12分）解：
22.（本小题满分14分）解：
18.解：（Ⅰ）当2a =时， {|15}A x x =<<
{|25}A B x x ⋃=-<<，{|15}R C A x x x =≤-≥或
(){|21}R C A B x x ⋂=-≤<- ……6分
（Ⅱ）
A B A ⋂=,∴A B ⊂
①若A =Φ,则123a a -≥+解得4a ≤-； ……8分
②若A ≠Φ,A B ⊂则
123
12234a a a a -<+⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
解得
112a -≤≤
综上：a 的取值范围是
1
(,4][1,]
2-∞-⋃- ……12分 19． 证明：（1）任取
12,(1,),x x ∈-+∞且12,x x <则
12121221121111
()()(1)(1)1111(1)(1)x x f x f x x x x x x x --=-
--=-=++++++
12,(1,),x x ∈-+∞且12,x x < 121210,10,0x x x x ∴+>+>-< ，
12()()0,f x f x ∴-< 12()()f x f x ∴<
()f x ∴为(1,)-+∞上的增函数。

……6分
（2）令2,x
t =则[2,4],t ∈由（1）可知
()1t
g t t =
+在[2,4]上为增函数，
则
min 2(2),3f g ==
max 4(4).5f g == ……12分
20.解：（1）11,0101<<-∴⎩⎨⎧>->+x x x ，
函数的定义域为()1,1-. ∴()f x 的定义域关于原点对称 ……2分 又
()()()()x f x x x f a a -=+--=-1log 1log ， ()x f ∴为奇函数. ……6分 （2）
()()()x x x f a a ->+∴>1log 1log ,0
当10<<a 时，;01,11<<-∴-<+x x x 当1>a 时，10,11<<∴->+x x x .
综上可知：当10<<a 时，x 都范围是(1,0-）；当1>a 时，x 都范围是(0,1）……12分
21. 解：（1）f （x ）=k1x ，
，
，
，
（x≥0），
（x≥0）
（2）设：投资债券类产品x 万元，则股票类投资为20﹣x 万元．
（0≤x≤20）
令，则==
所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，ymax=3万元
22.解：（1）当a=2，x∈[0，3]时，
作函数图象，
可知函数f（x）在区间[0，3]上是增函数．
所以f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）=9．
（2）
①当x≥a 时，．
因为a＞2，所以．
所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．
②当x＜a 时，．
因为a＞2，所以．
所以f（x ）在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，函数f（x）的递增区间是和[a，+∞），递减区间是[，a]．（3）当3≤a≤6时，由（1）知f（x ）在和[a，+∞）上分别是增函数，在上是减函数，
当且仅当
()22
22
4
a
a t a
+
<+<
时，方程f（x）=t+2a有三个不相等的实数解．
即
()22 0
4
a
t
-<<
令
()22
()
4
a
g a
-
=
，g（a）在a∈[3，6]时是增函数，
故g（a）max=4．
∴实数t的取值范围是(0，4).。