第一单元小数除法计算篇-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列(教师版)北师大版

篇首寄语
我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。

编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。

正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。

于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。

《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。

1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。

4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。

5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。

时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。

黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！
101数学创作社
2024年8月23日第一单元小数除法·计算篇【十九大考点】
【考点三】小数除法估算（商的近似数） (8)
(12)
(16)
【考点七】小数除法与单位换算 (17)
【考点八】小数除法竖式的意义 (20)
【考点九】小数的分类 (22)
【考点十】循环小数的表示方法 (25)
【考点十一】循环小数的大小比较 (27)
【考点十四】循环小数与周期问题其三：求最值 (33)
(35)
【考点十六】小数除法简便计算 (38)
【考点十七】小数除法算式规律 (40)
【考点十八】小数除法算式谜 (42)
【考点十九】小数除法的错解问题（将错就错） (44)
【第三篇】典型例题篇
【方法点拨】1.计算法则。

按照整数除法的计算方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果被除数的整数部分比除数小，不够商1，要在商的个位上写0，然后点上小数点，再继续除；如果除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数的后面添0再继续除。

2.计算口诀。

小数除法不难算，小数点对齐是关键；整数部分不够除，商“0”再点小数点；末位如果有余数，后面添“0”继续算。

【典型例题】列竖式计算。

9.6÷4＝ 25.2÷6＝ 34.5÷15＝【答案】2.4；4.2；2.3
【分析】根据除数是整数的小数除法的运算法则，除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。

据此计算即可。

【详解】9.6÷4＝2.4 25.2÷6＝4.2 34.5÷15＝2.3
【对应练习1】列竖式计算。

3.88÷4＝ 2.688÷48＝ 26.52÷16＝
【答案】0.97；0.056；1.6575
【分析】根据除数是整数的小数除法计算法则进行竖式计算，注意商的小数点要与被除数的小数点对齐。

【详解】3.88÷4＝0.97 2.688÷48＝0.056 26.52÷16＝1.6575
【对应练习2】
【对应练习3】列竖式计算。

47.2÷4＝
56.5÷5＝
38.4÷6＝
【方法点拨】
先把除数转化成整数，
除数的小数点向右移动几位，
被除数的小数点也要向右移动几位，位数不够时，在被除数的末尾用0补足，然后按照除数是整数的小数除法进行计算。

【典型例题】
列竖式计算。

（第③题要验算）
①8.1÷4.5＝ ②98.4÷4.8＝ ③34.2÷0.76＝【答案】①1.8；②20.5；③45
【分析】小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。

除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。

根据商×除数＝被除数，进行验算。

【详解】①8.1÷4.5＝1.8 ②98.4÷4.8＝20.5 ③34.2÷0.76＝45
验算：
列竖式计算。

3.64÷5.2＝ 42.36÷0.6＝ 22.08÷2.3＝【答案】0.7；70.6；9.6
【分析】除数是小数的小数除法：先移动除数的小数点，使它变成整数。

除数的小数点向右移动几位，那么被除数的小数点也要向右移动几位，然后按照除数是整数的小数除法的计算法则计算即可。

【详解】3.64÷5.2＝0.7 42.36÷0.6＝70.6 22.08÷2.3＝9.6
【对应练习2】列竖式计算。

6.25÷25＝ 8.5÷3.4＝ 0.552÷0.16＝【答案】0.25；2.5；3.45
【分析】除数是整数的小数除法，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；被除数的数用完时，在被除数的末尾添”0”继续除。

除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。

【详解】6.25÷25＝0.25 8.5÷3.4＝2.5 0.552÷0.16＝3.45
【考点三】小数除法估算（商的近似数）。

【方法点拨】
1.先看保留几位小数，就除到比需要保留的小数位数多一位，然后用“四舍五入”法取商的近似数。

2.精确到个位、十分位、百分位、千分位和精确到1、0.1 、0.01、0.001的含义是一样的，分别是保留整数，一位小数，两位小数，三位小数。

【典型例题】
列竖式计算。

（得数保留两位小数）
4.68÷3.4≈11.9÷7.2≈
解析：1.38；1.65
列竖式计算。

1.55÷3.9≈（保留两位小数）14.6÷3.4≈（保留整数）
解析：0.40；4
【对应练习2】
列竖式计算。

0.138÷0.12＝（保留一位小数）11.9÷0.72≈（保留一位小数）解析：1.1；16.5
【对应练习3】
列竖式计算。

（得数保留一位小数）
48÷2.3≈ 1.55÷3.8≈7.09÷0.52≈
解析：20.9；0.4；13.6
【方法点拨】
1.一个数（0除外）除以大于1的数，商小于被除数。

2.一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于被除数。

3.一个数（0除外）除以1，商等于被除数。

【典型例题】
在下面的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。

2.4÷0.3( )2.4 90÷
3.6( )9÷0.36
6.4÷4( )6.4 3.6÷0.4( )3.6
5.4÷0.6( )54 7.5÷0.5( )75÷5
【答案】＞＝＜＞＜＝
【分析】根据商和除数的关系，当除数小于1时，所得的商比被除数大；当除数等于1时，所得的商等于被除数；当除数大于1时，所得的商比被除数小。

根据商不变的性质，除数和被除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变。

据此可判断除法算式和商，或算式和算式的大小。

【详解】2.4÷0.3（＞）2.4
9÷0.36＝（9×10）÷（0.36×10）＝90÷3.6
所以90÷3.6（＝）9÷0.36
6.4÷4（＜）6.4
3.6÷0.4（＞）3.6
5.4÷0.6＝9
9（＜）54
所以5.4÷0.6（＜）54
7.5÷0.5＝（7.5×10）÷（0.5×10）＝75÷5
所以7.5÷0.5（＝）75÷5
【点睛】掌握商和除数关系及商不变的性质是解答本题的关键。

【对应练习1】
在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。

62.7÷1.4( )62.7 32.5÷1( )32.5
18.4÷1.6( )18.4 26÷0.5( )26
71.8÷0.43( )71.8 50÷0.8( )50
【答案】＜＝＜＞＞＞
【分析】一个数（0除外）除以1，商等于这个数；
一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数；
一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；据此解答。

【详解】1.4＞1，因此62.7÷1.4＜62.7；
1＝1，因此32.5÷1＝32.5；
1.6＞1，因此18.4÷1.6＜18.4；
0.5＜1，因此26÷0.5＞26；
0.43＜1，因此71.8÷0.43＞71.8；
0.8＜1，因此50÷0.8＞50
【点睛】此题考查了不用计算判断商与被除数之间大小关系的方法。

【对应练习2】
在下面的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。

3.59÷0.91( )3.59 6.3÷2.1( )63÷21
5.7×2( )5.7÷0.5 2.74×0.1( )2.74×10
57.3÷65.7( )57.3 23.1÷1.01( )23.1
【答案】＞＝＝＜＜＜
【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数；被除数和除数扩大几倍或缩小到原来的几分之一（0除外），商不变。

据此解答。

【详解】3.59÷0.91＞3.59
6.3÷2.1＝63÷21
因为5.7÷0.5
＝5.7×1÷0.5
＝5.7×（1÷0.5）
＝5.7×2
所以5.7×2＝5.7÷0.5
因为2.74×0.1＜2.74
2.74×10＞2.74
所以2.74×0.1＜2.74×10
57.3÷65.7＜57.3
23.1÷1.01＜23.1
【点睛】此题主要考查了判断因数与积之间大小关系、商与被除数之间大小关系的方法。

【对应练习3】
在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。

10.65÷0.22( )10.65 39×10( )4.39÷0.1 4.7×0.97( )4.7 1÷0.125( )0.125×1 0.98÷9.8( )0.98 8.5×1.25( )8.5
【答案】＞＞＜＞＜＞
【分析】一个数（0除外），除以小于1的数，商比原数大；除以大于1的数，商比原数小；乘小于1的数，积比原数小；乘大于1的数，积比原数大；乘10等于这个数除以0.1，乘的数越大，积越大，据此填空。

【详解】0.22＜1，10.65÷0.22＞10.65 39＞4.39，39×10＞4.39÷0.1 0.97＜1，
4.7×0.97＜4.7
0.125＜1，1÷0.125＞0.125×1 9.8＞1，0.98÷9.8＜0.98 8.5＞1，8.5×1.25＞8.5【点睛】关键是掌握小数乘除法的计算方法。

【方法点拨】
1.两数相除，除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商也随着扩大或缩小几倍。

2.两数相除，被除数不变，除数扩大几倍，商就缩小几倍。

3.两数相除，被除数不变，除数缩小几倍，商就扩大几倍。

【典型例题1】商的变化规律其一。

根据32.526 1.25
¸=，写出下面各题的得数。

¸=( )
¸=( ) 325260
3.2526
【答案】0.125 1.25
【分析】商的变化规律：
（1）除数不变，被除数扩大为原来的几倍，商也扩大为原来的几倍；除数不变，被除数缩小为原来的几分之一，商也缩小为原来的几分之一。

（2）被除数不变，除数扩大为原来的几倍，商反而缩小为原来的几分之一；被除数不变，除数缩小为原来的几分之一，商反而扩大为原来的几倍。

（3）被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变。

【详解】根据32.526 1.25
¸=，可得：
¸=1.25
3.2526
¸=0.125 325260
【点睛】关键是掌握并灵活运用商的变化规律。

【对应练习1】
不计算，根据4.85÷2.5＝1.94写出下面各式的得数。

194×25＝( ) 48.5÷25＝( )
0.485÷0.194＝( ) 19.4×0.25＝( )
【答案】4850 1.94 2.5 4.85
【分析】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；据此解答即可。

【详解】由分析可得：194×25＝4850
48.5÷25＝1.94
0.485÷0.194＝2.5
19.4×0.25＝4.85
【点睛】熟练掌握商的变化规律是解答此题的关键。

【对应练习2】
已知2546÷38＝67，请你直接写出下列各式的得数。

25.46÷38＝( ) 2.546÷0.38＝( )
254.6÷3.8＝( ) 0.38×0.67＝( )
【答案】0.67 6.7 67 0.2546
【分析】第一小题中，被除数较题干中除法的被除数除以100，商也是除以100得到；第二小题中，被除数较题干中除法的被除数除以1000，除数除以100，则商要除以10得到；第三小题中，被除数较题干中除法的被除数除以10，除数除以10，则商不变；第四小题中，两个乘数较题干中的数除以100，则积要除以10000得到。

【详解】25.46÷38＝0.67；2.546÷0.38＝6.7；
254.6÷3.8＝67；0.38×0.67＝0.2546
【点睛】本题主要考查的是小数乘、除法运算，解题的关键是熟练掌握小数乘、除法中商的变化规律、积的变化规律，进而得出答案。

【对应练习3】
【典型例题2】商的变化规律其二。

【对应练习1】
一个算式的商是20.2，如果被除数不变，除数扩大到原来的100倍，这时商是( )；如果除数不变，被除数扩大到原来的100倍，这时商是
( )。

【答案】0.202 2020
【分析】在除法算式中，被除数和除数同时扩大几倍或缩小到原来的几分之几（0除外），商不变；据此解答即可。

【详解】根据商不变的性质可知，一个算式的商是20.2，如果被除数不变，除数扩大到原来的100倍，这时商是0.202；如果除数不变，被除数扩大到原来的100倍，这时商是2020。

【点睛】此题考查了利用商的变化规律在解决实际问题中的灵活应用。

【对应练习2】
【对应练习3】
两个数相除的商是74.6，如果被除数缩小到原来的十分之一，除数不变，则商是( )。

【答案】7.46
【分析】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；
除数不变，被除数乘或除以几，商就乘或除以相同的数（0除外）；
被除数不变，除数乘或除以几，商反而除以或乘几（0除外）；
据此解答即可。

【详解】根据商的变化规律可知，
如果被除数缩小到原来的十分之一，除数不变，则商也会缩小到原来的十分之一，
即74.6÷10＝7.46
商是7.46。

【点睛】此题考查了商的变化规律的灵活运用，灵活运用规律是解答本题的关键。

【方法点拨】
两数相除，被除数与除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，但余数跟着被除数变。

【典型例题】
两个数的商是3.6，如果除数扩大到原来的100倍，要使商不变，被除数应该( )。

【答案】也扩大到原来的100倍
【分析】根据商不变的性质，直接填空即可。

【详解】根据商不变性质可知：两个数相除，商是3.6，除数扩大到原来的100倍，要使商不变，被除数也应扩大到原来的100倍。

【点睛】此题考查了商不变的性质，应明确：只有被除数与除数扩大相同的倍数（0除外），商的大小才不变。

【对应练习1】
计算0.387÷0.45时，把除数看成整数45，要使商不变，被除数应变成
( )。

【答案】38.7
【分析】计算0.387÷0.45时，除数0.45看成45时扩大到原来的100倍，由商的变化规律可知，被除数0.387的同时扩大到原来的100倍，商不变。

【详解】计算0.387÷0.45时，把除数看成整数45，要使商不变，被除数应变成（ 38.7 ）。

【点睛】掌握商的变化规律是解答题目的关键。

【对应练习2】
两个数相除，被除数扩大到原来的6倍，要使商不变，除数应( )。

【答案】扩大到原来的6倍
【分析】被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，据此分
析。

【详解】两个数相除，被除数扩大到原来的6倍，要使商不变，除数应扩大到
原来的6倍。

【点睛】关键是掌握商不变的性质。

【对应练习3】
【考点七】小数除法与单位换算。

【方法点拨】
1.高级单位换算成低级单位，乘以进率；低级单位换算成高级单位，除以进率。

2.六种常用单位进率表。

【典型例题】
在横线里填上合适的数。

36分＝( )时 ( )千克＝80克 6公顷＝( )平方米【答案】0.6 0.08 60000
【分析】1时＝60分，1千克＝1000克；1公顷＝10000平方米；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。

【详解】36分＝36÷60＝0.6时
80克＝80÷1000＝0.08千克
0.08千克＝80克
6公顷＝6×10000＝60000平方米
【对应练习1】
在括号里填上合适的数。

15分钟＝( )小时 50厘米＝( )米
320千克＝( )吨 420平方分米＝( )平方米
【答案】0.25 0.5 0.32 4.2
【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据1小时＝60分钟，用15÷60即可；根据1米＝100厘米，用50÷100即可；根据1吨＝1000千克，用
320÷1000即可；根据1平方米＝100平方分米，用420÷100即可。

【详解】15分钟＝15÷60小时＝0.25小时
50厘米＝50÷100米＝0.5米
320千克＝320÷1000吨＝0.32吨
420平方分米＝420÷100平方米＝4.2平方米
【点睛】本题考查单位换算，明确各单位之间的进率是解题的关键。

【对应练习2】
填上合适的数。

8000平方米＝( )公顷0.56米＝( )厘米
2050克＝( )千克 36分＝( )时
【答案】0.8 56 2.05 0.6
【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据1公顷＝10000平方米，用8000÷10000即可；高级单位换低级单位乘进率，根据1米＝100厘米，用
0.56×100即可；根据1千克＝1000克，用2050÷1000即可；根据1时＝60
分，用36÷60即可。

【详解】8000平方米＝8000÷10000公顷＝0.8公顷
0.56米＝0.56×100厘米＝56厘米
2050克＝2050÷1000千克＝2.05千克
36分＝36÷60时＝0.6时
【对应练习3】
在括号里填上合适的数。

265厘米＝( )分米＝( )米
5吨750千克＝( )吨
2.05千克＝( )千克( )克
13000000平方米＝( )公顷＝( )平方千米
【答案】26.5 2.65 5.75 2 50 1300 13
【分析】根据进率：1米＝10分米＝100厘米，1吨＝1000千克，1千克＝1000
克，1平方千米＝100公顷，1公顷＝10000平方米；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。

【详解】（1）265÷10＝26.5（分米）
265÷100＝2.65（米）
265厘米＝26.5分米＝2.65米
（2）750÷1000＝0.75（吨）
5＋0.75＝5.75（吨）
5吨750千克＝5.75吨
（3）2.05千克＝2千克＋0.05千克
0.05×1000＝50（克）
2.05千克＝2千克50克
（4）13000000÷10000＝1300（公顷）
1300÷100＝13（平方千米）
13000000平方米＝1300公顷＝13平方千米
【考点八】小数除法竖式的意义。

【方法点拨】
解决小数除法竖式的关系问题，关键是熟悉除法各部分之间的关系，理解用进一法保留近似数的现实意义。

【典型例题】
小明列竖式计算“5.36÷1.3”的商，如图所示，当商为4.1时，余数为“3”，这里的“3”表示( )。

A．3个一B．3个十分之一C．3个百分之一D．3个千分之一【答案】C
【分析】直接找到余数为“3”的数字3所在的计数单位是百分之一，可得这里的“3”表示3个百分之一，据此解答。

【详解】由分析可得：
余数为“3”，这里的“3”表示3个百分之一。

故答案为：C
【对应练习1】
用竖式计算“15.4÷4”的过程如图，箭头所指“20”表示的意义是( )。

A．20个一B．20个0.1C．20个0.01D．2个10
【答案】C
【分析】根据小数除法的计算法则可知，20的“2”对应的是十分位，所以表示20个百分之一，也就是20个0.01，据此解答。

【详解】由分析可得：用竖式计算“15.4÷4”的过程如图，箭头所指“20”表示的意义是20个0.01。

故答案为：C
【对应练习2】
如图除法竖式箭头指向的“3”表示的是( )。

A．3个一B．3个十分之一C．3个百分之一D．3个千分之一【答案】C
【分析】观察算式可知，“3”在百分位上，表示3个0.01；即3个百分之一，据此解答。

【详解】根据分析可知，如图除法竖式箭头指向的“3”表示的是3个百分之一。

故答案为：C
【对应练习3】
如图竖式中，“15”表示的是( )。

A．15个十B．15个一C．15个十分之一D．15个百分之一【答案】C
【分析】根据小数除法竖式计算的方法，商十分位上的3表示3个十分之一，与5相乘所得的积是15个十分之一，所以15表示15个十分之一；据此解答。

【详解】竖式中，“15”表示的是15个十分之一。

故答案为：C
【考点九】小数的分类。

【方法点拨】
1.有限小数。

小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。

2.无限小数。

小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数，其中无限小数可以分为无限不循环小数和循环小数两种。

3.循环小数。

一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。

【典型例题】
在8.5454，3.1415926…，8.5454…，8.4545，..
0.74中，有限小数有( )，无限小数有( )，循环小数有( )。

【答案】8.5454、8.4545 3.1415926…、8.5454…、..
0.74
8.5454…、..
0.74
【分析】有限小数是指小数部分的位数有限的小数。

无限小数是指小数部分的位数无限的小数。

循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。

【详解】由分析得：
8.5454、8.4545的小数的位数是有限，所以它们是有限小数；
3.1415926…、8.5454…、..
0.74的小数的位数是无限，所以它们是无限小数；3.1415926…是一个无限不循环小数，8.5454…是一个无限循环小数，其小数部
分不断重复54，..
0.74是一个无限循环小数，其小数部分不断重复74。

因此在8.5454，3.1415926…，8.5454…，8.4545，..
0.74中，有限小数有
8.5454、8.4545，无限小数有3.1415926…、8.5454…、..
0.74，循环小数有
8.5454…、..
0.74。

【对应练习1】
在0.4343、3.2126、3.88…、0.35656…、0.19中，有限小数有( )，无限小数有( )，循环小数有( )。

【答案】0.4343、3.2126、0.19 3.88…、0.35656… 3.88…、0.35656…
【分析】小数部分的位数是有限的小数是有限小数；小数部分的位数是无限的小数是无限小数；一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。

【详解】在0.4343、3.2126、3.88…、0.35656…、0.19中，有限小数有：
0.4343、3.2126、0.19；无限小数有：3.88…、0.35656…；循环小数有：
3.88…、0.35656…。

【对应练习2】
在0.999…、5.1243、2.9657…、62.0505…中，有限小数有( )，无限小数有( )，循环小数有( )。

【答案】 5.1243 0.999…、2.9657…、62.0505… 0.999…、62.0505…
【分析】有限小数：小数部分的位数是有限的小数。

无限小数：小数部分的位数是无限的小数。

循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出，这样的小数叫做循环小数。

【详解】0.999…、5.1243、2.9657…、62.0505…中，
有限小数有：5.1243；
无限小数有：0.999…、2.9657…、62.0505…；
循环小数有：0.999…、62.0505…。

在0.999…、5.1243、2.9657…、62.0505…中，有限小数有5.1243，无限小数有0.999…、2.9657…、62.0505…，循环小数有0.999…、62.0505…。

【对应练习3】
在0.23、5.1666…、3.888、3.14159…、7.045··、这些数中，有限小数是
( )，无限小数是( )，循环小数是( )。

【答案】0.23、3.888 5.1666…、3.14159…、7.045·· 5.1666…、7.045··
【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的小数点后面的小数是有限的，可数的；而无限小数的小数点后面的小数是无限的，不可数的；
一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数，据此解答。

【详解】0.23、5.1666…、3.888、3.14159…、7.045··、这些数中；
有限小数：0.23，3.888；
无限小数：5.1666…，3.14159…，7.045··；
循环小数：5.1666…，7.045··。

在0.23、5.1666…、3.888、3.14159…、这些数中，有限小数是0.23，3.888，无限小数是5.1666…，3.14159…，7.045··，循环小数是5.1666…、7.045··。

【考点十】循环小数的表示方法。

【方法点拨】
1.方法一。

用省略号表示，要写出两个完整的循环节，后面标上省略号。

例如：0.3636……；1.587587……
2.方法二。

只写出一组循环节，然后在循环节的第一个数字和最后一个数上面点上圆点，循环点最多只点两个。

【典型例题】
在4.421421…、4.04213…、4.421中，循环小数是( )，它的循环节是( )，用循环小数的简便形式记作( )。

··
【答案】 4.421421… 421 4.421
【分析】循环小数的意义：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现的无限小数叫循环小数；循环节：不断重复出现的数字就是循环节；循环小数的简便写法：写出第一个循环节，在循环节的首位和末位的上面各记一个小圆点，据此解答即可。

【详解】4.421421…、4.04213…、4.421中，4.421421…是循环小数；
4.421421…循环节是421；
··
4.421421…＝4.421
在4.421421…、4.04213…、4.421中循环小数是4.421421…，它的循环节是
··。

421，用循环小数的简便形式记作4.421
【对应练习1】
5.7373…用简便方法表示为( )，保留两位小数约是( )。

【答案】 5.73g g 5.74
【分析】循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分
别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。

保留两位小数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。

【详解】5.7373…＝5.73g g、5.7373…≈5.74
5.7373…用简便方法表示为5.73g g，保留两位小数约是5.74。

【对应练习2】
¸的商用循环小数的简便记法表示是( )，精确到百分位是
322
( )。

【答案】0.136g g0.14
【分析】先算出3÷22的商，再找出循环小数的循环节，如果循环节是一位数或两位数即在一位数或两位数上面点上一点，如果循环节是三位数或以上的，就在首位和末位上点上一点即可；根据四舍五入法则，精确到百分位，就要看到千分位，如果大于、等于5就进一位，如果小于5就舍去。

【详解】3÷22＝0.136g g
所以322
¸的商用循环小数的简便记法表示是0.136g g，精确到百分位是0.14。

【对应练习3】
算式5÷9的商，用循环小数的简便形式可以写作( )，把这商精确到千分位约是( )。

【答案】0.5&0.556
【分析】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节，写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；精确到千分位，就看万分位上的数字，大于或等于5则向前一位进1，小于5则直接舍去。

据此解答。

【详解】5÷9＝0.555…＝0.5×
0.5×的万分位数字是5，则向前一位进1，保留近似数约是0.556。

即，算式5÷9的商，用循环小数的简便形式可以写作0.5×，把这商精确到千分位约是0.556。

【考点十一】循环小数的大小比较。

【方法点拨】
循环小数比大小，先展开循环节，再从高位依次比较。

【典型例题】
在5.21g g、5.211、5.21、5.2g中，最大的数是( )，最小的数是( )。

【答案】 5.2g 5.21
【分析】把5.21g g的循环节展开后是5.2121…；把5.2g的循环节展开后是
5.2222…；再从个位向十分位、百分位…逐位比较四个小数的大小，据此解
答。

【详解】5.2121…、5.211、5.21、5.2222…，四个小数的个位和十分位都相同，
根据百分位数字可知5.2222…大于另外三个小数（5.2121…、5.211、5.21），
再根据千分位数字可知这三个小数中5.21千分位数字是0，所以5.21最小。

在5.21g g、5.211、5.21、5.2g中，最大的数是5.2g，最小的数是5.21。

【对应练习1】
&&，6.5，6.5&，6.56&&这五个数中，最大的数是( )，最小的在6.565，6.565
数是( )。

【答案】 6.56&& 6.5
【分析】小数的大小比较，先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就
大；整数部分相同时，看它们的小数部分，从高位比起，相同数位上的数大的
那个数就大，依次类推，直到比出为止。

据此可解答。

&&＝6.565565⋯，6.5&＝6.55⋯，6.56&&＝6.5656⋯，6.5656⋯＞【详解】因为6.565
6.565565⋯＞6.565＞6.55⋯＞6.5，即6.56&&＞6.565&&＞6.565＞6.5&＞6.5，则这五个数中，最大的数是6.56&&，最小的数是6.5。

【对应练习2】
在8.273、8.27g、8.27g g、8.27四个小数中，最大的是( )，最小的是
( )。

【答案】8.27g8.27
【分析】一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或多个数字依次不断重复出现，这样的数叫作循环小数；一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；
小数的大小比较必须先比较整数部分，若整数部分不同，整数部分按照整数比较大小的方法来比较，若整数部分相同，先比较小数部分的十分位，若十分位上的数字相同，再比较百分位，依此类推。

【详解】8.27g ＞8.273＞8.27g g
＞8.27
在8.273、8.27g 、8.27g g 、8.27四个小数中，最大的是8.27g
，最小的是8.27。

【对应练习3】
在3.38g
，3.38g g
，3.308g g
，3.308g g
四个数中，最大的数是( )，最小的数是
( )。

【答案】
3.38g
3.308
g g
【分析】小数的大小比较，先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同时，看它们的小数部分，从高位比起，相同数位上的数大的那个数就大，依次类推，直到比出为止。

先根据循环节写出这个循环小数，再据此解答。

【详解】因为3.38g
＝3.388⋯，3.38g g
＝3.3838⋯，3.308g g
＝3.30808⋯，3.308g g
＝3.308308⋯；
3.388⋯＞3.3838⋯＞3.308308⋯＞3.30808⋯，即3.38g
＞3.38g g
＞3.308g
g
＞3.308g g
，所以这四个数中最大的数是3.38g
，最小的数是3.308g g。

【方法点拨】
解决周期问题的关键是找到一个周期，循环小数中的周期问题，一个周期就是循环小数的循环节，求第多少位上的数是多少，即用该数字除以循环节的位数，如果有余数，那么余数是多少，该位置上相对应的数就是多少。

【典型例题】
7.12585858…的小数点后面第100位数字是( )。

【答案】8
【分析】7.12585858…是一个循环小数，循环节是58，要求小数点后面第100个数字是几，因为小数点的1、2不在循环节里，所以用1002
-除以2，余数是几，就在2个数字的一个循环中数到几，即可得解。

【详解】（100－2）÷2
＝98÷2
＝49
所以7.12585858…的小数点后面第100位数字是8。

【点睛】此题考查了学生对循环小数的认识。

【对应练习1】
28÷11的商是( )，小数点后面第2020位上的数字是( )。

【答案】 2.54g g4
【分析】根据小数除法的计算方法，求出28÷11的商；再根据循环小数的表示方法，在循环节的首位和末尾数字上点上小黑点即可；用2020除以循环节的位数，若没有余数，则第2020位上的数就是循环节的最后一个数字，若有余数，余数是几第2020位上的数就从循环节的左边数出几位即可。

【详解】28÷11＝2.54g g
2020÷2＝1010
则28÷11的商是2.54g g，小数点后面第2020位上的数字是4。

【点睛】本题考查小数除法，明确循环小数的表示方法是解题的关键。

【对应练习2】
把3÷7的商用循环小数简便记法表示是( )，小数点后面第99位是( )。

g g8
【答案】0.428571
【分析】（1）循环小数的简便写法：写循环小数，可以只写第一个循环节，并。