人教版数学高二-人教B版选修2-2学案 利用导数判断函数的单调性

1.3导数的应用
1．3.1利用导数判断函数的单调性
1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)
3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
教材整理函数的单调性与导数之间的关系
阅读教材P24，完成下列问题．
用函数的导数判定函数单调性的法则
(1)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；
(2)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．
【答案】f′(x)>0f′(x)<0
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越
大．()
【答案】(1)×(2)×(3)√
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
单调性与导数的关系
所示，给出以下说法：
图1-3-1
①函数y＝f(x)的定义域是
；
②函数y＝f(x)的值域是
(－∞，02,4－1,5∪，故①②正确，选A.
(2)由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
【答案】(1)A(2)D
1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．
2．通过图象研究函数单调性的方法
(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是()
A B C D
(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y＝f(x)在区间上的图象可能是()
A B C D
【解析】(1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．
(2)因为y＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的．
【答案】(1)D(2)A
利用导数求函数的单调区间
求函数f(x)＝x＋a
x(a≠0)的单调区间．
【精彩点拨】求出导数f′(x)，分a>0和a<0两种情况．由f′(x)>0求得单调增区间，由f′(x)<0求得单调减区间．
【自主解答】f(x)＝x＋a
x
的定义域是
(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x2.
当a>0时，
令f′(x)＝1－a
x2>0，解得x>a或x<－a；
令f′(x)＝1－a
x2<0，解得－a<x<0或0<x<a；
当a<0时，f′(x)＝1－a
x2>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)和(a，＋∞)；单调递减区间为(－a，0)和(0，a)．
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
利用导数求函数单调区间的步骤
1．确定函数f(x)的定义域．
2．求导数f′(x)．
3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．4．结合定义域写出单调区间．
2．(1)函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间为() 【导学号：05410017】A．(0，＋∞)B．(－∞，0)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
(2)函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是()
A．(－∞，1) B．(0,1)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
【解析】(1)∵f′(x)＝(e x－e x)′＝e x－e，
由f′(x)＝e x－e>0，可得x>1.
即函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调增区间为
(1，＋∞)，故选D.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝1
x
－1，
由f′(x)＝1
x
－1>0，得0<x<1，
所以函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是(0,1)，故选B.
【答案】(1)D(2)B
已知函数的单调性求参
数的取值范围
探究1a的取值范围．
【提示】由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.
探究2 若函数f (x )＝x 3－ax －1的单减区间为(－1,1)，如何求a 的取值范围． 【提示】 由f ′(x )＝3x 2－a ， ①当a ≤0时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a 3， 当－3a 3＜x ＜3a
3时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫
－
3a 3，3a 3上为减函数， ∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－3a 3，
3a 3， ∴3a
3＝1，即a ＝3.
已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b .
(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值．
【精彩点拨】 (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y ′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．
(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值．
【自主解答】 y ′＝3x 2－a .
(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数． 则y ′＝3x 2－a ≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 即a ≤3x 2在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 则a ≤(3x 2)最小值．
因为x >1，所以3x 2>3.
所以a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3再练一题构建·体系1,41,41,41,41,41,4学业达标3，＋∞)
B ．
C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D ．(－3， 3)
【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤ 3.
【答案】 B 二、填空题
6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为 __________.
【解析】 令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π
3<x <π，所以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3，π.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3，π
7．(2016·佛山高二检测)函数y ＝1
3x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________．
【解析】 y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a )2－4>0，得a 2>1，解得a <－1或a >1.
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
8．若函数y ＝－4
3x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________.
【导学号：05410020】
【解析】 若函数y ＝－4
3x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.
【答案】(0，＋∞)
三、解答题
9．(2016·吉林高二检测)定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：
①f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数；
②f(x)的导函数是偶函数；
③f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直．
求函数y＝f(x)的解析式．
【解】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
因为f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数，
所以f′(－1)＝3a－2b＋c＝0.①
由f(x)的导函数是偶函数，得b＝0，②
又f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f′(0)＝c＝－1，③
由①②③得a＝1
3
，b＝0，c＝－1，
即f(x)＝1
3x
3－x＋3.
10．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m的值及函数的其他单调区间．
【解】因为f′(x)＝3x2－2mx，
所以f′(x)<0，即3x2－2mx<0.
由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9,0)，
即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.
由根与系数的关系，
得－－2m
3
＝－9，即m＝－27
2.
所以f′(x)＝3x2＋27x.
令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.
故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．
，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋综上所述，m的值为－27
2
∞)．
1．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图1-3-5所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()
图1-3-5
【解析】由题图，知函数g′(x)为增函数，f′(x)为减函数，且都在x轴上方，所以g(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在减小．又由f′(x0)＝g′(x0)，知选D.
【答案】 D
2．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有()
A．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )
C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )
D ．f (x )g (x )>f (a )g (a ) 【解析】 因为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
f (x )
g (x )′＝ f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ).又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f (x )
g (x )在R 上为减
函数．又因为a <x <b ，所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )
g (b )
，又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．因此选C.
【答案】 C
3．(2016·亳州高二检测)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围为________．
【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由于f (x )是R 上的单调函数，所以f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．
由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f ′(x )≥0恒成立．
法一 由上述讨论可知要使f ′(x )≥0恒成立，只需使方程3x 2＋2x ＋m ＝0的判别式Δ＝4－12m ≤0，故m ≥1
3.
经检验，当m ＝1
3时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意． 所以实数m 的取值范围是m ≥1
3.
法二 3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，即m ≥－3x 2－2x 恒成立．
设g (x )＝－3x 2
－2x ＝－3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋132＋1
3，易知函数g (x )在R 上的最大值为13，所
以m ≥13.
经检验，当m ＝1
3时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．
所以实数m 的取值范围是m ≥13.
【答案】 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫13，＋∞ 4．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)．
(1)求f (x )的单调区间；
(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈恒成立．
【解】 (1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，
∴f ′(x )＝a 2x －2x ＋a
＝－(x －a )(2x ＋a )x
， 由于a >0，∴f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．
(2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，
即a ≥e ，
由(1)知f (x )在上单调递增，
要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈恒成立，
只要⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，
解得a ＝e.。