海安高级中学高考模拟试卷一(数学)

江苏省海安高级中学高三数学模拟试卷
必做题部分
审核：王斌
(考试时间120分钟,满分160分)
一.填空题:本大题14小题,每小题5分,共70分.请将正确的答案填在答题纸上相应的横线上. 1．复数10
)11(
i
i +-的值是 2． 已知集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}R x x y y B ∈-==),1(log |2，则
=⋂B A ．
3．在数列}{n a 中，若11=a ，212=a ，)(112*2
1N n a a a n n n ∈+=++，则该数列的通项为 。

4．已知⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=
2,0734sin παα其中，，则=+)3cos(πα ． 5．一组数据中每个数据都减去80构成一组新数据，则这组新数据的平均数是2.1，方差是
4.4，则原来一组数的方差为 . 6．定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上是增函数.若)2()(f a f ≥，则实数a 的取值范围是 . 7． 函数2
23
()f x x α
α--=（常数Z α∈）为偶函数，且在(0,)+∞上是单调递减函数，则α
的值为_________.
8．从集合{}2,1,1,2,3A =--中任取两个元素m 、n （m n ≠），则方程12
2=+n
y m x 所对应的曲线表示焦点在y 轴上的双曲线的概率是 ．
9．已知ABC ∆的外接圆的圆心O ，BC CA AB >>，则,,OA OB OA OC OB OC ⋅⋅⋅的大小关系为______．
10．若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相切，则实数ab 的取值范围是 ．
11．在ABC ∆中,已知sin sin cos sin sin cos A B C A C B =sin sin cos B C A +,若,,a b c 分
别是角,,A B C 所对的边,则
2
ab
c 的最大值为 . 12．已知P 为抛物线x y 42
=上一点，设P 到准线的距离为1d ，P 到点)4,1(A 的距离为2d ，
则21d d +的最小值为________.
13．f （x ）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf ‘（x ）－f （x ）>0,对任意正数a 、b ，若a ＜b ，则()()af a bf b ,的大小关系为 ．
14．设函数12,0
()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩
,方程f (x)＝x +a 有且只有两不相等实数根，则实数a 的
取值范围为 .
二.解答题:本大题6小题,共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知4AD =
，BD =28AB CD ==． （1）设M 是PC 上的一点，证明：平面M BD ⊥平面PAD ； （2）当M 点位于线段PC 什么位置时，PA ∥平面MBD ？
16. （本题满分14分）
在斜△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且A
A C A ac c a b cos sin )
cos(222+=--.
(1)求角A ； (2)若2cos sin >C
B
，求角C 的取值范围。

A
B
C
M P
D
17.（本题满分15分）
甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹. （1）求空弹出现在第一枪的概率； （2）求空弹出现在前三枪的概率;
（3）如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5的弹孔
,,P Q R ，
第四枪瞄准了三角形PQR 射击,第四个弹孔落在三角形PQR 内，求第四个弹孔与前
三个弹孔的距离都超过1的概率（忽略弹孔大小）.
18. （本小题15分）
已知平面直角坐标系xoy 中O 是坐标原点，)0,8(),32,6(B A ，圆C 是OAB ∆的外接圆，过点（2，6）的直线l 被圆所截得的弦长为34. （1）求圆C 的方程及直线l 的方程；
（2）设圆N 的方程1)sin 7()cos 74(2
2
=-+--θθy x ，)(R ∈θ，过圆N 上任意一
点P 作圆C 的两条切线PF PE ,，切点为F E ,，求CE CF ⋅的最大值.
19．（本小16分）已知函数x x f 2)(=
（1）试求函数]0,(),2()()(-∞∈+=x x af x f x F 的最大值；
（2）若存在)0,(-∞∈x ，使1)2()(>-x f x af 成立，试求a 的取值范围；
（3）当,0>a 且]15,0[∈x 时，不等式])2[()1(2a x f x f +≤+恒成立，求a 的取值范围；
20．（本题满分16分）
已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a (其中
,a b 均为正整数)．
(Ⅰ) 若1122,a b a b ==，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若1213,,,k n n n a a a a a ，，，12(3)k n n n <<<<<
成等比数列，
求数列{}k n 的通项公式；
(Ⅲ) 若11223a b a b a <<<<，且至少存在三个不同的b 值使得等式()m n a t b t N +=∈成立，试求a 、b 的值．
高三数学试题参考答案
一.填空题: 1. -１ 2.
()+∞,0
3. n a n 1=
4. 14
11- 5. 4.4 6. (][),22,-∞-⋃+∞
7. 1 8.
310 9. .OA OB OA OC OB OC ∴⋅>⋅>⋅ 10. ]2121[，- 11. 2
3
12. 4 13. ()()>bf b af a 14. [)3,4 二.解答题:
15.证明：（1）在ABD △中，
∵4AD =
，BD =，8AB =，∴222AD BD AB +=． ∴AD BD ⊥．
又 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD
平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，
∴BD ⊥平面PAD ．又BD ⊂平面MBD ， ∴平面M BD ⊥平面PAD ．
（2）当M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时，PA ∥平面MBD ． 证明如下：连接AC ，交BD 于点N ，连接MN ．
∵AB DC ∥，所以四边形ABCD 是梯形． ∵2AB CD =，∴:1:2CN NA =． 又 ∵:1:2CM MP =，
∴:CN NA =:CM MP ，∴PA ∥MN ．
∵MN ⊂平面MBD ，∴PA ∥平面MBD ．
16. (1) ∵ 2222cos ,b a c B ac
--=-cos()2cos ,sin cos sin 2A C B
A A A +=-，
又∵ 222cos()sin cos b a c A C ac A A
--+=，∴ 2cos 2cos ,sin 2B B A --=而ABC ∆为斜三角形，
∵cosB 0≠，∴sin2A=1. ∵(0,)A π∈，∴2,2
4
A A π
π
=
=
.
(2)∵34πB C +=
，∴333sin sin cos cos sin sin 444cos cos cos πππC C C
B C C C C ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭== …12分
即tan 1C >，∵304
C π
<<
，∴42ππC <<.
17. 解：设四发子弹编号为0（空弹），1，2，3，
（1）设第一枪出现“哑弹”的事件为A ，有4个基本事件,则：1
()4
P A =
(2) 法一:前三枪出现“哑弹”的事件为B,则第四枪出现“哑弹”的事件为B , 那么()()P A P B =，
13()1()1()1.44
P B P B P A =-=-=-
= 法二:前三枪共有4个基本事件{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},满足条件的有三个,
则3
().4
P B =
(3) RT PQR ∆的面积为6， 分别以,,P Q R 为圆心、1为半径的三个扇形的面积和
11442
π
ππ=+=,设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C,
1
62()1612
P C π
π-=
=-. 18. 解：(1)因为)0,8(),32,6(B A ，所以OAB ∆为以OB 为斜边的直角三角形，
所以圆C ：16)4(22=+-y x
(2)①斜率不存在时，l ：2=x 被圆截得弦长为34，所以l ：2=x 适合
②斜率存在时，设l ：)2(6-=-x k y 即026=-+-k y kx
因为被圆截得弦长为34，所以圆心到直线距离为2,所以
212642
=+-+k
k k
34-=∴k 02634),2(3
4
6:=-+--=-∴y x x y l 即
综上，l ：2=x 或02634=-+y x （3）解：设2ECF a ∠=，则
2||||cos216cos232cos 16CE CF CE CF ααα===-．
在Rt PCE △中，4
cos ||||
x PC PC α=
=，由圆的几何性质得 ||||1716PC MC -=-=≥，所以3
2cos ≤
α， 由此可得916-
≤⋅CF CE ，则CF CE ⋅的最大值为169
-. 19、（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-≤->+=21,4121,1)(max
a a
a a x F
（2）令,2t x =则存在)1,0(∈t 使得12
>-at t
所以存在)1,0(∈t 使得1122-<->-at t at t 或 即存在)1,0(∈t 使得min max )1()1(t
t a t t a +>-<或
20><∴a a 或
（3）由[]
2)2()1(a x f x f +≤+得2)2(1a x x +≤+恒成立
因为,0>a 且]15,0[∈x ，所以问题即为a x x +≤+21恒成立 max )12(++
-≥∴x x a
设=)(x m 12++
-x x 令]4,1[,1,12∈-==+t t x t x 则
8
17
)41(2)1(2)(22+--=+--=∴t t t t m
所以，当t=1时，1)(max =x m 1≥∴a
20. 解：（Ⅰ）由1122,a b a b ==得：a b
a b ab =⎧⎨+=⎩
，
解得：0a b ==或2a b ==，
,a b N +∈， 2a b ∴==，从而2,2n n n a n b ==
(Ⅱ)由(Ⅰ)得132,6a a ==，∴1213,,,k n n n a a a a a ，，，构成以2为首项，3为公比的等比数列，即：1
23
k k n a +=⋅
又2k n k a n =，故1223k k n +=⋅，13k k n +∴= (Ⅲ) 由11223a b a b a <<<<得：2a b a b ab a b <<+<<+， 由a b ab +<得：()1a b b ->；由2ab a b <+得：()12a b b -<，
而*
,,a b N a b ∈<，即：1b a >≥，从而得：
122
11241111
b b a b b b b <+=<<=+≤----， 2,3a ∴=，当3a =时，2b =不合题意，故舍去，
所以满足条件的2a =. 又
2(1)m a b m =+-，12n n b b -=⋅，故()1212n b m t b -+-+=⋅，
即：()
1
212n m b t --+=+
①若1210n m --+=，则2t N =-∉，不合题意； ②若1210n m --+≠，则1
221
n k b m -+=
-+，由于1
21n m --+可取到一切整数值，且3b ≥，故要至少存在三个b 使得()m n a t b t N +=∈成立，必须整数2t +至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以t 的最小值为10，此时3b =或4或12.
数学附加题
(时间30分钟,满分40分)
一.选答题:本大题共4小题,请从这4题中选做2小题,如果多做,则按所做的前两题记分.每小题10分,共20分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. A ．选修4—1 几何证明选讲
在直径是AB 的半圆上有两点,M N ,设AN 与BM 的交点是P .
求证:2
AP AN BP BM AB ⋅+⋅=
B ．选修4—2 矩阵与变换
设矩阵M 对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长3倍，再将纵坐标伸长2倍的两个伸压变换的复合，求其逆矩阵1
M
-以及圆221x y +=在1
M
-的作用下的新曲线的方程．
C ．选修4—4 参数方程与极坐标 求圆3cos ρθ=被直线22,
14x t y t =+⎧⎨=+⎩
（t 是参数)截得的弦长.
D ．选修4—5 不等式证明选讲
设函数()f x =
（１）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；
（２）若函数()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围．
二.必答题:本大题共2小题,第一小题8分,第二小题12分,共20分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
1. (本小题满分8分)已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，
⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且2,1====AB DC AD PA ,M 是PB 的中点．
（1）求AC 与PB 所成的角余弦值； （2）求二面角A MC B --的余弦值．
2.(本小题满分12分)一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f 1(x )=x ，f 2(x )=x 2，f 3(x )=x 3，f 4(x )=sin x ，f 5(x )=cos x ，f 6(x )=2．
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡
片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
附加题答案
数学加试题参考答案及评分标准
A ．选修4—1 几何证明选讲
证明:作PE AB ⊥于E
AB 为直径, 90ANB AMB ∴∠=∠=
,,,P E B N ∴四点共圆,,,,P E A M 四点共圆.
(1)(2)
AE AB AP AN BE AB BP BM ⋅=⋅⋅=⋅
P
A
N
B
M E
(1)+(2)得()AB AE BE AP AN BP BM +=⋅+⋅ 即2AP AN BP BM AB ⋅+⋅= B ．选修4—2 矩阵与变换
解： 1102103M -⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，
圆221x y +=在1
M
-的作用下的新曲线的方程为19422=+y x
C ．选修4—4 参数方程与极坐标
将极坐标方程转化成直角坐标方程：
3cos ρθ=即：223x y x +=，即2239
()24
x y -+=； 2214x t
y t =+⎧⎨
=+⎩
即：23x y -= 所以圆心到直线的距离0d ==，即直线经过圆心，
所以直线截得的弦长为3. D ．选修4—5 不等式证明选讲 （1）由题设知：1250x x ++--≥，
如图，在同一坐标系中作出函数12y x x =++-和5y =的图象（如图所示）,知定义域为(]
[),23,-∞-+∞
（2）由题设知，当x R ∈时，恒有120x x a ++-+≥，
即12x x a ++-≥-， 又由（1）123x x ++-≥，∴ 3,3a a -≤≥-即
1. 证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2
A B C D P M ．
（1）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC
10
||2,||5,2,cos ,
5||||
AC PB AC PB AC PB AC PB AC PB ⋅==⋅=<>=
=⋅故所以
所以，AC 与PB .
（2）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ=
..2
1,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC 要使14,00,.25
AN MC AN MC x z λ⊥=-==只需即解得 0),5
2,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为
所求二面角A MC B --的平面角． 30304||,||,.555AN BN AN BN ===- 2cos(,).3||||
AN BN AN BN AN BN ∴==-⋅ 23-
故所求的二面角的余弦值为. 另解：可以计算两个平面的法向量分别为：平面ＡＭＣ的法向量1(1,1,2)n =-，平面ＢＭＣ的法向量为)2,1,1(2=n ，><21,cos n n =32， 所求二面角A MC B --的余弦值为－3
2． 2. （1）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知
.5
1)(2623==C C A P （2）ξ可取1，2，3，4．
10
3)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ， 20
1)4(,203)3(1313141115121613141315121613=⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ； 故ξ的分布列为
.4
7201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE
7
答：ξ的数学期望为.
4。