2020_2021高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系

1.2.2 同角三角函数的基本关系
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
同角三角函数的基本关系 b b 同角三角函数关系的应用
b
b
知识导图
学法指导
1.充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件、形式及公式的变形，在尝试证明的基础上去理解记忆．
2．理解并记忆相应的求值、化简以及证明的模型，领会解题常用的方法技巧，熟练掌握公式及其变形的应用.
同角三角函数的基本关系式
状元随笔
(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin 23α＋cos 23α＝1等．
(2)注意公式成立的条件．
(3)注意公式的变形，特别是公式的逆用．
(4)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象． [小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin 2π3＋cos 2π
4
＝1.( )
(2)sin α2＋cos α2＝1.( )
(3)对于任意角α都有sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin α
cos α
.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．若α为第二象限角，且sin α＝2
3
，则cos α＝( )
A ．－53 B.13
C.
53 D ．－13
解析：∵α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－
5
3
. 答案：A
3．已知tan α＝1
2
，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin α的值是( ) A ．－55 B.5
5
C.255 D ．－255
解析：∵α∈(π，3π2)，∴sin α<0.由tan α＝sin αcos α＝1
2
，
sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－5
5
.
答案：A
4．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
解析：原式＝⎝⎛⎭⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.
答案：C
类型一 利用同角基本关系式求值
例1 (1)已知sin α＝1
5
，求cos α，tan α；
(2)已知tan α＝3，求3sin 2α－cos 2α
2sin 2α－6cos 2α
.
【解析】 (1)因为sin α＝1
5
>0，且sin α≠1，所以α是第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－125＝2 65，tan α＝sin αcos α＝6
12；
②当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－2 65，tan α＝－6
12.
(2)分子、分母同除以
cos 2α，得
3sin 2α－cos 2α
2sin 2α－6cos 2α＝3tan 2α－12tan 2α－6.
又tan α＝3，所以3sin 2α－cos 2α
2sin 2α－6cos 2α＝3×32－12×32－6＝13
6
.
(1)已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．
(2)利用同角基本关系式，分子、分母同除以cos 2α，把正弦、余弦化成正切． 方法归纳
求同角三角函数值的一般步骤
(1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限．
sin θ＋cos θ＝
1
5,两边平方→求出2sin θcos θ的值→求sin θ－cos θ的值
方法归纳
已知sin α±cos α的求值问题的方法
对于已知sin α±cos α的求值问题，一般利用整体代入的方法来解决，其具体的解法为：
(1)用sin α表示cos α(或用cos α表示sin α)，代入sin 2α＋cos 2
α＝1，根据角α的终边所在的象限解二次方程得sin α的值(或cos α的值)，再求其他，如tan α(体现方程思想)．
(2)利用sin α±cos α的平方及sin 2α＋cos 2α＝1，先求出sin αcos α的值，然后求出sin α∓cos α的值(要注意结合角的范围确定符号)从而求解sin α，cos α的值，再求其他．
跟踪训练4 已知x 是第三象限角，且cos x －sin x ＝5
5
.
(1)求cos x ＋sin x 的值；
(2)求2sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x 的值．
解析：(1)(cos x －sin x )2＝1－2sin x cos x ＝1
5
，
所以2sin x cos x ＝4
5
，
所以(cos x ＋sin x )2＝1＋2sin x cos x ＝9
5
，
因为x 是第三象限角，所以cos x ＋sin x <0， 所以cos x ＋sin x ＝－35
5
.
(2)由⎩⎨
⎧
cos x ＋sin x ＝－355，cos x －sin x ＝5
5
，
解得cos x ＝－
55，sin x ＝－25
5
， 所以2sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x ＝2×45－25＋15＝7
5
.
(1)把cos x －sin x ＝5
5
平方
(2)注意x 的范围
(3)分别求出sin x 、cos x 1.2.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列四个命题中可能成立的一个是( )。