复数的加减乘除

三、知识新授：
1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部，
虚部与虚部分别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
学
以 致
讲解例题
用
例1 计算
(5 - 6i) + (- 2 - i) - (3 + 4i)
(5 - 6i) + (- 2 - i) - (3 + 4i) = (5 - 2 - 3) + (- 6 - 1- 4)i = - 11i
解：
y 向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 设 OZ1 及 OZ 2 分别与复数 a + bi Z 及复数 c + di对应，则 1 ,= (a, b) OZ Z 2 (c , d ) OZ 2 = (c, d ) OZ = OZ1 + OZ 2 Z1 ( a , b ) = ( a , b ) + ( c, d ) O x = ( a + c, b + d )
yZ 1
复数减法的几何意义：
OZ1 - OZ 2 = Z 2 Z1
O
Z2
x
2.复数的乘法：
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
2 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi
2 2
（3） 2i)(3 4i)(2 i) (1
(1 2i )(3 4i )( 2 i ) (11 2i )( 2 i ) 20 15i
(1)计算(a+bi)(a-bi)
解:原式= a 2 (bi )2 = a 2 b 2
一步到位!
注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点.
我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： ab ba ab ba (a b) c a (b c) (ab)c a(bc) a(b c) ab ac 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应 怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
注意到 i 2 1 ，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着， 只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！
∴向量 OZ 就是与复数
(a + c) + (b + d )i
对应的向量.
复数的加法可按照向量的加法来进行，这就 是复数加法的几何意义
类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
设 OZ1 及 OZ 2 分别与复数 a + bi 及复数 c + di对应，则 1 ,= (a, b) OZ OZ 2 = (c, d )
三、课堂练习
4、复平面内关于原点对称的两点对应的复数为Z1， Z2，且满足Z1+i=Z2 －2，求Z1和Z2。
分析：依题意设Z1=x+yi（x，y∈R）则Z2= －x －yi， 由Z1+i=Z2 －2得：x+(y+1)i= －(x －2)+(－y)i，由复数相 等可求得x= －1，y= －1/2
探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过
另外不难证明: z
1
z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
练 习：
已知: 求: z
z1 1 i , z2 2 i
2 4 1
z2 , ( z1 z2 ) , z 1
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?
答案:
当且仅当两个复数都是实数 时,才能比较大小.
虚数不可以比较大小！
问题3.
复数
复数的几何意义是什么？
z = a + bi 与 平面向量 OZ
＝（a,b）
或 点 （a,b）一一对应
问题4:类比实数的运算法则
能否得到复数的运算法则？
二、问题引入：
3. 共轭复数的概念、性质：
(1)定义: 实部相等,虚部互为相反数的两个复数 互为共轭复数.
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z ,
即 z a bi
(2)共轭复数的性质:
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么 z z
?z z ?
z z 2a；z - z 2bi.
mzn=zm+n, z
m)n=zmn, (z

(z1z2)n=z1nz2n.
【探究】 i 的指数变化规律
i i , i 1 , i i , i 1
1 2 3 4
i __ , i 1 , i i , i __ __ __ i 1
5 6 7 8
你能发现规律吗？有怎样的规律？ 4n 1 4n i i , i 1,
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(2)复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法
对加法的分配律. 即对任何z1,z2,z3有：
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
（） 例2：计算 1 (a bi)(a bi)
注意到i??21虚数单位i可以和实数进行运算且运算律仍成立所以复数的加减乘运算我们已经是自然而然地在进行着只要把这些零散的操作整理成法则即可了
复数的四则运算⑴
一、复习回顾： 1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念： 复数的代数形式: z a bi (a R, b R)
复数的实部 a ，虚部 实数： b 0a R ; 虚数： b 0
（i
2005
i
1
2006
i
2007
i
2008
）i
2009
0i i
常用结论：
(1 i) 2i;
2
1 1 i i; i; i 1 i
1 i i. 1 i
1 3 例4.设 i, 2 2
求证：⑴ 1 0;
2
3 1. ⑵
思考：
在复数集C 内，你能将 x
2
y
2
分解因式吗？
(x+yi)(x-yi)
五、课堂小结： 1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对 任何z1,z2,z3∈C,有: z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
b
.
a 0 纯虚数： b 0 a c 复数相等 a bi c di
特别地，a+bi=0
a R;
a=b=0
b d
.
问题1：
a=0是z=a+bi(a、bR)为 纯虚数的
必要不充分
条件
问题2:一般地,两个复数只能说相等或不相 等,而不能比较大小.
分析：依题意设y=ai（a∈R），则原式变为： （2x －1)+i=(a －3)i +ai2=－ a+( a －3)i
3 2
由复数相等得
2x －1= －a
a －3=1
x=－
y=4i
三、课堂练习 3、已知复数Z1= －2+i，Z2=4 －2i，试求Z1+Z2对应 的点关于虚轴对称点的复数。 分析：先求出Z1+Z2=2 －i，所以Z1+Z2在复平面内对应 的点是(2， －1)，其关于虚轴的对称点为( －2， －1)， 故所求复数是－2 －i
a abi abi b i
2
2 2
a b
2
2
复数的乘法与多项 式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用 乘法公式可迅速展开, 运算, 类似地,复数的乘法也可大胆 运用乘法公式来展开运算.
2 2
（2） bi) a 2abi b i (a
2 2
a b 2abi
例３：
设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,y∈R),且z1+z2 = 5 - 6i,
求z1-z2
解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i ∴(3+x)+(2-y)i=5-6i 3+x=5, ∴ 2-y=-6. x=2 ∴ y=8
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
三、课堂练习 －2+2i 1、计算：（1）(－ 3 －4i)+(2+i) －(1 －5i)=___________ （2） ( 3 －2i) －(2+i) －(________)=1+6i －9i 2、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x －1)+i=y －(3 －y)i
3 4i － 则x=_______ y=_______ 2
i
4n
4n 2

1 ,
4n2
i
4n 3
i
i i
4 n 1
i
i
4 n 3
0, (n N )
【例3】求值： i i
2
i i
3
2 3 4
2009
解：原式 i i i i ） （ （i i i i ） ...
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