高中数学 模块综合检测(二)(含解析)新人教A版选修22

模块综合检测(二)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．(辽宁高考)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i
D ．3－2i 解析：选A z ＝5
2－i ＋2i ＝
＋
－
＋
＋2i ＝2＋i ＋2i ＝2＋3i. 2．已知 2＋23
＝223
， 3＋38
＝338
， 4＋415
＝44
15
，…，类比这些等式，若
6＋a b ＝6
a
b
(a ，b 均为正实数)，则a ＋b ＝( ) A ．40 B ．41 C ．43
D ．47 解析：选 B 观察下列等式 2＋23
＝223
， 3＋38
＝338
， 4＋415＝4
4
15
，…，第n 个应该是 n ＋1＋
n ＋1n ＋
2
－1
＝(n ＋1) n ＋1n ＋
2
－1
，则第5个
等式中：a ＝6，b ＝a 2
－1＝35，a ＋b ＝41.
3．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是( )
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．②①
解析：选A 解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题(①所有的中国人都坚强不屈)”，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②雅安人是中国人)”，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论(③雅安人一定坚强不屈)”．故选A.
4．设函数f (x )＝x m
＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则∫2
1f (－x )d x 的值等于( ) A.5
6 B.12 C.23
D.16
解析：选A 由于f (x )＝x m
＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2
＋x ，于是 ∫21f (－x )d x ＝∫21(x 2
－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13
x 3－12x 221＝56.
5．在数列{a n }中，a 1＝1
3，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )
A.1
n －
n ＋ B.12n
n ＋
C.
1
n －n ＋
D.
1
n ＋n ＋
解析：选C 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝1
7×9.
猜想a n ＝
1
2n －
n ＋
.
6．已知函数f (x )＝x 3
＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值是( )
A ．1
B ．2 C. 2
D. 3
解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2
＋b ，∴f ′(1)＝3＋b ＝4， ∴b ＝1.∴g (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤2.
7．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d
n
(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( )
A ．p ≥q
B ．p ≤q
C ．p >q
D ．不确定
解析：选B q ＝ ab ＋mad n ＋nbc
m
＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .
8．在
[
1
2
，2]上，函数f (x )＝x 2
＋px ＋q 与g (x )＝3x 2＋3
2x 在同一点处取得相同的最小
值，那么f (x )在
[12
，2]上的最大值是(
)
A.134
B ．4
C ．8
D.54
解析：选B 因为g (x )＝3x 2＋3
2x
，且x ∈
[
12
，2]，则g (x )≥3，
当且仅当x ＝1时，g (x )min ＝3.又f ′(x )＝2x ＋p ，
∴f ′(1)＝0，即2＋p ＝0，得p ＝－2，∴f (x )＝x 2
－2x ＋q . 又f (x )min ＝g (1)＝3，∴1－2＋q ＝3，∴q ＝4.
∴f (x )＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2
＋3，x ∈12，2.
∴f (x )max ＝f (2)＝4.
9．若函数y ＝x 3
－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(－∞，3)
C ．(0，＋∞)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，32
解析：选D f ′(x )＝3x 2
－2a ， ∵f (x )在(0,1)内有极小值没有极大值，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
f f
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
－2a <0，3－2a >0.
即0<a <3
2
.
10．设f (x )＝kx －k x
－2ln x ，若f (x )在其定义域内为单调增函数，则k 的取值范围是( )
A ．(－∞，1]
B ．[1，＋∞)
C ．(－∞，－1]
D ．[－1，＋∞)
解析：选B 由f ′(x )＝k ＋k x 2－2x ＝kx 2－2x ＋k x
2
，令h (x )＝kx 2
－2x ＋k ，要使f (x )在其定义域(0，＋∞)上单调递增，只需h (x )在(0，＋∞)内满足h (x )≥0恒成立．由h (x )≥0得kx 2
－2x ＋k ≥0，即k ≥
2x x 2
＋1＝2x ＋1x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立，∵x >0，∴x ＋1x ≥2.∴2x ＋
1
x
≤1.∴k ≥1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为____________．
解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2
＝11＋46，b 2
＝11＋47，显然，6<7.∴a <b .
答案：a <b
12．复数z ＝i
1＋i (其中i 为虚数单位)的虚部是________．
解析：化简得z ＝i
1＋i
＝
－＋
－
＝12＋12i ，则虚部为12
.
答案：12
13．若函数f (x )＝x 2＋a
x ＋1
在x ＝1处取极值，则a ＝________.
解析：f ′(x )＝2x 2
＋2x －x 2
－a x ＋2＝x 2
＋2x －a
x ＋2
.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )
＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3.
答案：3
14．已知f (x )＝x
e
x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N.经计算f 1(x )＝
1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－x
e
x ，…，照此规律，则f n (x )＝________. 解析：观察各个式子，发现分母都是e x
，分子依次是－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，(x －4)，…，前边是(－1)n
，括号里是x －n ，
故f n (x )＝－
n x －n
e x
.
答案：
－
n
x －n
e
x
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2
－1)．
证明：(1)当n ＝1时，左边＝12
＝1，右边＝13×1×(4－1)＝1，等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2
－1)．
则当n ＝k ＋1时，
12
＋32
＋52
＋…＋(2k －1)2
＋(2k ＋1)2
＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋4k 2
＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]－13k ·4(2k ＋1)＋4k 2
＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13(12k 2＋12k ＋3－8k 2
－4k ) ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13[4(k ＋1)2
－1] ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2
－1]． 即当n ＝k ＋1时等式也成立．
由(1)，(2)可知，对一切n ∈N *
，等式都成立．
16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a
3x 3＋x 2
－2ax －1，f ′(－1)＝0.
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)如果对于任意的x ∈[－2,0)，都有f (x )≤bx ＋3，求b 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝ax 2
＋2x －2a ，因为f ′(－1)＝0，
所以a ＝－2.所以f ′(x )＝－2x 2
＋2x ＋4＝－2(x 2
－x －2)＝－2(x ＋1)(x －2)． 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2.随着x 的变化，f ′(x )和f (x )的变化情况如下：
(2)因为对于任意的x ∈[－2,0)，都有f (x )≤bx ＋3， 即bx ＋3≥－23x 3＋x 2
＋4x －1，
所以b ≤－23x 2＋x ＋4－4
x .
设h (x )＝－23x 2＋x ＋4－4
x .
则h ′(x )＝－43x ＋1＋4
x
2，
因为x ∈[－2,0)，所以－43x >0，4
x 2>0.
所以h ′(x )>0.
所以h (x )在[－2,0)上单调递增．所以h min (x )＝h (－2)＝43.即b ≤4
3
.故b 的取值范围为
⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，43.
17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m ·⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x ＋2ln x (m ∈R)．
(1)若m ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．
解：(1)当m ＝1时，函数f (x )＝x －1
x
＋2ln x ，函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )
＝x 2＋2x ＋1x 2
，∴f (1)＝0，f ′(1)＝4，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为4x
－y －4＝0.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝mx 2＋2x ＋m
x 2
，
当m ≥0时，f ′(x )>0在x ∈(0，＋∞)时恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当m <0时，
①当m ≤－1时，f ′(x )≤0在x ∈(0，＋∞)时恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ②当－1<m <0时，由f ′(x )＝0得x 1＝－1＋1－m 2
m ，x 2＝－1－1－m 2
m
，且0<x 1<x 2，
f (x )在
上单调递增．
18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 3
－x －x . (1)判断
f x
x
的单调性； (2)求函数y ＝f (x )的零点的个数；
(3)令g (x )＝ax 2＋ax f x ＋x
＋ln x ，若函数y ＝g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内有极值，求实数a 的取值
范围．
解：(1)设φ(x )＝
f x x ＝x 2
－1－1x
(x >0)， φ′(x )＝2x ＋1
2x
3
>0， 所以y ＝φ(x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知φ(1)＝－1，φ(2)＝3－
12
>0且y ＝φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，所以
y ＝φ(x )在(1,2)上有一个零点，又f (x )＝x 3－x －x ＝x φ(x )，显然x ＝0是f (x )＝0的一
个零点，所以y ＝f (x )在[0，＋∞)上有两个零点．
(3)因为g (x )＝ax 2＋ax f x ＋x
＋ln x ＝ax 2＋ax x 3－x ＋ln x ＝a
x －1＋ln x ，
所以g ′(x )＝
－a
x －
2＋1x
＝
x 2
－＋a x ＋1
x －2x
，
设h (x )＝x 2
－(2＋a )x ＋1，则h (x )＝0有两个不同的根x 1，x 2，且一根在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1e 内，
不妨设0<x 1<1
e
，由于x 1·x 2＝1，所以，x 2>e ，
由于h (0)＝1，则只需h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e <0，即1e 2－(2＋a )1e ＋1<0，解得a >e ＋1e －2，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫e ＋1e －2，＋∞.。