2019年高考数学(文)高频考点揭秘与仿真测试专题39--数列 等比数列2(含解析)

专题39 数列 等比数列2
【考点讲解】
一、具本目标：等比数列
（1） 理解等比数列的概念.
（2） 掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.
（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4） 了解等比数列与指数函数的关系. 二、知识概述： 1、等比数列的概念
（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用q 表示 ( 0q ≠)．
（2）等比数列的通项公式为1
1n n a a q -=，通项公式还可以写成1n
n a a q q
=
⋅，它与指数函数x y a =有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．
（3）如果,,a G b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且2
G ab =， 进而可知与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列{}n a 中，
．
（4）等比数列的前n 项和的公式为
或
, 等比数列中没有“0”的项。

用等比数列求和公式解题时，
注意1q ≠与1q =两个不同的条件． 2、等比数列的性质
（1）在等比数列{}n a 中，n k n k a a q -=（*
,n k N ∈）
（2）在等比数列{}n a 中，如果两项的序号和与另两项的序号和相等，那么，它们所对应的积相等，即若
（），则．
（3）在等比数列{}n a 中，依次k 个项之和仍组成一个等比数列，即k S 是前k 项之和，则k S ，2k k S S -，
32k k S S -，…，(1)mk m k S S --，…，也是等比数列．
（4）对于正项等比数列{}n a ，取lg n n b a =，则{}n b 即为等差数列。

所以等比数列的许多性质都可以用等差数列来类比．
（3）下面分三种情况证明.
①
若
D
是
C
的子
集，则
.
②若C 是D 的子集，则
.
③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令
，
则E φ≠，F φ≠，E F φ=I .
于是，
，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥.
设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则.
由（2）知，1E k S a +<，于是，所以1l k -<，
即l k ≤. 又
k l
≠，故
1
l k ≤-，从而
，
故
，所以
，即
.
综合①②③得，.
【模拟考场】
1.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若
，则数列的公比q 的值为 .
【答案】.2
4
3
-
2.在数列{a n }中，a 1＝﹣1，a 2＝2，a 4＝8，S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n +λ}为等比数列，则λ＝ ． 【分析】S 1+λ＝λ﹣1，S 2+λ＝1+λ，S 3+λ＝1+a 3+λ，S 4+λ＝9+a 3+λ，根据{S n +λ}为等比数列，
可得1+a 3+λ＝，9+a 3+λ＝，
联立解得即可得出．
【解析】S 1+λ＝λ﹣1，S 2+λ＝1+λ，S 3+λ＝1+a 3+λ，S 4+λ＝9+a 3+λ， ∵{S n +λ}为等比数列，
∴1+a 3+λ＝
，9+a 3+λ＝，
相减化为：4（λ﹣1）2
＝（λ+1）2
，解得：λ＝或3． 【答案】或3．
3．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且n
n n
a a
b 1
+=，若b 10•b 11＝2，则b 7b 14＝ ，
a 21＝ ．
【分析】根据所给的关系式，依次令n ＝1、2、…、20列出20个式子，再将20个式子相乘化简，根据等比数列的性质和条件求出a 21的值．
【答案】：2，1024．
4．设S n是等比数列{a n}的前n
项的和，若
2
1
3
6
-
=
a
a
，则
3
6
S
S
＝．
【分析】设该等比数列的公比为q，由已知条件得出
2
1
3-
=
q，然后再利用等比数列求和公式可计算出答案．
【解析】设等比数列{a n}的公比为q，则，
所以，
．
【答案】
5．等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，则方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10所表示的图形的面积为．【分析】等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，可得a3＝40，S3＝70．方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10即|x﹣70|+|y+40|＝10，通过分类讨论画出图形即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力
【答案】200
6．设S n
是等比数列{a n
}的前n 项和，若
31105=S S ，则10
205
S S S +＝ ．
【分析】根据等比数列的求和公式，以及
3
1
105=S S ，可得q 5
＝2，再根据求和公式计算即可，本题考查等比数列的求和公式，考查了运算求解能力.
【解析】设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，，
∵
3
1105=S S ，∴，即1+q 5＝3，∴q 5
＝2，
∴
，
【答案】
7．等比数列{a n }前n 项的和为2n
﹣1，则数列
{}2
n
a 前n 项的和为 ．
【分析】先求出等比数列的前2项，从而求得首项和公比，从而得到数列{}2
n
a 的首项和公比，再由等比数
列的前n 项和公式求出结果．
【答案】
8.已知正项数列{a n }满足a 2
n ＋1－6a 2
n ＝a n ＋1a n . 若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________．
【解析】∵a 2
n ＋1－6a 2
n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，S n ＝21－3
n
1－3
＝3n
－1.
【答案】3n
－1
9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋1，其中n ∈N *
，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.
【解析】当n ≥2时，由⎩⎪⎨
⎪⎧
a n ＋1＝S n ＋1，
a n ＝S n －1＋1，
得a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，即a n ＋1＝2a n ，
又因为当n ＝1时，a 2＝1＋1＝2，
所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1
.
【答案】2
n －1
10.已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，
，其中q>0，
*n N ∈ .
（Ⅰ）若
成等差数列，求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线22
21n
y x a -= 的离心率为n e ，且25
3e
= ，证明：
.
【分析】（Ⅰ）已知n S 的递推式
，一般是写出当2n ≥时，
，两式相减，利用
，得出数列{}n a 的递推式，从
而证明{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到n e 的表达式，再由25
3
e =
解出q 的值，要证明2016年高考四川理数不等式，一般想法是求出和，但数列{}n e 的和不可求，因此我们利用放缩法得1
n n e q ->，从而有
，右边的和是等比数列的和，可求，此
和即为要证不等式的右边．
最后利用等比数列的求和公式计算证明.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=. 所以双曲线2
2
21n
y x a -=的离心率
．
由
解得43
q =
. 因为，所以
.
于是，
故.。