2021年湖南省常德市临第三中学高三数学理月考试题含解析

2021年湖南省常德市临第三中学高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设直线与函数的图象分别交于点M、N，则当达到最小时
的值为__________.
A. B. C. 1 D. 2
参考答案：
C
2. 双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为等边三角形OAB的边OA、OB所在直线，直线AB过焦点，且|AB|=2，则双曲线实轴长为（）
A．B．C．D．3
参考答案：
D
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线方程以及渐近线的性质求出a，b关系式，通过|AB|=2，求出c，然后求解a即可得到结果．
【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为等边三角形OAB的边OA、OB所在直线，
可得，直线AB过焦点，且|AB|=2，
可得c=，
则，
解得a=．
则双曲线实轴长为：3．
故选：D．3. 已知x，y满足，则z=2x－y的最大值为
lax-Y}-3,
(A) 2 (B)1 (C) －1 (D) 3
参考答案：
A
4. 已知集合，则等于
A． B． C． D．
参考答案：
D
试题分析：，
故答案为D
考点：集合的交集
5. 已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）
A．B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，求出可求双曲线的离心率．
【解答】解：E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，
F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，
∴，
∴e==2，
故选B．
【点评】本题考查双曲线的离心率，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．
6. 设全集, ，，则
A． B． C．
D．
参考答案：
【知识点】集合及其运算A1
【答案解析】B 由则，，所以故选B。

【思路点拨】先求出A的补集，再求结果。

7. 若函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的最小正周期为2π
B. 对任意的，都有
C. 函数在上是减函数
D. 函数的图象关于直线对称
参考答案：
B
【分析】
首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
【详解】函数f（x）＝sin2x+cos2x，
，
则：①函数的最小正周期为．
故选项A错误．
②令：（k∈Z），
解得：，（k∈Z），
当k＝0时，函数的单调递减区间为：[]，
故：选项C错误．
③当x时，
f（）＝0，
故选项D错误，
故选：B．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．函数（A>0,ω>0）的性质：（1）周期性：存在周期性，其最小正周期为T=;（2）单调性：根据y=sin t和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由
得单调减区间。

8. 复数+i的共轭复数的虚部是（）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
参考答案：
B
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数+i得答案．
【解答】解： +i=，
则复数+i的共轭复数的虚部是：﹣1．
故选：B．
9. 函数的定义域是（）．
A． B． C． D．
参考答案：
B
10. （5分）（2010?茂名二模）如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=30°，AD是边BC′上的高，则
?的值等于（）
B
因为AB=BC=4，∠ABC=30°，AD是边BC上的高，
所以AD=4sin30°=2．
所以?=?（+）=?+?==2×4×=4，
故选B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 袋中有3个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字，随机摸出一个将其上的数字记为，然后放回袋中，再次随机摸出一个，将其上的数字记为，依次下去，第n次随机摸出一个，将其上的数字记为记，则（1）随机变量的期望是_______；（2）当
时的概率是_______。

参考答案：
、
解：，。

可以求得随机变量的分布列如表所示，期望为。

当时的概率是
0 1 2
4
12. 若曲线的极坐标方程为极轴为轴正半轴
建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为．
参考答案：
13. 函数的图象如图所示，则
．
参考答案：
14. 已知=(x,2),=(2,)，若(－)⊥，则|+2|=___________.
参考答案：
由得，由=（5,5）得.
15. 过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为__________
参考答案：
16. 某市为了增强市民的消防意识，面向社会招募社区宣传志愿者．现从20岁至45岁的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．若用分层抽样的方法从这100名志愿者中抽取20名参加消防演习活动，则从第4组中抽取的人数为 ．
参考答案：
4
【考点】频率分布直方图．
【分析】由频率分布直方图求出第4组的频率，再用分层抽样原理求出抽取20名时在第4组中抽取的人数．
【解答】解：由题意可知第4组的频率为0.04×5=0.2， 利用分层抽样的方法在100名志愿者中抽取20名， 第4组中抽取的人数为20×0.2=4． 故答案为：4．
17. 已知O 是外心，若，则
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=2sinθ．
（I ）求出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （II ）设直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|AB|的值．
参考答案：
【分析】（1）使用加减消元法消去参数t 即得直线l 的普通方程，将极坐标方程两边同乘ρ即可得到曲线C 的直角坐标方程；
（2）求出曲线C 的圆心到直线l 的距离，利用垂径定理求出|AB|．
【解答】解：（I ）∵
（t 为参数），∴
x ﹣y=
，
即直线l 的普通方程为﹣y+2﹣
=0．
由ρ=2
sinθ得ρ2=2
ρsinθ，即x 2+y 2=2
y ．
∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2
y ．即x 2+（y ﹣
）2=3．
（II ）由（1）知曲线C 的圆心为（0，
），半径r=
．
∴曲线C 的圆心到直线l 的距离d==．
∴|AB|=2
=2
=2
．
【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题． 19. 设函数f （x ）=sin 2ωx﹣cos 2ωx+2sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ
为常数，且ω∈（，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若y=f（x）的图象经过点（，0），求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
参考答案：
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；（Ⅱ）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+2sinωx?cosωx﹣cos2ωx+λ
=sin2ωx﹣cos2ωx+λ
=2sin（2ωx﹣）+λ，
∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z．
∴ω=+，又ω∈（，1），
令k=1时，ω=符合要求，
∴函数f（x）的最小正周期为=；
（Ⅱ）∵f（）=0，
∴2sin（2××﹣）+λ=0，
∴λ=﹣，
∴f（x）=2sin（x﹣）﹣，
∴f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]．
20. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的离心率为，焦距为2.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）如图，动直线l：交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为
k2，且，M是线段OC延长线上一点，且，⊙M的半径为，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.
参考答案：
解：（I）由题意知，，
所以，
因此椭圆的方程为.
（Ⅱ）设，
联立方程
得，
由题意知，
且，
所以.
由题意可知圆的半径为
由题设知，
所以
由此直线的方程为.
联立方程
得，
因此.
由题意可知，
而
，
令，
则，
因此，当且仅当，即时等号成立，此时，
所以，因此，
所以最大值为.
综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
21. 已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值﹣2
（I）求函数f（x）的解析式并讨论单调性
（II）证明对任意x1，x2∈（﹣1，1），不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜4恒成立．
参考答案：
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（I）由奇函数的定义利用待定系数法求得d，再由x=1时f（x）取得极值﹣2．解得a，c 从而确定函数，再利用导数求单调区间和极大值．
（II）由（I）知，f（x）=x3﹣3x（x∈[﹣1，1]）是减函数，从而确定|f（x1）﹣f（x2）|最小值，证明即可．
【解答】解：（I）∵f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）可得d=0，
∴f（x）=ax3+cx…
f'（x）=3ax2+c，
当x=1时f（x）取得极值﹣2，
则，解得，
故所求解析式为f（x）=x3﹣3x．
因此，f（x）=x3﹣3x，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）f'（﹣1）=f'（1）=0
当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（﹣∞，﹣1）上是增函数，
当x∈（﹣1，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在单调区间（﹣1，1）上是减函数，
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，+∞）上是增函数，
∴f（x）单调递增区间（﹣∞，﹣1），（1，+∞）单调递减区间（﹣1，1）；
（II）证明：由（1）知，f（x）=x3﹣3x（x∈[﹣1，1]）是减函数，
且f（x）在[﹣1，1]上的最大值M=f（﹣1）=2，f（x）在[﹣1，1]上的最小值m=f（1）=﹣2
所以，对任意的x1，x2∈（﹣1，1），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜M﹣m=2﹣（﹣2）=4，
∴不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜4恒成立．
22. 已知椭圆C； +=1（a＞b＞c）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），过原点O
的直线（与x轴不重合）与椭圆C相交于D、Q两点，且|DF1|+|QF1|=4，P为椭圆C上的动点，△PF1F2
的面积的最大值为．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过左焦点F1的任意直线与椭圆C相交于S、T两点，求的取值范围．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可得a，再由，△PF1F2的面积的最大值为得到bc=，结合隐含条件求得b，c的值，则椭圆离心率可求；
（2）由（1）求出椭圆方程，当直线ST的斜率不存在时，求出S，T的坐标，可得的值；当直线ST的斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），将直线ST的方程y=m（x+1）代入椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量数量积的坐标运算求得的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知，2a=4，a=2．
又bc=，且b2+c2=4，解得b=，c=1．
∴椭圆的离心率e=；
（2）由（1）得椭圆C的方程为．
当直线ST的斜率不存在时，有S（﹣1，）、T（﹣1，），
此时．
当直线ST的斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），
再设点S（x1，y1），T（x2，y2），
将直线ST的方程y=m（x+1）代入椭圆方程消去y并整理得：
（4m2+3）x2+8m2x+4m2﹣12=0．得，．
从而
==
==∈[﹣4，﹣）．综上所述，的取值范围为[﹣4，﹣]．。