中职数学《指数函数及其性质》课件PPT
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指数函数及其性质(公开课)1精品PPT课件
引例《2 庄子·逍遥游》记载：一尺之椎，日取其 半，万世不竭.意思是一尺长的木棒，一天截取一 半，很长时间也截取不完.这样的一个木棒截取x 次，剩余长度y与x的关系是 y （ 1 ）x .
2
y 2x
y （ 1 ）x 2
思考:这两个例子的式子有什么共同特征?
底数是常数,指数是变量
1. 指数函数的定义
y 2x
2.如何来研究指数函数的性质呢？
用描点法作出下列两组函数的图象，
然后写出其一些性质： (1)y 2 x
y
y 2x
1
0
1
x
y （ 1 ）x 2
y
y
1 2
x
1
0
1
x
(2)y 3 x
列表：
与 y ( 1 ) x 的图象.
3
x … -3
-2
-1
0
1
2
3…
y=3x … 0.03 0.11
(1)y 4x;
(2)y x4;
(3)y4x;
(4)y(4)x; (7)y xx;
(5)yx;
(6) y
1
x
(8)y(2a1)x(a1,a1) 2
答案：（1）（5）（6）（8）是指数函数
2：函 y(数 a23a3)ax是指数函 a2数
3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数
y=f(x)的解析式。
系数为1
y＝1 ·ax
自变量
常数
定义：一般地,函数 yax(a0,a1 ,x R )叫做指数函数
注意:
(1) 规定a0,a1
x 0 a x恒等于零
a 0x 0 无意义
a0 无意义
指数函数的图象及性质 完整课件PPT
(2)若0<a<1，则函数y=ax在区间［-1，2］上是递减的，
当x=-1时，f(x)取得最大值f(-1)=2a-1-4=10,∴a=1 .
7
综上所述，a的值为
7或
1 7
.
答案：
7或
1 7
【误区警示】
【防范措施】 1.加强分类讨论的意识 在解含字母的指数函数的有关问题时，(x)=ax在a＞1和0＜a ＜1两种情况下，最大值和最小值的取值情况是不同的. 2.重视指数函数单调性的应用 对一些常用的指数函数的性质要记准、记牢，的大小，确定 指数函数的单调性，就可以得到最大值、最小值，进而列方 程求解.
10 5 3 4 , 3, 1 , 3. 3 10 5
＞0且a≠1时，总有 f(2)=a2－2－3=a0－3=1－3=－2， 所以函数f(x)=ax－2－3必过定点(2，-2). 答案：(2，-2)
【互动探究】若题1中的“a＞1”改为“a＞0,且a≠1”， “y=(a－1)x2”改为“ y=x+a”，则图象可能是( )
22
2
【易错误区】指数函数中忽视分类讨论致误 【典例】(2013·淮安高一检测)函数f(x)=ax(a＞0,且a≠1)在 ［0,1］上的最大值与最小值的差为 1，则a=______.
2
【解析】(1)当a＞1时，函数f(x)=ax在［0,1］上是增函数.所以
当x=1时，函数f(x)取最大值；当x=0时，函数f(x)取最小值.
【解析】＞1时，函数y=ax的图象过点(0,1)，分布在第一、 二象限，且从左到右是上升的. 直线y=x+a过第一、二、三象 限，与y轴的交点为(0,a),在点(0,1)的上方. A，B，C，D四 项均不符合此要求.当0＜a＜1时，函数y=ax的图象过点 (0,1)，分布在第一、二象限，且从左到右是下降的. 直线 y=x+a过第一、二、三象限, 与y轴的交点为(0,a)，在点(0,1) 和点(0,0)项符合此要求.
指数函数及其性质课件
指数函数及其性 质ppt课件
目录
• 指数函数简介 • 指数函数性质 • 指数函数与其他数学知识的结合 • 指数函数在实际问题中的应用 • 指数函数的扩展与深化理解
01
指数函数简介
定义与特性
定义
指数函数是一种数学函数，其形 式为 y = a^x，其中 a > 0 且 a ≠ 1，x 是自变量，y 是因变量。
3
应用
复合指数函数在数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如计算复利、解决物理问题等。
自然指数函数与欧拉数
定义
自然指数函数是指数函数 (e^x) 的反函数，也称 为欧拉数。
性质
自然指数函数具有连续、可导、可微等性质，且 (e^x) 的导数等于自然指数函数。
应用
自然指数函数在数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如计算复利、解决物理问题等。
指数函数的周期性
根据周期函数的定义，判断指数函 数的周期性，并举例说明。
周期性的应用
介绍周期性在数学、物理等领域的 应用，如三角函数的周期性等。
有界性
有界函数的定义
如果存在两个常数M和m，使得对于定义域内的每一个x，都有m≤f(x)≤M，则称 f(x)为有界函数。
指数函数的有界性
根据有界函数的定义，判断指数函数的有界性，并举例说明。
特性
指数函数具有非线性特性，随着 x 的增大或减小，y 的值会以指数 速度增长或减小。
历史背景与发展
历史背景
指数函数的概念可以追溯到古代数学 ，但直到17世纪科学革命时期，数 学家们才开始深入研究指数的性质和 应用。
发展
随着微积分和复数理论的发展，指数 函数的理论基础不断完善，应用领域 也得到了极大的拓展。
04
目录
• 指数函数简介 • 指数函数性质 • 指数函数与其他数学知识的结合 • 指数函数在实际问题中的应用 • 指数函数的扩展与深化理解
01
指数函数简介
定义与特性
定义
指数函数是一种数学函数，其形 式为 y = a^x，其中 a > 0 且 a ≠ 1，x 是自变量，y 是因变量。
3
应用
复合指数函数在数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如计算复利、解决物理问题等。
自然指数函数与欧拉数
定义
自然指数函数是指数函数 (e^x) 的反函数，也称 为欧拉数。
性质
自然指数函数具有连续、可导、可微等性质，且 (e^x) 的导数等于自然指数函数。
应用
自然指数函数在数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如计算复利、解决物理问题等。
指数函数的周期性
根据周期函数的定义，判断指数函 数的周期性，并举例说明。
周期性的应用
介绍周期性在数学、物理等领域的 应用，如三角函数的周期性等。
有界性
有界函数的定义
如果存在两个常数M和m，使得对于定义域内的每一个x，都有m≤f(x)≤M，则称 f(x)为有界函数。
指数函数的有界性
根据有界函数的定义，判断指数函数的有界性，并举例说明。
特性
指数函数具有非线性特性，随着 x 的增大或减小，y 的值会以指数 速度增长或减小。
历史背景与发展
历史背景
指数函数的概念可以追溯到古代数学 ，但直到17世纪科学革命时期，数 学家们才开始深入研究指数的性质和 应用。
发展
随着微积分和复数理论的发展，指数 函数的理论基础不断完善，应用领域 也得到了极大的拓展。
04
中职数学基础模块上册《指数函数的图像与性质》课件
渐近线
当x趋于无穷大或无穷小时 ，y值会趋于一个常数，这 个常数就是指数函数的渐 近线。
04
指数函数的性质
指数函数的单调性
指数函数在其定义域内是单调的 ，单调性取决于底数a的取值范
围。
当a>1时，函数在定义域内是增 函数；当0<a<1时导数 来判断，导数大于0时，函数单 调递增；导数小于0时，函数单
指数函数具有连续性、可导性、可积性等性质， 这些性质在数学分析和实际应用中都有重要的意 义。
练习题与答案解析
• 练习题一：判断下列哪些是指数函数，哪些不是，并说明 理由。
练习题与答案解析
y = 2^x y = x^2
y = (1/2)^x
练习题与答案解析
• y = log_2(x)
练习题与答案解析
1 2 3
指数函数的概念
指数函数是函数的一种形式，其一般形式为 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)，其中 x 是自变量，y 是因变 量。
指数函数的图像
指数函数的图像是单调的，当 a > 1 时，函数在 x > 0 时单调递增，当 0 < a < 1 时，函数在 x > 0 时单调递减。
指数函数的性质
中职数学基础模块上 册《指数函数的图像 与性质》ppt课件
目 录
• 引言 • 指数函数的概念与定义 • 指数函数的图像 • 指数函数的性质 • 指数函数的应用 • 总结与回顾
01
引言
课程背景
知识背景
介绍指数函数的概念、定义和基 础知识，为学习指数函数的图像 与性质提供必要的前提。
应用背景
阐述指数函数在实际生活和科学 领域中的应用，如增长率、复利 计算等，强调学习指数函数的重 要性。
指数函数及其性质PPT课件
05 指数函数与其他函数的比 较
与线性函数的比较
线性函数
y=kx+b，表示的是一种 匀速变化，增加或减少的 趋势。
指数函数
y=a^x，表示的是一种爆 炸式增长或衰减的趋势。
比较
线性函数的变化速率是恒 定的，而指数函数的变化 速率会随着x的增大或减小 而快速增大或减小。
与幂函数的比较
01
幂函数
y=x^n，当n>0时，表示的是一种增长趋势；当n<0时，表示的是一种
包括单调性、奇偶性、周期性等。
指数函数的应用
在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
练习与思考
练习题
根据指数函数的性质，判断下列哪些是指数函数，哪些不是，并说明理由。
思考题
指数函数在生活和生产中有哪些应用？请举例说明。
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指数函数的运算性质
01
基本运算性质
02
$a^m times a^n = a^{m+n}$
03
$(a^m)^n = a^{mn}$
04
$frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
05
复合运算性质：如果 $u(x) = b^x$ 且 $b > 0$ 且 $b neq 1$，则 $y = a^{u(x)}$ 也是指数函数。
04
05
指数函数的值域为 $(0, +infty)$。
指数函数的图像
当 $a > 1$ 时，图像位于第一象限和第四象限 ；
绘制方法：选择一个 $a$ 值，例如 $y = 2^x$ 或 $y = frac{1}{2}^x$，然后使用计算器或数学软件绘制图
指数函数及其性质ppt
指数函数的定义域和值域
定义域为实数集，值域为(0, +∞)。
指数函数的单调性
当a>1时，函数在定义域上单调递增；当0<a<1时，函数在定义域上单调递减。
应用案例展示
人口增长
人口增长可以用指数函数来描述，例如人口数量随时间的变 化。
复利计算
复利计算也可以用指数函数来表示，例如银行利息、投资回 报等。
学习目标
理解指数函数的定义和概念。 能够应用指数函数的性质解决实际问题。
熟悉指数函数的图像和性质。 了解指数函数与其他数学知识的联系。
02
指数函数的定义与性质
定义
01
02
03
定义
一般地，形如y=ax(a>0 且a≠1)的函数叫做指数 函数。
解释
指数函数以x的n次幂作为 被解释变量，系数a(a>0 且a≠1)为常数。
物理学
02
在物理学中，积分的应用可以解决各种问题，例如计算物体的
质量、能量、动量等。
工程学
03
在工程学中，积分的应用可以帮助我们解决各种实际问题，例
如计算电路中的电流、电压等。
05
指数函数的实际应用
经济领域中的应用
投资回报
指数函数常用于描述投资回报，如股票、债券等 金融产品的价格变化。
经济增长
在经济学中，指数函数也被用于描述经济增长， 如国内生产总值(GDP)的变化。
供需关系
在商品市场中，价格与需求量之间的关系往往可 以用指数函数来描述。
物理领域中的应用
放射性衰变
放射性衰变是一个典型的 指数函数过程，放射性物 质的数量随时间而减少。
电路中的电阻
在电路中，电流与电阻之 间的关系可以用指数函数 描述。
定义域为实数集，值域为(0, +∞)。
指数函数的单调性
当a>1时，函数在定义域上单调递增；当0<a<1时，函数在定义域上单调递减。
应用案例展示
人口增长
人口增长可以用指数函数来描述，例如人口数量随时间的变 化。
复利计算
复利计算也可以用指数函数来表示，例如银行利息、投资回 报等。
学习目标
理解指数函数的定义和概念。 能够应用指数函数的性质解决实际问题。
熟悉指数函数的图像和性质。 了解指数函数与其他数学知识的联系。
02
指数函数的定义与性质
定义
01
02
03
定义
一般地，形如y=ax(a>0 且a≠1)的函数叫做指数 函数。
解释
指数函数以x的n次幂作为 被解释变量，系数a(a>0 且a≠1)为常数。
物理学
02
在物理学中，积分的应用可以解决各种问题，例如计算物体的
质量、能量、动量等。
工程学
03
在工程学中，积分的应用可以帮助我们解决各种实际问题，例
如计算电路中的电流、电压等。
05
指数函数的实际应用
经济领域中的应用
投资回报
指数函数常用于描述投资回报，如股票、债券等 金融产品的价格变化。
经济增长
在经济学中，指数函数也被用于描述经济增长， 如国内生产总值(GDP)的变化。
供需关系
在商品市场中，价格与需求量之间的关系往往可 以用指数函数来描述。
物理领域中的应用
放射性衰变
放射性衰变是一个典型的 指数函数过程，放射性物 质的数量随时间而减少。
电路中的电阻
在电路中，电流与电阻之 间的关系可以用指数函数 描述。
《指数函数及其性质》课件
指数函数中的底数 a 必须为正 实数且 a ≠ 1，自变量 x 可以 是实数或复数。
当 a > 1 时，函数是增函数； 当 0 < a < 1 时，函数是减函 数。
指数函数的基本形式
指数函数的基本形式为 y = a^x，其 中 a 为底数，x 为自变量。
指数函数的定义域和值域分别为全体 实数和正实数集。
CATALOGUE
指数函数与其他函数的比较
与线性函数的比较
线性函数
y=kx+b，其图像为直线 。指数函数与线性函数在 某些特性上存在显著差异 ，例如增长速度和斜率。
增长速度
线性函数在x增大时，y以 固定斜率增长；而指数函 数在x增大时，y的增长速 度会越来越快。
斜率
线性函数的斜率是固定的 ，而指数函数的斜率（即 函数的导数）会随着x的增 大而减小。
和第三象限。
指数函数的图像是连续的，但在 x = 0 处存在垂直渐近线。
02
CATALOGUE
指数函数的性质
增减性
总结词
指数函数的增减性取决于底数a的取 值范围。
详细描述
当a>1时，指数函数是增函数，即随 着x的增大，y的值也增大；当0<a<1 时，指数函数是减函数，即随着x的增 大，y的值减小。
奇偶性
总结词
奇函数和偶函数的性质可以通过指数函数的定义来判断。
详细描述
如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，则它是奇函数；如果满足f(-x)=f(x)，则它是偶 函数。对于形如f(x)=a^x的指数函数，当a>0且a≠1时，它是非奇非偶函数； 当a=1时，它是偶函数；当a=-1时，它是奇函数。
值域和定义域
与幂函数的比较
《指数函数及性质》课件
分数指数函数
定义：指数为分数 的函数，如 y=x^(1/2)
性质：具有单调性、 连续性、可导性等 性质
应用：在物理、化 学、工程等领域有 广泛应用
特殊值：当指数为 1/2时，函数为平方 根函数；当指数为1/2时，函数为平方 根倒数函数。
无理指数函数
定义：指数函数中，底数e为无理数
性质：无理指数函数具有连续性、可导性、可积性等性质
指数函数的奇偶性
指数函数f(x)=a^x， 其中a>0且a≠1
奇偶性：当a>1时， 指数函数为增函数， 当0<a<1时，指数 函数为减函数
奇偶性：当a>1时， 指数函数为偶函数， 当0<a<1时，指数 函数为奇函数
奇偶性：当a>1时，指 数函数在x=0处有定义， 当0<a<1时，指数函 数在x=0处无定义
指数函数：y=a^x，其中a为底数， x为指数
指数函数的形式
指数函数的图像：一条直线，斜率 为a
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
指数函数的性质：单调性、奇偶性、 周期性等
指数函数的应用：在物理、化学、 生物等领域有广泛应用
指数函数的图象
指数函数的图象是一条向右上方倾斜的直线 指数函数的图象在x轴上方，y轴右侧 指数函数的图象在x轴上无限接近于0，在y轴上无限接近于正无穷大
指数函数在其他领域的应用
生物学：用于描 述种群数量变化
经济学：用于描 述经济增长和通 货膨胀
物理学：用于描 述放射性衰变和 热力学过程
工程学：用于描 述信号处理和系 统分析
复合指数函数
定义：指数函数与指数函数的 复合
形式：a^b^c=a^(bc)
指数函数及其性质_优秀课件
因此简称为同大异小”．
解：(1)定义域为[2，＋∞)，∵ x－2≥0，
∴y＝
≥1，
∴值域为[1，＋∞)．
(2)∵1－12x≥0，∴12x≤1，即 x≥0， ∴函数 y＝ 1－12x的定义域为[0，＋∞)． 令 t＝12x，∴0<t≤1，∴0≤1－t<1， ∴0≤ 1－t<1， ∴y＝ 1－12x的值域为[0,1)．
误区解密 因忽略指数函数的值域而出错
正解：要使函数有意义，则 x－1≠0，即 x≠1.
所以函数 y＝ 的定义域为{x|x≠1}．
因为 x≠1，即x－1 1≠0，所以
≠1.又
>0，
所以函数 y＝ 的值域为{y|y>0 且 y≠1}．
纠错心得：指数函数y＝af(x)(a>0且a≠1)的值域只能是(0， ＋∞)的子集，解题时一定要结合具体情况加以分析讨
(3)指数函数解析式的特征：ax 的系数是 1，a 为常量，x 为自变量，有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如 y ＝ax＋1(a>0，a≠1)；有些函数看起来不像指数函数，实际上 却是，例如 y＝a－x(a>0，a≠1)，因为这可等价化归为 y＝1a x其中1a>0且1a≠1.
2．指数函数图象及性质
方法点评：(1)由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域是 R，所以函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同；
(2)求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考 虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单 调性．
3．求下列函数的定义域和值域：
(1)
； (2)y＝ 1－12x.
【例 4】 求函数 y＝ 错解：要使函数 y＝
解：(1)定义域为[2，＋∞)，∵ x－2≥0，
∴y＝
≥1，
∴值域为[1，＋∞)．
(2)∵1－12x≥0，∴12x≤1，即 x≥0， ∴函数 y＝ 1－12x的定义域为[0，＋∞)． 令 t＝12x，∴0<t≤1，∴0≤1－t<1， ∴0≤ 1－t<1， ∴y＝ 1－12x的值域为[0,1)．
误区解密 因忽略指数函数的值域而出错
正解：要使函数有意义，则 x－1≠0，即 x≠1.
所以函数 y＝ 的定义域为{x|x≠1}．
因为 x≠1，即x－1 1≠0，所以
≠1.又
>0，
所以函数 y＝ 的值域为{y|y>0 且 y≠1}．
纠错心得：指数函数y＝af(x)(a>0且a≠1)的值域只能是(0， ＋∞)的子集，解题时一定要结合具体情况加以分析讨
(3)指数函数解析式的特征：ax 的系数是 1，a 为常量，x 为自变量，有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如 y ＝ax＋1(a>0，a≠1)；有些函数看起来不像指数函数，实际上 却是，例如 y＝a－x(a>0，a≠1)，因为这可等价化归为 y＝1a x其中1a>0且1a≠1.
2．指数函数图象及性质
方法点评：(1)由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域是 R，所以函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同；
(2)求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考 虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单 调性．
3．求下列函数的定义域和值域：
(1)
； (2)y＝ 1－12x.
【例 4】 求函数 y＝ 错解：要使函数 y＝
指数函数及其性质ppt课件
[题后感悟] 如何求形如y＝b(ax)2＋c·ax＋d的 值域？ ①换元，令t＝ax； ②求t的范围，t∈D； ③求二次函数y＝bt＋ct＋d，t∈D的值域．
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
1．函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是( )
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
与指数函数有关的定义域、值域问题 求下列函数的定义域与值域： (1)y＝3x－1 1；(2)y＝12x2－4x.
[解题过程] 作出 f(x)＝12x 的图象，
必修1 第二章 基本初等函数（I）
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
1．函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是( )
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
与指数函数有关的定义域、值域问题 求下列函数的定义域与值域： (1)y＝3x－1 1；(2)y＝12x2－4x.
[解题过程] 作出 f(x)＝12x 的图象，
必修1 第二章 基本初等函数（I）
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
指数函数及其性质ppt课件
称，故选A.
答案： A
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
栏目导
指数函数在底数0 a 1及 a 1这两种情况下的
图象和性质：
0 a 1
a 1
y=ax
y
y
y=ax
(0<a<1)
(a>1)
图 象
(0,1)
y=1 y=1
(0,1)
0
x
0
x
定义域：
R
性 值域：
（0，+∞）
质 （1）过定点（0，1），即x=0时,y=1
故函数的值域为{y|y>0，且 y≠1}.
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
栏目导
(2)定义域为 R.
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
∴122x－x2≥121＝12.
故函数 y＝122x－x2的值域为yy≥12.
2 (3)要使函数有意义，必须且只需 3x－2≥0，即 x≥3，
2
∴函数的定义域为3，＋∞.
3.记住两个基本图形 y (1)x
2
y
y 2x
2
1
-2 -1
o 12
y=1
x
数，其中x是自变量，定义域为R.
新课探究
1.y=ax中a的范围为什么要规定a>0 且a≠1?
当a>0时,ax有意义；
当a=1时,y=1x=1,是常数，无研究价值；
当a=0时,若x>0，则ax=0x=0,无研究价值；
若x≤0，则ax=0x无意义；
1
当a<0时，ax不一定有意义，如
-2
2
为了便于研究，规定：a>0 且a≠1
(2)若 a>1，－1<b<0，则函数 y＝ax＋b 的图象一定在( )
指数函数及其性质_PPT
的图象．
(1)f(x－1)；(2)f(|x|)；(3)f(x)－1；
(4)－f(x)；(5)|f(x)－1|；(6)f(－x)；
[解析] (1)将y＝2－x的图象右移一个单位． (2)将函数y＝2－x的图象在y轴左侧部分去掉，然后将右
侧部分作关于y轴对称的图形即得． (3)将y＝2－x的图象下移一个单位． (4)作y＝2－x的图象关于x轴对称图形．
3 求函数 f(x)＝(12)x2－6x＋17 的定义域、值域、单调区间． [解析] 函数 f(x)的定义域为 R.令 t＝x2－6x＋17，则 f(t)＝ (12)t.∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8 在(－∞，3)上是减函数，而 f(t) ＝(12)t 在其定义域内是减函数，∴函数 f(x)在(－∞，3)上为增函 数．
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以 利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以 利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先 化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
2．有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域
[正解] 令 t＝(12)x，则 t＞0， y＝f(t)＝t2＋t＋1＝(t＋12)2＋34， 因为函数 f(t)＝(t＋12)2＋34在(0，＋∞)上为增函数， 所以 y∈(1，＋∞)，即函数的值域为(1，＋∞)．
1
求函数y＝9x＋2·3x－2的值域． [解析] 设3x＝t，则y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3. ∵上式中当t＝0时y＝－2， 又∵t＝3x＞0， ∴y＝9x＋2·3x－2的值域为(－2，＋∞)．
指数函数及其性质
指数函数性质的应用
中职教育数学《指数函数及其图象、性质》课件
(25
)
(0.14
2
5
1
)4
22
1 22
0.11
1 14
10
0.1
3
3
(2)42 (22 )2 23 8
3
3
(4)164 (24 )4 23 8
主要错误：
(
3)0.0001
1 4
( 1 )4 10000 0.1
2
3. (1)a 9 9 a2
5
(2)a 3
1
3 a5
3
(3)a 2 a3
(4)
( 1 )3 4
<
( 1 )4 4
y ( 1 )x 在R上是减函数 3 4 4
2. 求函数 y ( 1 ) x 1 的定义域
2
解： 为使函数有意义，必须 (1)x 1 0 (1)x 1 (1)x (1)0
2
2
22
f ( x) ( 1 )x 在R上是减函数 x 0 ∴函数的定义域是(,0]
1 3
1
1
(2) 0.3 2 与0.3 3
解：y
0.3 x
在R上是减函数
1 2
1 3
1
1
32 33
1
1
0.32 0.33
例3.（补例）解不等式：
(1) 2 x 4 x1 解： 原不等式化为 2 x 22( x1)
y 2x 在R上是增函数 由2x 22( x1) x 2( x 1)
四、作业
1、教材 P 45习题4.2第1、2、3题 2、练习册P26～27 4.2全部
(3) 0 0.01 1 y (0.01)x 在R上是减函数
(4) 20 1 y 20x 在R上是增函数
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6 5 4 3 2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
定义域
R
0,
值域 性 质
（1）过定点 0,1 ，即x 0时, y 1
（2）在 R 上是减函数
（2）在 R 上是增函数
例题精讲：
例1、已知指数函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图像 经过点(3,π)，求f(0)，f(1)，f(-3)的值。
一、指数函数
定义：形如y=ax（a>0,且a≠1）的函数称 为指数函数，其中常数a称为底数，x是 自变量，x∈R。
思考1：指数函数的定义域是什么？ 思考2：这里的a为什么要规定a>0,且a≠1？
探究１：为什么要规定 a 0且a 0
分析：要求f (0), f (1), f (3)的值，需要我们先求
出指数函数的解析式。根据函数图像经过（3，）
这一条件，可以求得底数a的值。
解：因为指数函数 y=ax 的图像经过点（3，），所以 f (3) .
所以，f
(0)
0
1，f
(1)
1 3
3
，f
(3)
1
1
.
练习：根据定义，判断下列函数是否是指数函数：
1 y x0.5,2 y xx 3 y 6x 1,4 y 2x 5 y 2 4x ,6 y 10x
函数是指数函数的标准：
1.函数是指数幂的形式，自变量x在指数的 位置； 2.底数是大于0且不为1的常数； 3.指数幂的形式前系数为1
则y与x 的对应关系是：
y 2x
对折次数 1 2 3
…… x
层数 y
2
22
23
……
2x
1
(次W2W)剩W.一.N下OR根D1RI1D米E米SIG，长N.CO若的M 这绳条子绳从子中剪间x剪次一剩次下剩y米下，2
米，再从中 间剪一 则y与x的对应关系
是： 4
剪次数 1 2 3
剩余 y 1
2
1
2
2
y (1)x 2
y (1)x 3
y=3X
Y
y = 2x
Y=1
问题：
X O
观察四个图象，它的单调性与底数a有
联系吗？
答：当底数＿a ＿1 时函数单调增；
当底数＿0＿＿a ＿1 时函数单调减．
y=ax(0<a<1)
6
5
4
图像
3
2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
y=ax(a>1)
y
y=2x
y=1 (0,1)
0
x
y
1 2
x
y
(0,1)
y=1
0
x
问题四： 函数的奇偶性？
答：指数函数既非奇函数又非偶函数
在指数函数
y
2x
,
y
1 2
x
等图像的基础
上，作出函数的
y
3x
,
y
1 3
x
图像
二、指数函数的图像
任务：画出指数函数y
2x
和y
1
x
的图象。
2
1.列表 2.描点、连线 3.下结论
X … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y 2x
y
(1)x 2
…
11 1 84 21
8421
2
4
8…
1 11 2 48
观察图象，回答下列问题：
通过本节课的学习，你有什么收获？
问题1：认真观察并回答下列问题：
(1).一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层 ，对折3次得8层，问若对折 x 次所得层数为y， 则y与x 的对应关系是：
(1).一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层
，对折3次得8层，问若对折 x 次所得层数为y，
间剪一次剩下 1 米，若这条绳子剪x次剩下y米，
4
则y与x的对应关系是：
y (1)x
2
这这两两种个对函应数关有系什能么否样构的成共函同数特关征系？？
y 2x
y
1 2
x
在函数中指数x是自变量，
底数是一个常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一 个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
答：当底数＿a ＿=2时图象上升； 当底数＿a＿＿1 ＿时图象下降． 2
观察图象，回答下列问题：
y
y=2x
y=1 (0,1)
0
x
y
1 2
x
y
(0,1)
y=1
0
x
问题三： 图象中有哪些特殊的点？
答：两个图象都经过点＿(＿0,＿1)＿．
观察图象，回答下列问题：
探讨:若不满足上述条件 y a x会怎么样?
当 a 0 时， ax 有些a会x没有0意义，
1
2 2
,
0
1 2
当a 1时，函数值y恒等于1，没有研究的必要.
定义：形如y=ax（a>0,且a≠1）的函数称为指数函 数，其中常数a称为底数，x是自变量， x∈R。
y
y=2x
y=1 (0,1)
0
x
y
1 2
x
y
(0,1)
y=1
0
x
问题一： 图象分别在哪几个象限？
答：两个图象都在第＿Ⅰ＿、＿Ⅱ＿象限
观察图象，回答下列问题：
y
y=2x
y=1 (0,1)
0
x
y
1 2
x
y
(0,1)
y=1
0
x
问题二： 图象的上升、下降与底数a有联系吗？
132 yFra bibliotek1 2
x
……
……
x
1 x
2
问题1：认真观察并回答下列问题：
(1).一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层
，对折3次得8层，问若对折 x 次所得层数为y，
则y与x
的对应关系是：
y
2x
1
(2).一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 2 米，再从中