2019届高三数学(理科)高考总复习 升级增分训练 简化解析几何运算的5个技巧 Word版含解析

升级增分训练 简化解析几何运算的5个技巧
1．(2016·四川高考)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )
A ．3
3 B ．23
C ．
22
D ．1
解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)，
则y 20＝2px 0，
即x 0＝y 20
2p ．
设M (x ′，y ′)， 由PM ―→＝2MF ―→，
得⎩⎨
⎧
x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
p 2－x ′，
y ′－y 0＝2(0－y ′)，
化简可得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝p ＋x 0
3，
y ′＝y 0
3.
∴直线OM 的斜率为k ＝
y 0
3
p ＋x 03
＝
y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0
＋y 0
≤2p 22p
2＝2
2(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．
2．设双曲线x 2a ＋y 2b ＝1的一条渐近线为y ＝－2x ，且一个焦点与抛物线y ＝1
4x 2
的焦点相同，则此双曲线的方程为( )
A ．5
4x 2－5y 2＝1
B ．5y 2－5
4x 2＝1
C ．5x 2－5
4
y 2＝1
D ．5
4
y 2－5x 2＝1
解析：选D 因为x 2＝4y 的焦点为(0,1)， 所以双曲线的焦点在y 轴上． 因为双曲线的一条渐近线为y ＝－2x ， 所以设双曲线的方程为y 2－4x 2＝λ(λ＞0)， 即y 2λ－x 2
λ4＝1，
则λ＋λ4＝1，λ＝45
，
所以双曲线的方程为5
4
y 2－5x 2＝1，故选D ．
3．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－
c ，0)，F 2(c,0)，
P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3
4c 2，－12c 2，则该双曲线
的离心率的取值范围为( )
A ．(1，2]
B ．2，2]
C ．(0，2]
D ．2，＋∞)
解析：选B 设P (x 0，y 0)，
则PF 1―→·PF 2―→
＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0) ＝x 20－c 2＋y 20＝a 2⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋y 20b 2－c 2＋y 20，
上式当y 0＝0时取得最小值a 2－c 2， 根据已知－34c 2≤a 2－c 2≤－1
2c 2，
即14c 2≤a 2≤1
2c 2， 即2≤c 2
a 2≤4，
即2≤c
a ≤2，
所以所求离心率的取值范围是2，2]．
4．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为4
3的直线交抛物线于A ，B 两点，
若AF ―→＝λFB ―→
(λ＞1)，则λ的值为( )
A ．5
B ．4
C ．43
D ．52
解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AF ―→＝λFB ―→，
得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2
．
设直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －p 2，
联立直线与抛物线方程， 消元得y 2－3
2py －p 2＝0．
故y 1＋y 2＝3
2p ，y 1y 2＝－p 2，
(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－9
4， 即－λ－1λ＋2＝－94．
又λ＞1，解得λ＝4．
5．(2015·四川高考)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(1,4)
C ．(2,3)
D ．(2,4)
解析：选D 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y 21＋y 228，y 1＋y 22，C (5,0)为圆心，当y 1≠－y 2时，k AB ＝4y 1＋y 2，k CM ＝4(y 1＋y 2)y 21＋y 22－40
，由k AB ·k CM ＝－1⇒y 21＋y 2
2＝24，所以
M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 1＋y 22，又r 2＝|CM |2＝4＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 1＋y 222＝10＋12y 1y 2，所以(2r 2－20)2＝y 21y 22，所以y 21，y 22是方程t 2－24t ＋(2r 2－20)2＝0的两个不同的正根，
由Δ＞0得2＜r ＜4．综上，r 的取值范围是(2,4)．
6．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为1
2
，则该椭圆方程为( )
A ．2x 275＋2y 2
25＝1
B ．x 275＋y 2
25＝1
C ．x 225＋y 2
75
＝1
D ．2x 225＋2y 2
75
＝1
解析：选C 由已知得c ＝52， 设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2
a
2＝1，
联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，
y ＝3x －2，
消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
由根与系数关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2
－450， 由题意知x 1＋x 2＝1， 即12(a 2－50)10a 2
－450＝1， 解得a 2＝75，
所以该椭圆方程为y 275＋x 2
25
＝1．
7．已知双曲线C ：x 22－y 2
＝1，点M 的坐标为(0,1)．设P 是双曲线C 上的点，
Q 是点P 关于原点的对称点．记λ＝MP ―→·MQ ―→
，则λ的取值范围是________．
解析：设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)， λ＝MP ―→·MQ ―→
＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1)
＝－x 20－y 20＋1
＝－32x 20＋2．
因为|x 0|≥2，
所以λ的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]
8．(2017·长春质检)已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA ―→·PB ―→
的最小值为________．
解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)， 则B (－cos θ，－sin θ)， ∴PA ―→
＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→
(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)， ∴PA ―→·PB ―→
＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)(－sin θ－x －2) ＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ ＝2x 2＋4x ＋3 ＝2(x ＋1)2＋1， 当且仅当x ＝－1，
即P (－1，1)时，PA ―→·PB ―→
取最小值1． 答案：1
9．设抛物线⎩
⎨⎧
x ＝2pt 2
，
y ＝2pt (t 为参数，p ＞0)的焦点为F ，准线为l ．过抛物线上
一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
72p ，0，AF 与BC 相交于点E ．若|CF |＝2|AF |，
且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2pt 2，
y ＝2pt
(p ＞0)消去t 可得抛物线方程为y 2＝
2px (p ＞0)，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
p 2，0，|AB |＝|AF |＝12|CF |＝32
p ，可得A (p ，2p )．
易知△AEB ∽△FEC ， ∴|AE ||FE |＝|AB ||FC |＝1
2
， 故S △ACE ＝13S △ACF ＝13×3p ×2p ×12＝2
2p 2＝32，
∴p 2＝6．∵p ＞0，∴p ＝6． 答案： 6
10．(2016·河北三市二联)已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦
点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝
23
3
． (1)求此椭圆的方程；
(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．
解：(1)设焦距为2c ， ∵e ＝c a ＝6
3，a 2＝b 2＋c 2，
∴b a ＝33，由题意可知b 2a ＝33，
∴b ＝1，a ＝3，
∴椭圆的方程为x 23＋y 2
＝1．
(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，
得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 又直线与椭圆有两个交点， 所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0， 解得k 2＞1．
设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－
12k 1＋3k 2，x 1x 2＝9
1＋3k
2
， 若以CD 为直径的圆过E 点， 则PB ―→·ED ―→
＝0，
即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，
而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， 则(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2
＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0， 解得k ＝7
6
，满足k 2＞1．
11．(2016·山东高考节选)平面直角坐标系xOy 中，椭圆
C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是3
2，抛物线E ：x 2＝2y
的
焦点F 是C 的一个顶点．
(1)求椭圆C 的方程．
(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ．直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．求证：点M 在定直线上．
解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝3
2
， 可得a 2＝4b 2．
因为抛物线E 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，12，
所以b ＝1
2
，a ＝1．
所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1． (2)证明：设P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫m ，m 2
2(m ＞0)．
由x 2＝2y ，可得y ′＝x ， 所以直线l 的斜率为m ．
因此直线l 的方程为y －m 2
2＝m (x －m )，
即y ＝mx －m 2
2
．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，
联立方程⎩⎨⎧
x 2＋4y 2
＝1，
y ＝mx －m 2
2，
得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0． 由Δ＞0，
得0＜m 2＜2＋5．(*)
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4m 3
4m 2＋1，
因此x 0＝2m 3
4m 2＋1．
将其代入y ＝mx －m 2
2，
得y 0＝
－m 2
2(4m 2＋1)．
因为y 0x 0＝－14m
，
所以直线OD 的方程为y ＝－1
4m
x ．
联立方程⎩⎨
⎧
y ＝－14m
x ，
x ＝m ，
得点M 的纵坐标y M ＝－1
4，
所以点M 在定直线y ＝－1
4
上．
12．(2016·合肥质检)已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为
32
． (1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围． 解：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
由题意可知2a ＝4，c a ＝3
2，又a 2＋b 2＝c 2，
解得a ＝2，c ＝3，b ＝1， 故椭圆C 的方程为y 2
4＋x 2＝1．
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎨
⎧
x 2＋y
24＝1，
y ＝kx ＋1
得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，
故x 1＋x 2＝－
2k k 2＋4，x 1x 2
＝－3
k 2＋4
，① 设△OAB 的面积为S ， 由x 1x 2＝－
3
k 2＋4
＜0， 知S ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝1
2|x 1－x 2|
＝12
(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2
k 2＋3(k 2
＋4)
2
，
令k 2＋3＝t ，知t ≥3， ∴S ＝2
1
t ＋1t ＋2
． 对函数y ＝t ＋1t (t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2
－1
t
2＞0，
∴y ＝t ＋1
t 在t ∈3，＋∞)上单调递增， ∴t ＋1t ≥103
，
∴0＜1t ＋1t ＋2≤316，∴0＜S ≤3
2，
即△OAB 面积的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤
0，32．。