七年级数学思维探究(6)一元一次方程(含答案)

秦九韶（1202-1261），字道古，南宋时期著名数学家，《数学九章》是他的代表著作，他对“大衍求一术”（整数论中的一次同余组解法）和“正负开方术”（高次方程的数值解法）的研究，取得卓越的成果，前者被称为“中国剩余定理”，后者被称为“秦九韶程序”．美国科学史家萨顿说：“秦九韶是他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一．”
6．一元一次方程
解读课标
方程是刻画现实世界的有效数学模型．一元一次方程是方程中最简单、最基础的部分，是后续学习高次方程的基础．其基本内容包括：解方程、方程的解及其讨论．
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1得方程的解，这是解一元一次方程的一般步骤．在解一元一次方程时，既要能按部就班（严格按步骤）解方程，又要能随机应变（打乱步骤）解方程．
代解是处理方程的解的基本方法．当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程称为含字母系数
的方程，含字母系数的方程总能化为ax b =的形式．方程的解由a 、b 的取值范围确定，具体情形如下：
1．当0a ≠时，原方程有唯一解b x a
=； 2．当0a =且0b =时，原方程有无数个解；
3．当0a =且0b ≠时，原方程无解．
问题解决
例1 若以x 为未知数的方程320x a -=与23130x a +-=的解相同，则a =_______．
试一试 由“解相同”建立关于a 的方程．
例2 若k 为整数，则使得方程()199920012000k x x -=-的解也是整数的k 值有（ ）．
A ．4个
B ．8个
C ．12个
D ．16个
试一试 把x 用含k 的式子表示，结合整除的知识确定k 值的个数．
例3 解下列方程．
（1）31333447167x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦； （2）0.30.80.020.30.80.410.50.33
x x x ++---=； （3）1111333302222x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭
． 试一试 解方程的目的是通过变形把方程化为x a =的形式，既可严格按步骤解方程，又可随机应变解方程．仔细观察方程的特点，灵活运用相关知识，简化解方程的过程．
例4 （1）解下列关于x 的方程：
①48x b ax +=-；()4a ≠ ②1mx nx -= ③()()11234
m x n x m -=+
（2）a 为何值时，方程()112326
x x a x +=--有无数多个解？无解？ 试一试 对于（1），把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论；对于（2），化简原方程，利用方程ax b =各种解的情形所应满足的条件建立a 的关系式．
例5 （1）在日历中（如图），任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是_____________．
3029282726252423222120
19181716151413
1211109876
54321
六五四三二
一日
（2）现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数（如图）．
①图中框出的这16个数的和是___________；
②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由，若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．
2004
20032002
2001200019991998199719964241403938373536343332311
2345678
9101112131416171819202122
23242526272829
3015
试一试 对于（2）中②，引入未知数，建立关于这个未知数的一元一次方程，将问题转化为讨论方程是否存在正整数解．
丢番图的墓志铭
例6 丢番图，古希腊数学家，大约生活在公元3世纪，被誉为“代数学的鼻祖”．他死后，其墓志铭很特别，碑文是这样的：
过路的人！
这儿埋葬着丢番图．
请计算下列数目，
便可知他一生度过了多少个寒暑，
他一生的六分之一是幸福的童年，
十二分之一是无忧无虑的少年，
再过七分之一的生命旅程，
他建立了幸福的家庭，
五年后儿子出生，
不幸儿子竞先于父亲四年而终，
年龄不过父亲享年的一半，
晚年丧子老人真可怜，
悲痛之中度过了风烛残年，
请你算一算，丢番图活到乡少岁才和死神见面？
解法一 代数解法
设丢番图活了x 岁，由题意得
11115461272
x x x x x +++++=， 解得84x =．
解法二 算术解法
从上式所列的方程中我们可以看出，丢番图的年龄x 是6和12的倍数，也是7和2的倍数（因为年龄总是整数）．故他的年龄是6、12、7、2的公倍数，而6、12、7、2的公倍数，即是12与7的公倍数．我们可以先求12与7的最小公倍数．因为12与7互质，所以它们的最小公倍数应为12784⨯=，其他大于84的公倍数是不合乎常理的，如842168⨯=，而168的16
是28，28岁就不再是童年，所以也不合题意，其他更大的公倍数就更不可能了，故丢番图的年龄为84岁．
数学冲浪
1．算筹方程
“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部数学经典著作中，该书的第八章名“方程”．在《九章算术》中的算筹都是竖排的，为了看图方便，我们把它改为横排．
如图，各行从左到右列出算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项，如：
表示方程423x y +=，
表示方程3219x y +=，
表示方程______________，
表示方程_____________．
2．（1）对于任意有理数a 、b 、c 、d ，规定了一种运算a b ad bc c d
=-，如()101202222=⨯--⨯=--，那么当242535
x -=-时，x =_______________ （2）当a ______，b ________时，方程1ax x b +=-有唯一解；当a _______，b ______时，方程1ax x b +=-无解；当a ________，b _______时，方程1ax x b +=-有无穷多个解．
3．已知关于x 的方程9314x kx -=+有整数解，那么满足条件的所有整数k =_________． 4．已知关于x 的方程4231x m x +=+与方程3261x m x +=+的解相同，则方程的解为_________． 5．已知关于x 的方程()32mx x m +=-的解满足230x --=，则m 的值为（ ）
A ．5-
B ．1
C ．5或1-
D ．5-或1
6．若关于x 的一元一次方程
23132x k x k ---=的解是1x =-，则k 的值是（ ） A ．27 B ．1 C ．1311
- D ．0 7．已知关于x 的方程()3870m n x ++=无解，则mn 是（ ）
A ．正数
B ．非正数
C ．负数
D ．非负数
8．关于x 的方程341ax x +=+的解为正整数，则a 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．1或2
D ．2或3
9．解下列关于x 的方程
（1）421323324x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
（2）20.10.130.20.05x x ---= （3）1ax bx -= （4）448x b x +=-
10．已知关于x 的方程()16326
a x a x x +=--，问当a 取何值时（1）方程无解； （2）方程有无穷多解．
11．已知关于x 的方程
323a x bx --=的解是2x =，其中0a ≠且0b ≠，求代数式a b b a
-的值． 思维方法天地
12．如果()11112003261212004
n n ++++=+，那么n =______________． 13．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为_______________．
14．已知1x =-，532
32210ax bx cx -+-=，其中::2:3:6a b c =，那么32a c b =_________． 15．若()22
120a ab -+-=，则方程
()()()()()()2002112220012001x x x x ab a b a b a b ++++=++++++的解是（ ）
A ．2001
B ．2002
C ．2003
D ．2004 16．下图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长29cm 的木条上钻有6个圆孔，每个圆孔的直径均为2.5cm ．两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都相等并设为cm x ，则x 为（ ）
2.5cm
29cm x x x x
x x x
A ．2
B ．2.15
C ．2.33
D ．2.36
17．若方程()()22615m m x x m ++=++无解，则m =（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．2
D ．3
18．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的k （k 是不等于1的正整数）倍还多6人．问乙队原有多少人？
19．将自然数1至2010按图中的方式排列：
2010200920082007
200620052004200315
2002
27262524
2322212019181716141312111098
7654321
如图，用一个长方形框出9个数（3行3列），已知这9个数的和为17991，求这9个数中最小的数．
应用探究乐园
20．解方程（1）226200620072008
x x x -+++=；
（2）1
234
56
7x +
++．
21．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
第4个
第3个第2个第1个
（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
6．一元一次方程答案
问题解决
例1 3
例2 D 20011
x k =+为整数，又2001132329=⨯⨯⨯，1k +可取1±，3±,23,29±,()323±⨯,()329±⨯,()2329±⨯，2001±共16个值，相应的k 值也有16个．
例3 （1）视37x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭为整体，先去括号得0x =； （2）运用分数性质将小数化为整数，得1x =；
（3）先去括号得90x =．
例4 （1）①84
b x a +=-； ②当m n ≠时，方程有唯一解1x m n
=-；当m n =时，原方程无解； ③原方程化为()4346m x mn m -=+，当34m ≠时，原方程有唯一解4643mn m x m +=-；当34m =，32n =-时，原方程有无数个解；当34m =，32
n ≠-时，原方程无解． （2）原方程化为0612x a =-
①当6120a -=，即2a =时，原方程有无数个解；
②当6120a -≠，即2a ≠时，原方程无解．
例5 （1）7a -，a ，7a +．
（2）①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于44，如31与13，11与33，17与27都是成中心对称的，于是易算出这16个数之和为448352⨯=．
②设框出的16个数中最小的一个数为a ，则这16个数组成的正方形方框如下图所示．因为方框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于224a +，所以这16个数之和为
()822416192a a ⨯+=+．
当161922000a +=时，113a =．
当161922004a +=时，113.25a =． a 为自然数，113.25a ∴=不合题意．
即框出的16个数之和不可能等于2004．
由长方形阵列的排法可知，a 只可能在1，2，3，4列，即a 被7除的余数只可能是1，2，3，4．因为1131671=⨯+，所以，这16个数之和等于2000是可能的，这时，方框中最小的数是113，最大的数是11324137+=．
数学冲浪
1．232x y +=；4337x y +=
2．（1）34
- （2）略 3．10、26、8、8- 179x k =
-，917k -，91k -=±或17± 4．0
5．D
6．B
7．B
8．D
9．（1）127x =-
； （2）113
x =； （3）当a b ≠时，方程有唯一解1x a b =
-；当a b =时，方程无解； （4）当4a ≠时，方程有唯一解84
b x a +=
-；当4a =且8b =-时，方程有无数个解；当4a =且8b ≠-时，方程无解． 10．原方程化为()()121a x a -=-
（1）当1a =-时，方程无解；
（2）当1a =时，方程有无数个解．
11．712
12．2003
13．3 可推得1a =-，3c =，2b =，填入整数后的排列是3，1-，2，3，1-，2… 14．643
设2a k =，3b k =，6c k =．得2k = 15．C
16．A
17．C
18．设乙队原有x 人，则()80166k x =++，得7416k x k
-=，因x 必须为正整数，且1k ≠，所以7416k -也是正整数，k 只能取2，3，4，只有当2k =时，21x =．
19．1991
20．（1）原方程化为222220200620072008x x x -+-+-+-=，即4014401440140200620072008x x x ---++=，得4014x =．
（2）111
2
373456
76
=
+++，故6x =．
21．（1）18
第670个图形有2013颗黑色棋子。