车辆内轮差论文(不含附件)

车辆转弯时的内轮差问题
摘 要
本文主要解决求解最大内轮差、分析影响内轮差的主要因素并给出避免内轮差事故的可行方法的问题。

为了解决这些问题，我们建立了内轮差求解模型和层次结构模型。

对于问题一：我们提出了遵循阿克曼转向原理的内轮差求解模型。

根据图6.1中各边的几何关系，运用勾股定理得到最终的模型。

将从太平洋汽车网收集的数据（见附录一）带入模型中求得小、中、大型汽车的最大内轮差分别为0.8951m 、1.0136m 、2.2375m 。

模型中有三个决定内轮差的量，为了进一步了解这三个量对内轮差的影响，我们分别针对这三个量，对模型进行了灵敏度分析，并作出了图6.2、图6.3和图6.4。

对于问题二：我们建立了层次结构模型。

用MATLAB 编程计算得到轴距、后轮距、最小转弯半径、车的质量、车速()12345C C C C C 、、、、的权向量G=(0.2623 0.4744 0.0545 0.0985 0.1103)。

通过比较权向量G 的各分量，确定轴距和后轮距是影响内轮差的主要因素。

对于问题三：综合问题一求解过程中的灵敏度分析和问题二确定的两个影响内轮差的主要因素，我们建议驾驶员在路口转弯时，转弯半径更大一些，非机动车驾驶人离大型车远一些，事故就不会发生了。

关键字： 内轮差 阿克曼原理 层次分析法 SUV
1．问题重述
车辆在转弯时，后轮并不是沿着前轮的轨迹行驶，会产生偏差，这种偏差叫“内轮差”，车身越长，形成的“内轮差”就越大。

大型车事故中，很大一部分与“内轮差”有关。

大型车转弯时，如果车头正好挨着骑车人，车身中后段多半会把骑车人蹭倒，而且此时司机多半处于“视觉盲区”，无法及时反应，导致骑车人被卷入车底发生事故。

现实生活中，人们往往忽略了“内轮差”带来的交通安全隐患。

如果驾驶员在路口转弯时，车速更慢一点，转弯半径更大一些，非机动车驾驶人离大型车远一些，事故就不会发生了。

其实，转弯的车子，前面部分过去了，后面部分照样可能带倒你。

关于“内轮差”，我们需要解决以下三个问题：
(1) 为防范内轮差事故，给司机和行人予以警示，请你用数学建模的方式说明
小型车、中型车和大型车最多能产生多少米的内轮差。

(2) 分析影响内轮差的主要因素。

(3) 根据你的结果给出避免内轮差事故发生的可行方法。

2．基本假设
假设一：车辆的前轮距与后轮距相等。

假设二：车辆在转弯时处于理想状态，不产生侧滑。

假设三：车辆自身性能稳定，车辆转弯时。

假设四：车辆转弯时车速较慢。

假设五：车轮为刚性的，转弯过程中不发生任何形变。

3．符号说明
符号符号说明
r最小转弯半径
d后轮距
l轴距
m内轮差
c准则层的第i个因素
i
a C i和C j对目标层的影响之比
ij
4.问题分析
此题主要研究求解最大内轮差、分析影响内轮差的主要因素并给出避免内轮差事故的可行方法的问题。

为了求最大内轮差，我们可以建立一个合理的模型，并进一步分析该模型，加深对内轮差的影响因素的定性了解。

影响內轮差的因素众多，我们可以选择层次分析法，建立层次结构模型，确定两个到三个影响内轮差的主要因素。

在解决前面两个问题的基础上，我们可以定性的提出几点可行的建议，帮助司机和行人避免内轮差引起的交通事故。

针对问题一：根据图1，我们得到模型222222()m r l d l r l d =--+--+。

又根据表1、表2、表3【6】的数据分别求得小、中、大型车辆的最大内轮差。

针对问题二：我们建立如图5所示的层次结构模型，构造比较矩阵A ，接着对A 进行一致性检验，当一致性比率CR 均小于0.1时【5】，A 就是符合要求的正反对角阵，通过求A 的特征向量，最终求得模型的组合权向量，进而确定影响内轮差的若干个主要因素。

针对问题三：综合问题一求解过程中的灵敏度分析和问题二确定的两个影响内轮差的主要因素，我们可以给出几点能避免内轮差引起的交通事故的可行建议。

5.数据收集
表5.1：小型车辆的相关数据信息表
轴距/m 后轮距/m 最小转弯半径/m
2.34 1.41 4.75 2.33
1.355
4.8
A
成对比较矩阵 B
归一化矩阵 λ
最大特征根的近似值
n
准则层的因素个数 CI
一致性指标
RI
随机一致性的指标
CR 一致性指标与随机一致性的指标，即一致性比率
G
权向量
2.34 1.41 4.75
………………
2.527 1.422 5.5
2.465 1.457 5.25
表5.2：中型车辆的相关数据信息表
轴距/m后轮距/m最小转弯半径/m
3.012 1.618 6.3
2.807 1.613 5.8
2.76 1.544 5.42
………………
2.64 1.515 5.2
2.775 1.56 5.5
2.85 1.535 5.2
表5.3：大型车辆的相关数据信息表
轴距/m后轮距/m最小转弯半径/m
5.17 1.836 10.3
6.2 1.86 10.6
5.62 1.87 10.5
………………
5.8 1.85 10.4
5.83 1.87 10.3
5.84 1.86 10.2
6．问题一的解答
本文研究的是车辆转弯时产生的內轮差的问题，为了给广大司机与行人关于此的交通安全警告，我们必须计算出市面上小型车、中型车和大型车最多能产生多少米的内轮差。

为此，我们建立了内轮差求解模型。

6.1模型一的准备：内轮差求解模型
=-，所以需要OD和OC的数据；
1、根据内轮差的定义【5】，内轮差m OD OC
2、△OCD 是直角三角形，根据勾股定理，22OD OC =２+CD ，CD 就是汽车轴距l ，所以需要OC 的数据；
3、从图中分析，OC OB BC =-，BC 就是汽车后轮距d ，所以需要OB 的数据；
4、△OAB 是直角三角形，根据勾股定理，222OB OA AB =- ，所以需要OA 和AB 的数据；
5、OA 就是汽车最小转弯半径r ，而AB 等于CD ，也就是汽车轴距l ，所以最大内轮差m 可以计算得到。

图6.1 车辆转弯示意图
6.2模型一的建立
根据前面分析进行推导，过程如下：
m OD OC =-
在OCD ∆中，22OD OC =２+CD
2222OD OC CD OC l ∴=++= 而OC OB BC =-,且BC d =
OC OB d ∴=-
又在OAB ∆中，222,,OB OA AB OA r AB l =-==
22OB r l =- 22OC r l d =--
2222()OD r l d l =--+
222222()()m r l d l r l d ∴=--+--- 222222()r l d l r l d =--+--+
综上所述，得到内轮差求解模型为：
222222()m r l d l r l d
=--+--+
()0s.t.00r l r l d d ≥⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩为转弯半径，为轴距，为后轮差 6.3模型一的求解
模型一的求解可以运用MATLAB 编写程序得到。

我们从太平洋汽车网获得关于小、中型的车辆的最小转弯半径、后轮距及轴距的若干组数据（见附录一），然后运用MATLAB 的M -文件编写了一个求各个车辆內轮差的程序（见附录二），由于问题一要求针对小、中、大三种不同型号的车辆求內轮差，我们又在M-文件中编写了求得小型车辆、中型车辆和大型车辆的平均內轮差的程序，得到小型车辆的最大內轮差为0.8951m ，中型车辆的最大內轮差为1.0136m ，大型车辆的最大內轮差为2.2375m 。

6.4模型一的灵敏度分析
根据模型一的表达式，我们仅能初步了解到车辆内轮差与最小转弯半径(r )、后轮距(d )和轴距(l )的具体数值相关，并不知道这三者分别如何影响内轮差的值及他们对内轮差的影响程度。

为此，我们运用梯度【1】的知识，对以上问题进行具体的研究并给出合理的结果。

由附录中表一的数据计算得到小型车的最小转弯半径(r )、后轮距(d )和轴距(l )的平均值分别为4.8967m 、1.4199m 、2.4166m 。

下面我们分别对r 、l 、d 这三个量做关于模型一的灵敏度分析[7]：
(1) 当l=2.4166m 、r=4.8967m 时，m (内轮差)随d 的变化趋势如图2上的红色曲线所示。

结合图形易知，m 与d 呈正相关，且m 随d 的变化比较平缓，尤其在d>7以后，m 几乎不随d 的增大而增大。

(2) 当r=4.8967m 、d=1.4199m 时，m (内轮差)随l 的变化趋势如图2上的蓝色曲线所示。

结合图形易知，m 随l 的变化趋势大致可分为两段情况，当l<5时，m 随l 的增大而增大，且m 的增长趋势较为明显；当l=5时，l 对m 的影响骤然减小；当l>5时，m 几乎不受l 的影响 ，即m 保持不变。

(3) 当l=2.4166m 、d=1.4199m 时，m (内轮差)随r 的变化趋势如图2上的黑色曲线所示。

结合图形易知，m 随r 的变化趋势大致可分为两段情况，当r <2.5时，m 随r 的增大而减小，且m 的减小趋势较为明显；当r >2.5时，r 对m 的影响开始逐渐减小；当r =9时，m 几乎不受r 的影响 ，即m 保持不变。

10
20
0.20.40.60.8
1
1.2
1.41.61.82小型车d 的梯度比较
10
20
01
234
5
6
789
10小型车l 的梯度比较 d
l
10
20
-9-8-7-6-5-4
-3
-2
-10
1小型车r,的梯度比较
r
图6.2 小型车转弯时内轮差(m )
其中：r 为转动半径、l 为轴距、d 为后轮距的梯度
由附录中表2的数据计算得到中型车的最小转弯半径（r ）、后轮距（d ）和轴距（l ）的平均值分别为5.5982m 、1.5647m 、2.7721m 。

下面我们分别对r 、l 、d 这三个量做关于模型一的灵敏度分析：
(1)当l =2.7721m 、r =5.5982m 时，m （内轮差）随d 的变化趋势如图3上的红色曲线所示。

结合图形易知，m 与d 呈正相关，且m 随d 的变化比较平缓，尤其在d >7以后，m 几乎不随d 的增大而增大。

(2)当r =5.5982m 、d =1.5647m 时，m （内轮差）随l 的变化趋势如图3上的蓝色曲线所示。

结合图形易知，m 随l 的变化趋势大致可分为两段情况，当l <5.5时，m 随l 的增大而增大，且m 的增长趋势较为明显；当l =5.5时，l 对m 的影响骤然减小；当l >5.5时，m 几乎不受l 的影响 ，即m 保持不变。

(3)当l =2.7721m 、d =1.5647m 时，m （内轮差）随r 的变化趋势如图3上的黑色曲线所示。

结合图形易知，m 随r 的变化趋势大致可分为两段情况，当r <2.8时，m 随r 的增大而减小，且m 的减小趋势较为明显；当r >2.8时，r 对m 的影响开始逐渐减小；当r =7.8时，m 几乎不受r 的影响 ，即m 保持不变。

10
20
0.20.40.60.81
1.2
1.41.61.82中型车r 的梯度比较
d
10
20
01
234
5
678910中型车l 的梯度比较
l
10
20
-10-8
-6
-4
-2
2中型车d 的梯度比较
r
图6.3：中型车转弯时内轮差(m )
其中：r 为转动半径、l 为轴距、d 为后轮距的梯度
由附录中表三的数据计算得到中型车的最小转弯半径(r )、后轮距(d )和轴距(l )的平均值分别为10.39m 、1.8706m 、5.796m 。

下面我们分别对r 、l 、d 这三个量做关于模型一的灵敏度分析：
(1)当l =5.796m 、r =10.39m 时，m (内轮差)随d 的变化趋势如图4上的红色曲线所示。

结合图形易知，m 与d 呈正相关，且m 随d 的变化比较平缓，尤其在d >7以后，m 几乎不随d 的增大而增大。

(2)当r =10.39m 、d =1.8706m 时，m （内轮差）随l 的变化趋势如图4上的蓝色曲线所示。

结合图形易知，m 随l 的变化趋势大致可分为两段情况，当l <10.2时，m 随l 的增大而增大，且m 的增长趋势较为明显；当l =10.2时，l 对m 的影响骤然减小；当l >10.2时，m 几乎不受l 的影响 ，即m 保持不变。

(3)当l =5.796m 、d =1.8706m 时，m （内轮差）随r 的变化趋势如图4上的黑色曲线所示。

结合图形易知，m 随r 的变化趋势大致可分为两段情况，当r <5.8时，m 随r 的增大而减小，且m 的减小趋势较为明显；当r >5.8时，r 对m 的影响开始逐渐减小；当r =10.2时，m 几乎不受r 的影响 ，即m 保持不变。

1020
0.20.40.6
0.81
1.2
1.41.61.8大型车d 的梯度比较
d
102002
4
6
8
10
12
14大型车l 的梯度比较
l
01020
-35-30-25-20-15
-10
-505大型车r 的梯度比较
r
图6.4 大型车转弯时内轮差（m ）
其中：r 为转动半径、l 为轴距、d 为后轮距的梯度
7.问题二的解答
由车辆转弯时产生的內轮差引发的交通事故屡见不鲜，而影响內轮差的因素众多，我们很难把所有因素对內轮差的影响情况一一详细解释，所以我们希望能把主要因素找出来，分析这些主要因素对內轮差的影响，为此，我们运用了层次分析法。

7.1模型二的准备：层次结构模型
问题二是要求分析得到影响内轮差的主要因素，我们选择了层次分析法，采用定性分析与定量分析相结合的思想，给出决策的结果。

结合问题一的结果与实际情况，我们确定了层次分析模型的准则层，即轴距、后轮距、最小转弯半径、车的质量和车速。

7.2 模型二的建立
将决策问题分为3个层次，最上层为目标层，中层为准则层，最下层为目标层。

各层间的联系用相连的直线表示。

综上所述，得到层次结构模型为：
内轮差
最小转弯半径
车的质量
后轮距
车速
轴距
最小内轮差
图7.1 层次结构模型
7.3 模型二的求解
求解层次结构模型，首先构造成对比较阵A ，然后求解A 的最大特征向量和最大特征值，我们选择和法的算法进行求解，具体流程如下：
开始
构造成对比
较阵A
对A 进行归一化处理
计算最大特征向量a
判断a 是否
大于0
输出结果
Yes No
图7.2 和法的算法流程图
目标层：
结构层：
方案层：
(1) 构造成对比较阵 假设比较层的5个因素分别为1C 、2C 、3C 、4C 、5C ，每次取两个因素C i 和C j ,用ij a 表示C i 和C j 对目标层的影响之比，全部比较结果可用构造成对比较矩阵：
A=()ij n n a ⨯，ij a >0，ij a =1ji
a 。

在进行成对比较时，我们结合模型一的灵敏度分析及参考文献的介绍，根据1-9尺度[5]，确定了相对的尺度ij a 。

1-9尺度如下表：
表7.1 1-9尺度a ij 的含义 尺度a ij
含义 1
i c 比j c 的影响相同 3
i c 比j c 的影响稍强 5
i c 比j c 的影响强 7
i c 比j c 的影响明显的强 9 i c 比j c 的影响绝对的强
我们先将目标层中的5个因素进行了简单的排序如下：1C 、2C 、3C 、4C 、5C ，再每次取两个因素C i 和C j ，构造成对比较阵如下：
A=11/31/31/513
111/333111/225
321511/31/21/51⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(2) 计算权向量并作一致性检验 因为成对比较阵基本上是定性的比较的量化结果，对它作精确计算是不必要的，所以我们采用了近似计算的方法计算其特征根和特征向量，下面我们主要采用的是和法的算法，具体步骤如下：
a 、将A 的每一列向量归一化得：
B=1/n ij ij i a a =∑
=0.2553 0.2448 0.2353 0.2857 0.29030.5106 0.4895 0.4118 0.4762 0.48390.0638 0.0699 0.0588 0.0476 0.03230.0851 0.0979 0.1176 0.0952 0.09680.0851 0.0979 0.1765 0.0952 0.0968⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
b 、对B 按行求和得：
i B =1ij n i B =∑= 1.3114 2.3720 0.2725 0.4927 0.5515⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
c 、将i B 归一化：
G =1/n
i i i B B =∑= 0.2623 0.4744 0.0545 0.0985 0.1103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
求得G 即为近似特征向量。

d 、计算
λ=1()1n i i i
AG n G =∑=5.0729 作为最大特征根的近似值。

e 、对A 进行一致性检验 成对比较阵通常不是一致阵，所以需要对A 进行一致性检验，Saaty 采用n λ-数值的大小来衡量A 的不一致程度。

我们也采用n λ-的数值大小来衡量A 的不一致程度。

(CI 为通常所谓的一致性指标)
1n
CI n λ-=-=0.1303
为了确定A 的不一致程度的容许范围，Saaty 又引入了随机一致性指标RI ，随机一致性指标RI 的数值具体如下表：
表7.2 随机一致性的指标RI 的数值 n 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI
0 0 0.58 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.45 1.49 1.51 对于我们的层次分析模型（n =5），需要计算它的一致性指标CI 与同阶的随机一致性的指标RI 的比值即一致性比率，来确定成对比较矩阵A 的比一定程度。

CI CR RI
==0.0163<0.1 由于CR =0.0163<0.1,一致性比率在容许的范围之内，成对一致矩阵A 通过了一致性的检验，所以我们可以用其特征向量作为权向量。

得到1C 、2C 、3C 、4C 、
5C 的权向量为：G =() 0.2623 , 0.4744 , 0.0545 , 0.0985 , 0.1103
(3) 针对构造的层次结构模型进行实际意义分析 1C 、2C 、3C 、4C 、5C 的权向量G 的各个分量代表准则层中各准则对目标层的影响程度。

G 的各分量分别代表轴距、后轮距、最小转弯半径、车的质量和车速对内轮差的影响，由于47.44%>26.23%>11.03%>9.85%>5.45%,我们得到轴距、后轮距、车速对内轮差的影响比较大。

针对问题三，我们得出轴距、后轮距这两个因素是影响内轮差的主要因素。

8．问题三的解答
由问题一的求解过程不难看出，本模型主要考虑的影响因素有汽车的轴距l 、轮距d 和转弯半径r 。

根据这一模型，可以发现汽车的轴距l 以及轮距d 与内轮差m 成正相关，转弯半径r 与其内轮差m 成负相关。

同时在其正常数据范围内，此关系都成立。

同时，由第二问题的层次分析结果以及实际生活经验可知，在车辆的运动过程中，其车速v 越大转弯半径越大，从而导致其内轮差减小。

再加上根据大型汽车的驾驶舱的设计光路分析，以及相关文献中的实测，我们发现SUV 的盲区要比小型车大，但在实际驾驶的时候，我们会发现SUV 的视野要比小型车好。

这是由于小型车车身比较紧凑，车厢较小，加上内外后视镜均比较窄小，导致车辆视野比SUV 要狭窄许多，这在驾驶感受上非常明显。

据此提出的具体建议如下：
1) 在设计过程中，可以在技术标准范围内将车的轴距和轮距设计的尽可能的小以
减少内轮差
2) 在汽车由静止状态开始转弯时，应尽可能的增大转弯半径以减少内轮差的产
生，从而达到避免由于内轮差而发生的事故
3) 在车辆的运动过程中转弯时，不必将速度减的过小
4) 车型越大，越需要注意对视觉盲区的主动观察，避免因视觉盲区中有人或者车
而在转弯时因内轮差导致车祸。

5) 行人和车辆在旁边转向车道内的车辆，尤其是大型，需主动保持一定的距离，
一般与小型车辆保持0.9m 以上距离，中型车辆保持在1.2m 以上距离，大型车辆保持在2.2m 以上就是绝对安全的
9.模型的评价、改进及推广
9.1模型评价
9.1.1模型优点：
（1）根据问题一建立的求解内轮差的模型比较简单明了，极易直接应用到实际生活中去求得各种车辆转弯时的内轮差。

（2）针对问题一的模型，我们做了详细的灵敏度分析，定性的分析出车辆的内轮距和轴距、后轮距呈正相关，但与最小转弯半径呈负相关。

结合该分析结论，我们可以给出避免因内轮差产生的交通事故的建议：转弯半径要尽量大些。

9.1.2模型缺点：
为模型一提供的数据较少，问题一的解会有误差；层次分析模型带有一定的主观性，不能准确的确定影响内轮差的主要因素。

9.2模型改进
可查询更多的数据，以使得统计的结果更正确。

9.3模型推广
层次分析模型不仅可以用于问题二中确定影响内轮差的主要因素，还可以用于求其它决策的主要影响因素，如游客选择旅游景点的问题。

参考文献
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