九年级数学暑假班讲义(教师版) 第1讲 一元二次方程 - 提高班

第1讲一元二次方程
1 一元二次方程的定义
1．一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要点诠释：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
要点诠释：
(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【例题精选】
例1 （2019秋•邗江区校级期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+4＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（）
A．2011B．2015C．2019D．2020
【分析】把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，然后利用整体代入的方法计算2015﹣a+b的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，
所以a﹣b＝﹣4，
所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣4）＝2019．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
例2 （2019秋•常德期末）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（）
A．5B．﹣4C．4D．﹣1
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，一次项系数分别为﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，
注意移项时符号的变化．
【随堂练习】
1．（2019秋•长春期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a 的值为（）
A．1B．﹣1C．±1D．
【解答】解：把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，
∴a＝±1．
故选：C．
2．（2019秋•五华县期末）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和3
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项是﹣2x，常数项是3，
故选：C．
3．（2019秋•开远市期末）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）
A．5、﹣1、4B．5、4、﹣1C．5、﹣4、﹣1D．5、﹣1、﹣4【解答】解：5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，
它的二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1．
故选：C．
2 直接开平方法
1．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
【例题精选】
例1（2019秋•江城区期中）解方程4x2﹣13＝12
【分析】移项，合并同类项，两边开方，即可求出答案．
【解答】解：移项得：4x2＝13+12，
4x2＝25，
，
，
．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
例2（2019秋•雁塔区校级月考）解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣25＝0；
（2）x2﹣1＝215．
【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案．
（2）根据直接开方法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）2﹣25＝0，
∴x﹣2＝±5，
∴x＝7或x＝﹣3；
（2）∵x2﹣1＝215，
∴x2＝216，
∴x＝±6
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【随堂练习】
1．（2019秋•龙岗区期中）解下列方程：
（1）x2﹣121＝0
（2）2（x﹣1）2＝338
【解答】解：（1）∵x2﹣121＝0，
∴x2＝121，
∴x＝11或x＝﹣11
（2）∵2（x﹣1）2＝338，
∴（x﹣1）2＝169，
∴x﹣1＝±13，
∴x＝14或﹣12；
3 配方法
1．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则
判定此方程无实数解.
【例题精选】
例1 （2019秋•青浦区校级期中）用配方法解方程：2x2﹣6x﹣1＝0
【分析】根据配方法解方程的步骤依次计算可得．
【解答】解：∵2x2﹣6x＝1，
∴x2﹣3x＝，
∴x2﹣3x+＝+，即（x﹣）2＝，
∴x﹣＝±，
则x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
例2（2019秋•徐汇区校级月考）用配方法解方程：20x2+12x＝．
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：原方程化为：x2+x＝，
∴x2+x+＝，
∴（x+）2＝，
∴x＝
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【随堂练习】
1.（2019春•沂源县期中）配方法解一元二次方程：﹣2x2+2x+1＝0．
【解答】解：∵﹣2x2+2x＝﹣1，
∴x2﹣x＝，
则x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝，。