2023-2024学年江苏省南京市江宁区上元中学、百家湖中学八年级(下)第一次月考数学试卷(3月份)

2023-2024学年江苏省南京市江宁区上元中学、百家湖中学八年级
（下）第一次月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.汉字是中华民族几千年文化的瑰宝，更是民族灵魂的纽带.以下是“南京小镇”四个字的篆体，其中能看作既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.南京市今年共约有65000名考生参加体育中考，为了了解这65000名考生的体育成绩，从中抽取了2000名考生的体育成绩进行统计分析，以下说法正确的是( )
A. 该调查方式是普查
B. 每一名考生是个体
C. 抽取的2000名考生的体育成绩是总体的一个样本
D. 样本容量是2000名考生
3.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，添加选
项中的条件后不能判定四边形BFDE是平行四边形的是( )
A. BE//DF
B. BE=DF
C. BF=DE
D. AE=CF
4.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得
到△AB′C′，若点B′恰好落在BC边上，且AB′=CB′，则旋转角的度数为( )
A. 54°
B. 84°
C. 24°
D. 72°
5.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是( )
A. 如果AB=CD，AD//BC，那么四边形ABCD是平行四边形
B. 如果AC=BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形
C. 如果AB=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
D. 如果AO=CO，BO=DO，BC=CD，∠ABC=90°，那么四边形ABCD是正方形
6.如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，
DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则
∠FAE+∠EPC的度数的变化情况是( )
A. 一直减小
B. 一直减小后增大
C. 一直不变
D. 先增大后减小
二、填空题：本题共9小题，每小题2分，共18分。

7.已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为8、7、7，6.第五组的频率为0.2，则第六组的频率是______．
8.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数20401002004001000“射中9环以上”的次数153378158231801
“射中9环以上”的频率
0.750.830.780.790.800.80
(结果保留小数点后两位)
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是______(结果保留小数点后一位)．
9.某中学全体学生参加社会实践活动，从中随机抽取若干同学的社会实践
活动成绩制成如图所示的条形统计图，5分为满分，则估计全体学生社会
实践活动成绩的满分率是______．
10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作OE⊥AD，垂足
为E，若AB=6，则OE的长为______．
11.如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC，垂
足为点E，则AE的长是______cm．
12.用反证法证明命题：“已知△ABC，AB=AC，求证：∠B<90°.”第一步应先假设．
13.如图，矩形ABCD的两条对角线夹角为60°，一条短边为4，则矩形的对角线长为______．
14.如图，正方形ABCD的面积为2，菱形DEBF的面积为1，则EF的长是
______．
15.如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点P在AC上运动，以CE为边
向外作正方形CFGE，连接PD、PG，若BC=2，则PD+PG的最小值为
______．
三、解答题：本题共9小题，共68分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题6分)
已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE=DF.求证：AC、EF互相平分．
已知∠MAN，按要求完成下列尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)．
(1)如图①，B，C分别在射线AM、AN上，求作▱ABDC；
(2)如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点．
18.(本小题8分)
已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，E、F分别是对角线BD上两点，且BE=DF．
(1)求证：∠AFD=∠CEB；
(2)若OA=OE，求证：四边形AECF是矩形．
19.(本小题6分)
在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1000200030005000800010000
摸到黑球的次数m65011801890310048206013
摸到黑球的频率m
n
0.650.590.630.620.60250.6013
(1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近______(精确到0.1)；
(2)估计袋子中有黑球______个；
(3)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可在袋子中增加相同的白球______个.
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE=CD，连接AE．
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)连接OE，若∠ABC=60°，且AD=DE=4，求OE的长．
21.(本小题6分)
为了解社区20～60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查(每人只能选择其中一项)，并将调查数据整理后绘成
如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
(1)参与问卷调查的总人数有______人；
(2)扇形“D”圆心角的度数为______，补全条形统计图；
(3)该社区中20～60岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．
22.(本小题8分)
如图，在“飞镖形”ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)“飞镖形”ABCD满足条件______时，四边形EFGH是菱形．
23.(本小题10分)
在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于E点，交BC于F点．
(1)尺规作图，画出折痕EF；
(2)判断四边形AFCE是什么特殊四边形？并证明；
(3)求折痕EF的长度？
24.(本小题10分)
如图1，O是平行四边形ABCD对角线的交点，过点O作OH⊥AB，OM⊥BC，垂足分OH别为H，M，若
OH≥OM，我们称λ=OH
是平行四边形ABCD的心距比．
OM
(1)如图2，四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，则λ=______；
(2)如图3，四边形ABCD是平行四边形，λ=1，求证：四边形ABCD是菱形；
(3)如图4，在△ABC中，∠B=75°，点E、F、G分别在AB、AC、BC边上，若存在一个四边形BEFG是平行四边形，且λ=2，请通过尺规作图作出一个点F.(不写作法，但保留作图痕迹，如若有必要，可简述作图
思路)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.该调查方式是抽样调查，故A不符合题意；
B.每一名考生的体育成绩是个体，故B不符合题意；
C.抽取的2000名考生的体育成绩是总体的一个样本，故C符合题意；
D.样本容量是2000，故D不符合题意；
故选：C．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3.【答案】B
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵BE//DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
由BE=DF，不能判定四边形BFDE是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵BF=DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的性质定理和判定定理；熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵AB′=CB′，
∴∠C=CAB′，
∴∠AB′B=∠C+∠CAB′=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，
∴∠C=∠C′，AB=AB′，
∴∠B=∠AB′B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴3∠C=180°−108°，
∴∠C=24°，
∴∠C′=∠C=CAB′=24°，
∴旋转角=∠BAC−CAB′=108°−24°=84°，
故选：B．
根据图形的旋转性质，得AB=AB′，已知AB′=CB′，结合等腰三角形的性质及三角形的外角性质，得∠B、∠C的关系为解决问题的关键．
本题主要考查了等腰三角形的性质及图形的旋转性质．
【解析】解：如果AB=CD，AD//BC，那么四边形ABCD是不一定是平行四边形，如等腰梯形，故选项A 不符合题意；
如果AC=BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是矩形，如等腰梯形中的对角线可能相等且垂直，故选项B不符合题意；
如果AB=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是菱形，如直角梯形，故选项C不符合题意；
如果AO=CO，BO=DO，BC=CD，∠ABC=90°，那么四边形ABCD是正方形，故选项D符合题意；
故选：D．
根据各个选项中的说法可以判断是否正确，并对错误的举出反例即可．
本题考查正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．
6.【答案】C
【解析】解：作PH⊥BC交BC的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，
∠DAF=∠ABE=∠DCB=∠DCH=90°，
∵DF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAE=90°，∠ADF+∠DAE=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∴△ADF≌△BAE(ASA)，
∴DF=AE，
∵四边形DFEP是平行四边形，
∴DF=PE，DF//EP，
∴AE=PE，AE⊥EP，
∴∠AEP=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠PEH=90°，
∴∠BAE=∠PEH，
又∵∠ABE=∠H=90°，AE=EP．
∴△ABE≌△EHP(AAS)，
∴PH=BE，AB=EH=BC，
∴BE=CH=PH，
∴∠PCH=45°，
∵∠DCH=90°，
∴∠DCP=∠PCH，
∴CP是∠DCH的角平分线，
∴点P的运动轨迹是∠DCH的角平分线，∠PCH=45°始终不变
∵∠FAE+∠EPC=∠PEH+∠EPC=∠PCH，
∴∠FAE+∠EPC=45°，一直不变．
故选：C．
7.【答案】0.1
【解析】解：因为共有40个数据，且第五组的频率为0.20，所以第五组的频数为0.2×40=8；
=0.1．
则第六组的频数为40−(8+7+7+6+8)=4，所以第六组的频率为4
40
故答案为：0.1．
本题已知数据总个数和前四个组的频数，只要求出第五组的频数，就可用总数据40减去第一至第五组的频数，求出第六组的频数，从而求得第六组的频率．
本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．注意：每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和．
8.【答案】0.8
【解析】【分析】
本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是理解当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】
解：根据表格数据可知：
根据频率稳定在0.8，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．
故答案为：0.8．
9.【答案】24%
【解析】【分析】
本题考查了条形统计图的知识，题目相对比较简单，解题的关键是正确的识图，并从图形中整理出有关的解题的信息．用满分人数除以总人数即可得出满分率．
【解答】
×100%=24%，
解：估计全体学生社会实践活动成绩的满分率是：12
2+9+13+14+12
故答案为：24%．
10.【答案】3
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，点O是BD的中点，
∵OE⊥AD，
∴AB//OE，
∴OE是Rt△ABD的中位线，
AB=3．
∴OE=1
2
故答案为3．
先根据矩形的性质得出OE//AB，再由点O是BD的中点得出OE是Rt△ABD的中位线，所以
OE=1
AB=3．
2
本题考查了矩形的性质和三角形的中位线的性质，培养学生综合运用知识解题的能力．
11.【答案】24
5
【解析】解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=1
2AC=3cm，BO=1
2
BD=4cm，AC⊥BD，
∴BC=BO2+CO2=9+16=5cm，
∴S菱形ABCD=1
2AC⋅BD=1
2
×6×8=24(cm2)，
∵S菱形ABCD=BC×AE，
∴BC×AE=24，
∴AE=24
5
(cm)，
故答案为：24
5
．
根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
此题考查了菱形的性质，以及勾股定理，关键是掌握菱形的面积的两种表示方法，菱形的对角线互相垂直且平分．
12.【答案】∠B≥90°
【解析】解：反证法证明命题：“已知△ABC，AB=AC，求证：∠B<90°.”第一步应先假设∠B≥90°，故答案为：∠B≥90°．
根据反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，即∠B<90°的反面是∠B≥90°解答．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
13.【答案】8
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC=1
2AC，OB=OD=1
2
BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=2OA=8，
故答案为：8．
由矩形的性质和已知条件得出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=4，AC=2OA=8．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：∵正方形ABCD的面积为2，
∴1
BD2=2，
2
解得BD=2，
∵菱形DEBF的面积为1，
BD⋅EF=1，
∴1
2
×2EF=1，
即1
2
解得EF=1，
故答案为：1．
由正方形ABCD的面积可求解BD的长，再根据菱形DEBF的面积即可求解EF的长．
本题主要考查正方形的性质，菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
15.【答案】10
【解析】解：如图：连接BG，交AC于点P．
∵B与D关于直线AC对称，
∴PD+PG的最小值是BG的长，
∵正方形ABCD的边长为2，E为DC的中点，
∴CE=GE=1，BF=3，
在Rt△BFG中，DE=BF2+GF2=32+12=10，
则PB+PE的最小值是10；
故答案为：10．
根据正方形的轴对称性可知，D点关于AC的对称点为B点，连接BG，根据勾股定理求出BG的长，进而得到答案．
本题主要考查的是轴对称−最短路径问题、正方形的性质，掌握轴对称−最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．
16.【答案】证明：连接AE、CF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
又∵DF=BE，
∴AF=CE，
又∵AF//CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AC、EF互相平分．
【解析】本题考查了平行四边形的性质和判定，是中考常见题型，比较简单．连接AE、CF，证明四边形AECF为平行四边形即可得到AC、EF互相平分．
17.【答案】解：(1)如图①，平行四边形ABDC为所作；
(2)如图②，PQ为所作．
【解析】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
(1)分别以B、C点为圆心，以AC、AB为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形ABDC满足条件；
(2)连接AO，延长AO到G使OG=AO，再作∠PGA=∠OAN交AM于P，连接PO并延长交AN于Q，则PQ满足条件．
18.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=CB，AD//CB，
∴∠ADF=∠CBE，
在△ADF和△CBE中，
{AD=CB
∠ADF=∠CBE
，
DF=BE
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴∠AFD=∠CEB；
(2)∵△ADF≌△CBE，
∴AF=CE，
∵∠AFD=∠CEB，
∴∠AFE=∠CEF，
∴AF//CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，
∵OA=OE，
∴AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形．
【解析】(1)由平行四边形的性质得出AD=CB，且AD//CB，证明△ADF≌△CBE(SAS)，由全等三角形的性质得出∠AFD=∠CEB；
(2)证明四边形AECF是平行四边形，证出AC=EF，则可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
19.【答案】0.63010
【解析】解：(1)观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；
(2)黑球的个数为50×0.6=30个，
故答案为：30；
(3)想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同，即：在袋子中增加相同的白球10个．
故答案为：10．
(1)观察摸到黑球的频率后观察表格即可得到；
(2)大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数；
(3)使得黑球和白球的数量相等即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD．
∵DE=CD，
∴AB=DE．
∴四边形ABDE是平行四边形；
(2)∵AD=DE=4，
∴AD=AB=4．
∴▱ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，BO=1
2BD，∠ABO=1
2
∠ABC．
又∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°．
在Rt△ABO中，AO=2，BO=42−22=23．
∴BD=43．
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE//BD，AE=BD=43．
又∵AC⊥BD，
∴AC⊥AE．
在Rt△AOE中，OE=AE2+AO2=213．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
(1)根据平行四边形的性质和判定证明即可；
(2)根据菱形的判定、含30°角的直角三角形和勾股定理即可．
21.【答案】解：(1)500；
(2) 36°，补全条形统计图，如图所示：
(3)8000×(1−40%−10%−15%)=2800(人)．
答：这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为2800人．
【解析】解：(1)(120+80)÷40%=500(人)．
即参与问卷调查的总人数为500人．
故答案为：500；
(2)360°×10%=36°；
500×15%−15=60(人)．
补全条形统计图，如图所示：
故答案为：36°；
(3)见答案．
(1)根据喜欢支付宝支付的人数÷其所占各种支付方式的比例=参与问卷调查的总人数，即可求出结论；
(2)用360度×10%即可得出扇形“D”圆心角的度数，根据总人数和“C”所占比例即可得出40～60现金支付人数，再将条形统计图补充完整即可得出结论；
(3)根据喜欢微信支付方式的人数=社区居民人数×微信支付所占各种支付方式的比例，即可求出结论．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】(1)证明：连接AC，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．∴EF、GH分别是△ABC、△ACD的中位线，
∴EF//AC，EF=1
2AC，GH//AC，GH=1
2
AC，
∴EF=GH，EF//GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)AC=BD．
【解析】【分析】
本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能求出四边形是平行四边形是解此题的关键．
(1)连接AC，根据三角形的中位线定理求出EF=GH，EF//GH，推出平行四边形EFGH即可；
(2)根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】
(1)见答案．
(2)“飞镖形”ABCD满足条件AC=BD时，四边形EFGH是菱形AC=BD，
证明如下：连接BD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF=GH=1
2AC，EH=FG=1
2
BD，
∵AC=BD，
∴EF=GH=EH=FG，
∴四边形EFGH是菱形．
23.【答案】解：(1)如图，EF即为所求．
(2)四边形AFCE是菱形．理由如下：
∵四边形AFCE是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AEF=∠CFE，∠EAC=∠FCA．
设AC与EF交于点O，
由题意可得，AO=CO，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
由折叠可知，AE=CE，
∴四边形AFCE是菱形．
(3)∵四边形AFCE是菱形，
∴∠ABC=90°，
∴AC=AB2+BC2=62+82=10(cm)，
AC=5cm．
∴OC=1
2
设CF=x cm，
则BF=(8−x)cm，AF=CF=x cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，AF2=BF2+AB2，即x2=(8−x)2+62，
解得x=25
4
，
∴CF=25
4
cm．
由(2)知，四边形AFCE是菱形，∴∠COF=90°，OE=OF，
∴OF=CF2−OC2=(25
4)2−52=15
4
(cm)，
∴EF=2OF=15
2
cm．
【解析】(1)直接作线段AC的垂直平分线即可．
(2)由矩形的性质可得AD//BC，证明△AOE≌△COF，则AE=CF，可得四边形AFCE是平行四边形，由折叠可知，AE=CE，则四边形AFCE是菱形．
(3)设CF=x cm，则BF=(8−x)cm，AF=CF=x cm，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出x的值，即可得CF的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长，即可得OC的长，结合菱形的性质可得
∠COF=90°，OE=OF，利用勾股定理求出OF的长，再由EF=2OF可得答案．
本题考查翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24.【答案】4
3
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵S△ABC=1
2×AB×OH=1
2
×BC×OM，
∴OH OM =BC
AB
=4
3
，
∴λ=4
3
，
故答案为：4
3
；
(2)∵λ=1，
∴OH
OM
=1，
∴OH=OM，
又∵OH⊥AB，OM⊥BC，∴∠ABD=∠CBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD=∠ABD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(3)如图4，以点C为圆心，CB为半径作弧，交AB于点D，作BC的垂直平分线交CD于H，连接BH，并延长交AC于点F，则点F为所求点．
(1)由面积法可得S△ABC=1
2×AB×OH=1
2
×BC×OM，即可求解；
(2)由角平分线的性质可得∠ABD=∠CBD，由平行线的性质可得∠ADB=∠CBD=∠ABD，可得AB=AD，可得结论；
(3)如图4，以点C为圆心，CB为半径作弧，交AB于点D，作BC的垂直平分线交CD于H，连接BH，并延长交AC于点F，则点F为所求点．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定，基本作图等知识，理解新定义，并运用是解题的关键．。