2019届高三数学文一轮复习：第二章 函数的概念与基本初等函数 课时跟踪训练6含解析

三、解答题 1 10．已知函数 f(x)＝a－ . |x| (1)求证：函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若 f(x)<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数 a 的取值范围． [解] (1)证明：当 x∈(0，＋∞)时， 1 f(x)＝a－ ， x
设 0<x1<x2，则 x1x2>0，x2－x1>0， 1 1 a－ a－ 1 1 x2－x1 f(x2)－f(x1)＝ >0， x2 － x1 ＝ － ＝ x1 x2 x1x2 所以 f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 1 1 (2)由题意 a－ <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设 h(x)＝2x＋ ， x x 则 a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立． 任取 x1，x2∈(1，＋∞)且 x1<x2， 1 2－ h(x1)－h(x2)＝(x1－x2) x1x2 . 因为 1<x1<x2， 所以 x1－x2<0，x1x2>1， 1 所以 2－ >0， x1x2 所以 h(x1)<h(x2)， 所以 h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 故 a≤h(1)，即 a≤3， 所以实数 a 的取值范围是(－∞，3]． [能力提升] 11．已知 f(x)＝ 取值范围是( A．(0,1) 1 1 ， C. 7 3 ) 1 0， B. 3 1 ，1 D. 7 3a－1x＋4a，x≤1， logax，x>1. 是(－∞，＋∞)上的减函数，那么 a 的
a－2 [解析] 由题意得 ≤2，解得 a≥－2，所以实数 a 的最小值为－2. －2 [答案] A 6．(2017·德州市模拟)设偶函数 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且 f(1)＝0，则不等 fx＋f－x 式 >0 的解集为( x A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) )
2
1 ＝1， a－1 即 1 1 ＝ ， b－1 3 ∴
a＝2， b＝4.
∴a＋b＝6.
[解析] 函数的定义域为{x|x≠3}．令 u＝|x－3|，则在(－∞，3)上 u 为 x 的减函 1 数，在(3，＋∞)上 u 为 x 的增函数．又∵0< <1，∴在区间(3，＋∞)上，y 为 x 的减 2 函数． [答案] (3，＋∞) 9．若函数 f(x)＝ 范围是________． ax＋1 ax＋2＋1－2a [解析] 解法一：f(x)＝ ＝ x＋2 x＋2 ax＋1 在区间(－2，＋∞)上是单调递增函数，则实数 a 的取值 x＋2
－x
选 D. [答案] D 2．已知函数 f(x)＝ x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为( A．(－∞，1] C．(－∞，－1] B．[3，＋∞) D．[1，＋∞) )
[解析] 设 t＝x2－2x－3，由 t≥0， 即 x2－2x－3≥0，解得 x≤－1 或 x≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数 t＝x2－2x－3 的图象的对称轴为 x＝1，所以函数 t 在(－∞，－1]上单调递减， 在[3，＋∞)上单调递增． [答案] B 3．下列函数 f(x)中，满足“对任意的 x1，x2∈(0，＋∞)时，均有(x1－x2)[f(x1) －f(x2)]>0”的是( 1 A．f(x)＝ 2 C．f(x)＝2x ) B．f(x)＝x2－4x＋4 D．f(x)＝log1 x
课时跟踪训练(六)
[基础巩固] 一、选择题 1．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( 1 A．y＝ 1－x C．y＝ln(x＋1) B．y＝cosx D．y＝2－x )
1 [解析] 函数 y＝ ，y＝ln(x＋1)在(－1,1)上都是增函数，函数 y＝cosx 在(－ 1－x 1 1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数 y＝2 ＝ 2 x 在(－1,1)上是减函数，故
2
[解析] (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 等价于 x1－x2 与 f(x1)－f(x2)正负号相同，故函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．显然只有函数 f(x)＝2x 符合，故选 C. [答案] C 1 4．函数 f(x)＝ 的最大值是( 1－x1－x 4 A. 5 3 C. 4 1 4 [解析] 由 f(x)＝ ≤ ， 1 x－ 2 3 3 2 ＋ 4 4 则[f(x)]max＝ ，故选 D. 3 [答案] D 5．(2017·东北三校联考(一))设函数 f(x)＝x2＋(a－2)x－1 在区间[2，＋∞)上是增 函数，则实数 a 的最小值为( A．－2 C．1 ) B．－1 D．2 5 B. 4 D. 4 3 )
1－2a ＝ ＋a. x＋2 任取 x1，x2∈(－2，＋∞)，且 x1<x2， 1－2a 1－2a 则 f(x1)－f(x2)＝ － x1＋2 x2＋2 1－2ax2－x1 ＝ . x1＋2x2＋2 ax＋1 ∵函数 f(x)＝ 在区间(－2，＋∞)上是递增的， x＋2 ∴f(x1)－f(x2)<0. ∵x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0， 1 ∴1－2a<0，a> ， 2 1 ，＋∞ . 即实数 a 的取值范围是 2 ax＋2＋1－2a 1－2a 解法二：f(x)＝ ＝a＋ ， x＋2 x＋2 ∵f(x)在(－2，＋∞)上单调递增， 1 ∴1－2a<0，∴a> ] 因为函数 f(x)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0，所以 函数 f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，且 f(－1)＝0. fx＋f－x 2fx fx 由 >0，可得 >0，即 >0， x x x 当 x<0 时，f(x)<0，即 f(x)<f(－1)，解得－1<x<0； 当 x>0 时，f(x)>0，即 f(x)>f(1)，解得 x>1. fx＋f－x >0 的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 故不等式 x [答案] A 二、填空题 1 1 7． 函数 f(x)＝ 在区间[a， b]上的最大值是 1， 最小值是 ， 则 a＋b＝________. 3 x－1 [解析] 易知 f(x)在[a，b]上为减函数， fa＝1， ∴ fb＝1， 3 [答案] 6 8．函数 y＝log1 |x－3|的单调递减区间是________．