湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中高三上学期12月联

湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中
2015届高三上学期12月联考
数学（理）试题
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、设全集(2)
,{|2
1},{|ln(1)}x x U R A x B x y x -==<==-，
则图中阴影部分表示的集合为 A ． B ． C ． D ．
2、已知，命题():(0,
),02
p x f x π
∀∈<，则
A ．是真命题，():(0,),02
p x f x π
⌝∀∈>
B ．是真命题，： ()000,
,02x f x π⎛
⎫
∃∈≥ ⎪⎝
⎭
C ．是假命题，():(0,),02
p x f x π
⌝∀∈≥
D ．是假命题，： ()000,
,02x f x π⎛
⎫
∃∈≥ ⎪⎝
⎭
3、定义在R 上的函数满足()()()(),22f x f x f x f x -=--=+，且时， ，则
A ．1
B ．
C ．
D ．
4、某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的
销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得 回归直线方程中的，据此模型预测零售价 为15元时，每天的销售量为
A ．51个
B ．50个
C ．49个
D ．48个
5、设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )
A ．31
B ．32
C ．63
D ．64
6、已知函数()3
22,()2,03
a f x x ax cx g x ax ax c a =
++=++≠，则它们的图象可能是
7、已知函数()sin()(0)4
f x x π
ωω=+
>的最小正周期为，则该函数的图象是
A ．关于直线对称
B ．关于点对称
C ．关于直线对称
D ．关于点对称
8、一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，
其中2,1AD DC BC =
==，它可能随机在草原上任何一
处（点），若落在扇形沼泽区域ADE 以外丹顶鹤能生还， 则该丹顶鹤生还的概率是（ ） A ． B ． C ． D ．
9、已知函数对于任意的满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中是函数的导函数），则下列不等式不成立的是（ ） A ． B ． C ． D ．
10、已知函数()3
2
(,f x x bx cx d bc d =+++均为常数，当时取极大值，当时取极小值，则的取
值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上 11、若不等式恒成立，则实数的取值范围是
12、定义行列式的运算:，若将函数()sin cos x
f x x
=的图象向左平移个单位，所得图象对应的函
数为偶函数，则的最小值为
13、设曲线在点处切线与直线垂直，则
14、已知命题函数()2
2
lg(4)f x x x a =-+的定义域为R ；命题，不等式恒成立，如果命题“ “为真
命题，且“”为假命题，则实数的取值范围是 15、已知函数有零点，则的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）已知幂函数223
()()m m f x x
m z -++=∈为偶函数，且在区间上是单调增函数
（1）求函数的解析式； （2）设函数3219
()()()42
g x f x ax x b x R =
++-∈，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.
17. （本小题满分12分） 已知函数()sin f x m x x =+,的最大值为2． （Ⅰ）求函数在上的值域；
(Ⅱ)已知外接圆半径，()()sin f A f B A B π
π
-
+-=，角所对的边分别是，求的值．
19. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，,60BAC CAD ∠=∠=︒, 平面,为的中点，. (I ) 求证：∥平面; ( II ) 求四面体的体积.
20. （本小题满分13分） 已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为和，且||=2，
点（1，）在该椭圆上． （1）求椭圆C 的方程；
（2）过的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若AB 的面积为，求以为圆心且与直线相切圆的方程．
21.（本小题满分14分）.已知函数，x e ax x x g )3()(2-+-=（a 为实数）． (Ⅰ) 当a=5时，求函数在处的切线方程； (Ⅱ) 求在区间[t ，t+2]（t >0）上的最小值；
(Ⅲ) 若存在两不等实根，使方程成立，求实数a 的取值范围．
浏攸醴11月高三文科数学考试答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1.
【解析】因为图中阴影部分表示的集合为，由题意可知
{}{}02,1A x x B x x =<<=<，所以 {}
{}021x x x x =<<≥，故选
2.
【解析】依题意得，当时，()3c o s 30f x x ππ'=-<-<
，函数是减函数，此时
()()03sin000f x f π<=-⨯=，即有恒成立，因此命题是真命题，应是
“()000,
,02x f x π⎛
⎫
∃∈≥ ⎪⎝
⎭
”.综上所述，应选
3.
【解析】由()()()()224f x f x f x f x -=+⇒=+，因为，所以，，所以
()()()22224log 20log 2044log 20log 15f f f f ⎛
⎫=-=--=-=- ⎪⎝
⎭.故选
4.
【解析】由题意知，代入回归直线方程得，故选
5. C [解析] 设等比数列{a n
}的首项为a ，公比为q ，易知q ≠1，根据题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧a （1－q 2）
1－q
＝3，
a （1－q 4
）
1－q ＝15，
解得q 2
＝4，a
1－q ＝－1，所以S 6＝a （1－q 6）1－q
＝(－1)(1－43)＝63.
6.
【解析】因为，则函数即图象的对称轴为，故可排除；由选项的图象可知，当时，，故函数
()3
23
a f x x ax cx =
++在上单调递增，但图象中函数在上不具有单调性，故排除本题应选 7.
【解析】依题意得，故，所以
sin 2sin 108842f ππππ⎛⎫⎛⎫
=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
sin 2444f πππ⎛⎫⎛⎫
=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，因此该函数的图象关于直线对称，不关于点和点对称，也不关于直
线对称.故选
8.
【解析】过点作于点，在中，易知，
梯形的面积()115221122
S =++⨯=,
扇形的面积2
21
24
4
S π
π
=⨯
⨯
=
，则丹顶鹤生还的概率
12152415102
S S P S ππ-
-===-，故选
9.A 10.
【解析】因为，依题意，得
()()()00,1230,24120,f c f b c f b c '=>⎧⎪
'=++<⎨⎪'=++>⎩
则点所满足的可行域如图所示（阴影部分，且不包括边界），其中，，.
()2
2132T b c ⎛
⎫=++- ⎪⎝
⎭表示点到点的距离的平方，因为点到直线的距
离
d =
=，又()2
2
214.563252PA ⎛
⎫=-++-= ⎪⎝
⎭，所以，故选
二、填空题：（5题，每题5分） 11.
【解析】由于()()13134x x x x ++-≥+--=，则有，即 ，解得，故实数的取值范围是. 12.
【解析】(
)sin 2cos 6f x x x x π⎛
⎫
=-=+ ⎪⎝
⎭
，平移后得到函数 ，则由题意得
,,6
6
t k t k k Z π
π
ππ+==-
∈，因为，所以的最小值为.
13.1
【解析】由题意得()()()222cos sin 2cos sin 12cos sin sin x x x x x y x
x
''----'==，在点处的切线的斜
率12
12cos
2 1.sin 2
k π
π
-=
=
又该切线与直线垂直，直线的斜率， 由，解得
14.
【解析】若命题为真，则2
16402a a ∆=-<⇒>或.若命题为真，因为，所以.因为对于，不
等式恒成立，只需满足，解得或.命题“”为真命题，且“”为假命题，则一真一假.
①当真假时，可得22,
2616a a a a ><-⎧⇒<<⎨
-<<⎩
或； ②当时，可得22,
2116
a a a a -≤≤⎧⇒-≤≤-⎨
≤-≥⎩或.
综合①②可得的取值范围是. 15.
【解析】由，解得 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增.
故该函数的最小值为()ln2
ln 22ln 222ln 2.f e
a a =-+=-+
因为该函数有零点，所以，即，解得 故的取值范围是. 16.【答案】（1） （2） （1）在区间上是单调增函数，
即又…………………4分
而时，不是偶函数，时，是偶函数，
. …………………………………………6分 （2）2
'()(39),g x x x ax =++显然不是方程的根.
为使仅在处有极值，必须恒成立，…………………8分 即有，解不等式，得.…………………11分 这时，是唯一极值.. ……………12分
17.解：（1）由题意，的最大值为，所以．………………………2分 而，于是，．…………………………………4分 在上递增．在递减，
所以函数在上的值域为；…………………………………5分
（2
）化简ππ
()()sin 44
f A f B A B -+-=得
sin sin sin A B A B +=．……7分
由正弦定理，得，……………………………………………9分 因为△ABC 的外接圆半径为．．…………………………11分 所以…………………………………………………………………12分 18. 解：(Ⅰ) 由 ①
可得：． 同时
②
②-①可得：
．
从而为等比数列，首项，公比为．． ————————
6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，
————8分
故
．——12分
19、答案：1)法一： 取AD 得中点M ，连接EM,CM.则EM//PA 因为,,EM PAB PA PAB ⊄⊂平面平面
所以， （2分）
在中，60,CAD CM AM ∠=︒= 所以，
而,所以,MC//AB. （3分） 因为,,MC PAB AB PAB ⊄⊂平面平面 所以， （4分） 又因为
所以，//EMC PAB 平面平面
因为,//EC EC PAB ⊂平面EMC 所以，平面 （6分） 法二： 延长DC,AB,交于N 点，连接PN. 因为60,NAC DAC AC CD ∠=∠=︒⊥ 所以，C 为ND 的中点. （3分） 因为E 为PD 的中点，所以，EC//PN 因为,,EC PAB PN PAB ⊄⊂平面平面
//EC PAB 所以，平面 （6分）
2)法一：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= （7分）
M E
P
D
C
B
A
N D
因为，，所以， （8分） 又因为,CD AC AC
PA A ⊥=，所以， （10分）
因为E 是PD 的中点，所以点E 平面PAC 的距离， 所以，四面体PACE
的体积1
123
3PAC
V S h =
⨯=⨯=
（12分） 法二：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 因为，
，所以，1
1233P ACD ACD
V S PA -=
⨯=⨯⨯= （10分） 因为E 是PD 的中点，所以，四面体PACE 的体积 （12分）
20.（1）椭圆C 的方程为 ……………．．（4分） （2）①当直线⊥x 轴时，可得A （-1，-），B （-1，），AB 的面积为3，不符合题意． …………（6分） ②当直线与x 轴不垂直时，设直线的方程为y=k （x+1）．代入椭圆方程得：
01248)43(2222=-+++k x k x k ，显然＞0成立，设A ，B ，则
，，可得|AB|= ……………．．（9分）
又圆的半径r=，∴AB 的面积=|AB| r==，化简得：17+-18=0，得k=±1，∴r =，圆的方程为……………．．（13分）
21.解:(Ⅰ)当时2()(53)x g x x x e =-+-⋅,. ………1分
2()(32)x g x x x e '=-++⋅，故切线的斜率为. ………2分
所以切线方程为:,即. ………4分 (Ⅱ),
………6分
①当时,在区间上为增函数,
所以min ()()ln f x f t t t == ………7分 ②当时,在区间上为减函数,在区间上为增函数,
所以 ………8分 (Ⅲ) 由，可得：223ln x x x ax =-+-， ………9分 ,
令, 22)1)(3(321)(x x x h -+=-+
=' .
………10分 , , .
12
420()()h e h e e e
-=-+<.
实数的取值范围为. ………14分。