华东师大初中数学九年级上册直角三角形(提高)知识讲解

直角三角形（提高）
：
【学习目标】
1．认识直角三角形, 学会用符号和字母表示直角三角形．
2．掌握直角三角形的性质定理,并能灵活的应用性质定理解答和证明相关问题.
3. 掌握直角三角形的判定定理，并能灵活应用.
【要点梳理】
要点一、直角三角形的概念
有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.
要点诠释：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.
要点二、直角三角形的性质定理
定理1：直角三角形的两个锐角互余.
要点诠释：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.
定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
定理3：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则
证明：取AB中点D，连接CD
则CD=BD=AD=，
∵在Rt△ ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°
∴∠B=60°，
∴△BCD为等边三角形
∴
要点三、直角三角形的判定定理
定理1：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
定理2：在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，
求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵AD=CD，
∴∠A=∠1．
同理∠2=∠B．
∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，
即2（∠1+∠2）=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即：∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【典型例题】
类型一、直角三角形两锐角互余性质的应用
1、（2016秋•利川市校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【思路点拨】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C=∠BDF=∠BAD=∠ADE．【答案与解析】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B=90°，∠BDF+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°，
∴∠C=∠BDF=∠BAD，
∵∠DAC+∠C=90°，∠DAC+∠ADE=90°，
∴∠C=∠ADE，
∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，
故选：A．
【总结升华】此题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．
举一反三：
【变式】（2015春•张掖校级月考）在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多10°，求这两个锐角的度数．
【答案】解：设另一个锐角为x°，则一个锐角为（3x+10）°，
由题意得，x+（3x+10）=90，
解得x=20，
3x+10=3×20+10=70，
所以，这两个锐角的度数分别为20°，70°．
类型二、含30°角的直角三角形
2、已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．
【思路点拨】由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半得到CM=1
2
AB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB=
1
2
AB=BM，则CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【答案与解析】
证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点，
∴CM=1
2
AB=BM，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴CB=1
2
AB=BM，
∴CM=CB，
∵D为MB的中点，
∴CD⊥BM，即CD⊥AB．
【总结升华】本题考查了含30°的直角三角形的性质：30°所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质．
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．
（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD；
（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°．
【思路点拨】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACD=∠B=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出AB=2AC，AC=2AD即可；
（2）取AB的中点O，连接CO，设AD=x，则BD=3x，AB=4x，根据直角三角形斜边上中线求出AO=CO，AD=DO，证△COA是等边三角形即可求出答案．
【答案与解析】
证明：（1）∵∠C=90°，CD⊥AB，∠A=60°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∵∠C=90°，CD⊥AB，
∴AB=2AC，AC=2AD，
∴AB=4AD，
∴BD=3AD．
（2）取AB的中点O，连接CO，
∵BD=3AD，
∴设AD=x，则BD=3x，AB=4x，
∵∠C=90°，O是AB的中点，
∴OC=OA=2x，
∴OD＝x＝1
2 CO，
∵CD⊥AB，
∴∠OCD=30°，
∴∠COD=60°，
∵OA=OC，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠A=60°．
【总结升华】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD= 1
2
DC．
【答案】解：如图，连接DB ．
∵MN 是AB 的垂直平分线，
∴AD=DB ，
∴∠A=∠ABD ，
∵BA=BC ，∠B=120°，
∴∠A=∠C=12
（180°-120°）=30°， ∴∠ABD=30°，
又∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=120°-30°=90°，
∴BD=
12
DC ， ∴AD=1DC ．
【答案】
类型三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4、某中学师生在劳动基地活动时，看到木工师傅在材料边角处画直角时用了一种“三弧法”．方法是：
①线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧相交于C．
②以C为圆心，仍以AB长为半径画弧交AC的延长线于D．
③连接DB．
则∠ABD就是直角．
（1）请你就∠ABD是直角作出合理解释．
（2）现有一长方形木块的残留部分如图，其中AB，CD整齐且平行，BC，AD 是参差不齐的毛边．请你在毛边附近用尺规画一条与AB，CD都垂直的边（不写作法，保留作图痕迹）
【思路点拨】（1）根据方法作出图形，根据画法可以判定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的每三个角都是60°，可得∠1=∠2=∠3=60°，再根据等边对等角的性质可得∠4=∠5，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠4+∠5，然后求出∠5的度数，再列式求出∠2+∠5=90°，即∠ABD是直角；
（2）在AB边毛边附近选取一点E，然后利用“三弧法”作出∠AEF=90°即可得解．
【答案与解析】
（2）如图2，根据“三弧法”画法，EF即为与AB，CD都垂直的边．
【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，读懂题意，弄明白“三弧法”的画法，并从中找出相等的边是解题的关键．
5、有一个直角三角形纸片BCE，设点A是斜边BE上的一点，连接AC，现沿AC将纸片剪开，并将纸片ADE顺时针旋转摆放成图2、图3、或图4的样子．
（1）如图2，当点A是中点，且DE∥BC时，求∠BAE的度数；
（2）如图3，当点A是中点，但DE不平行于BC时，设M是DE的中点，连接AM交BC于点N，求证：∠ANB+∠BAE=180°；
（3）如图4，当AB＜AE时，设M是DE上的一点，连接AM交BC于点N，若∠ANB+∠BAE=180°，那么点M在DE上的位置满足什么条件？
（温馨提示：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）
【思路点拨】（1）根据性质推出AB=AE=AC，根据等腰三角形的性质推出∠B=∠ACB，
∠E=∠ACE，根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出即可；
（2）求出等腰三角形ADE，推出∠MAE=∠DAE=∠B即可；
（3）求出∠E+∠MAE=∠E+∠B=90°即可．
【答案与解析】
解：（1）在图1中，∵∠ECB=90°，A是BE的中点，
∴AB=AE=AC，
∴∠B=∠ACB，∠E=∠ACE，
∴∠B+∠E=90°，
在图2中，∵DE∥BC，
∴∠AHB=∠E，
∴∠B+∠AHB=90°，
∴∠BAE=180°﹣90°=90°；
（2）∵在第二问中A是中点，在直角三角形中连斜边中点得到的是两个等腰三角形，
所以∠B=∠AC B=∠DAE（因为∠DAE是原来的外角），
又∵同时AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，底边上的中线就也是顶角的角平分线，
∴∠MAE=∠DA M=∠B，
∴∠ANB+∠BAE=∠ANB+∠BA M+∠MAE=∠ANB+∠BA M+∠B=180°
即∠ANB+∠BAE=180°．
（3）与（2）类似：同理∠B=∠MAE，同时∠E是原来直角三角形里的另一个锐角，就是∠B 的余角，
所以∠E+∠MAE=∠E+∠B=90°
结论：M是A在DE上的垂足．
【总结升华】本题主要考查对三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能正确运用选择进行推理是解此题的关键．
举一反三：
【变式】已知：如图，△ABC中，M为BC中点，DM⊥ME，MD交AB于D，ME交AC 于E．求证：BD+CE＞DE．
【答案】
证明：如图，延长DM到F，使MF=DM，连接EF、
CF，
∵BM=CM，∠BMD=∠CMF，
∴△BDM≌△CFM（SAS），
∴BD=CF，
∵DM⊥ME，DM=FM，ME是公共边，
∴△DEM≌△FEM（SAS），
∴DE=FE，
在△ECF中，EC+FC＞EF，
∴BD+EC＞DE．
类型四、直角三角形的判定
6、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并说明理由．
【思路点拨】连接OA．先证得△OAN≌△OBM，然后根据全等三角形的对应边相等推知OM=ON；然后由等腰直角三角形ABC的性质、等腰三角形OMN的性质推知∠NOM=90°，即△OMN是等腰直角三角形．
【答案与解析】
解：△OMN是等腰直角三角形．
理由：连接OA．
∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，
∴AO=BO=CO（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）；
∠B=∠C=45°；
在△OAN和OBM中，
，
∴△OAN≌△OBM（SAS），
∴ON=OM（全等三角形的对应边相等）；
∴∠AON=∠BOM（全等三角形的对应角相等）；
又∵∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠NOM=∠AON+∠AOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．
【总结升华】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．解答该题的关键一步是根据等腰直角三角形ABC的“三线合一”的性质推知OA=OB=OC．
举一反三：
【变式】一个三角形内角度数比是3：2：5，这个三角形是三角形．
【答案】直角.
因为三角形的内角和是180度，利用按比例分配的方法求出最大角的度数为：
180°×=90°；
所以这个三角形是直角三角形．
【变式2】如图，△ABC中，∠A＝1
2
∠B＝
1
3
∠ACB，CD是高，S表示三角形的面积．求证：
S△ACD=3S△BCD．
【答案】
∵三角形三内角的和是180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°，
即∠A+2∠A+3∠A=180°，
∴∠A=30°，
∴AB=AD+BD=4BD，得AD=3BD．。