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三角形解题中的数学思想方法例析
数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的 桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此，在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运 用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转化思 想、数形结合思想等举例予以说明，以供同学们学习参考应用.
一、分类讨论思想
当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论吋，必须按可能出现的所有情况分别 來讨论，得出各种情况下相应的结论的处理问题的思维方法。

例如三角形的分类：
不等边三角形
锐角三角形（三个角都是锐角）
②按角分：三角形 直角三角形（有一个角是直角）
钝角三角形（有一个角是钝角）
例1已知等腰三角形的周长为21cm,两条边长之差为3 cm,求各边的长。

分析 已知两边之差为3 cm,则较长的边有可能是腰也有可能是底，故应分两种财政部 进行进行讨论。

解：设腰长为xcm,①当较长边为腰时，则有2兀+ （兀一3） = 21,解得X = 8。

此吋三边长分别为8 cm, 8 cm, 5 cm 。

符合题意。

②当较长边为底时，则有2兀+ （兀+ 3） = 21,解得x = 60
此时三边长分别为6 cm, 6 cm, 9 cm 。

符合题意。

所以三边为 8 cm, 8 cm, 5 cm 或 6 cm, 6 cm, 9 cm 。

例2在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm 和6cm 两部分，求三角形 各边的长. 分析:要注意等腰三角形有两边相等，一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题 中未指明哪一段为15cm,哪一段为6cm,故需分类讨论.
解:设腰长为xcm,底边为ycm,即AB 二x,则AD=CD=- x,BC=y
（1）若 x+丄 x=6 时,则 y+丄 x=15.
2 2
由x+丄x=6得x=4.把x=4代入y+丄x=15得y=13.
2 2 因为4+4V13,所以不能构成三角形.
⑵ 若x+ —x=15时，则y+—x=6・
2 2
由 X+丄 x=15 得 x=10.把 x=10 代入 y +-x=15 得 y=l ・ 2 2
10+1 > 10符合题意，所以三角形三边分别为10cm 、10cm 、1cm.
例3已知非直角三角形ABC 屮,ZA 二45。

,高BD 和CE 所在直线交于H,求ZBHC 的度
①按边分: 三角形 等腰三角形 腰和底边不相等的三角形
等边三角形
分析:三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分两种情况加A
以讨论.
解:⑴当AABC为锐角三角形时（图2）/
・・• BD、CE 是△ ABC 的高，ZA=45°, A ZADB=ZBEH=90°. 舲、在厶ABD 中，ZABD= 180o-90°-45o=45°.
•・• ZBHC 是ZXBHE 的外角，二ZBHC=90°+45°=135°.
⑵当AABC为钝角三角形时（图3）
A TH是AABC两条高所在直线的交点ZA=45°,
・・・ Z ABD=180o-90°-45o=45°.
在RtABEH 中，ZBHC= 180o-90°-45o=45°.
・・・ZBHC的度数是135。

或45°.
注意：涉及三角形高的问题，常常会因为高的位置而需
要讨论，否则就会漏解.
二、方程思想
运用列方程的方法来解决与图形有关的计算问题是十分有效的手段。

例4已知一个多边形，它的内角和等于外角和的3倍，且它的每一个内角都相等，求这个多边形各角的度数。

解析由于内角和等于外角和的3倍，可求出内角和，根据内角和反求出边数是解本题的关键；通过列方程来求解是解此类问题的一般方法。

解：设这个多边形的边数为斤，则有180°xG —2） = 3x360°,解得〃二8。

所以每内
角的度数为（8-2）x180°-8 = 135°,或每外角的度数为360°^8 = 45°所以每内角的度数
为135°0
例5 如图4,在厶ABC 中,ZB=ZC, Z1=Z2, ZBAD=40°.求ZEDC.
分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于ZEDC的方程. 解:设ZEDC=x.
A 因为Z1是Z\DEC
的外角，所以Zl=x+ZC. /k
又因为Z1 = Z2,所以Z2=x+ZC. X
又因为/2是厶ABD的外角，所以ZADC二ZB+ZBAD. X Q1人|、
所以ZB+ZBAD 二Z2+x,即ZB+40JZC+2X. B 5~~
因为ZB =ZC,所以2x=40°,解得x=20°. 图4
评注:方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解.事实上,用设未知数的方法表示所求，可使计算过程书写简便，也易于表明角与角之间的关系.
三、转化与化归思想
转化与化归思想是屮学数学屮常见的一种数学思想方法，它的应用十分广泛，我们在解决数学问题时，经常运用转化与化归的思想，将复杂问题转化成简单的问题，将未知转化为已知，将生疏的问题转化为熟悉的问题等等。

例如在本章屮多边形的内角和公式和外角和公式都是通过将多边形转化成三角形来解决的。

大家可以观察下面例子。

例6如图5, 一艘货轮在A处看见巡逻艇M在其北偏东62°的方向上，此吋一艘客轮在B处看见巡逻艇M在其北偏东13°的方向上，此时从巡逻艇上看这两艘轮船的视角ZAMB
有多大?
分析F 、B 、M 的连线构成△ FBM,所求的
ZAMB 是Z\FBM 的一个内角，如果能求出△FBM 的 外角ZAFB 、AFBM
的内角ZFBM,就能求出ZAMB 。

本题材可将方位角的问题转化为三角形的内角或外角的问题，这是 解决此类
问题的关键。

解：由 AD/7BF ,可得 ZAFB=ZDAM=62° ,因为
ZAFB 二 ZAMB+ZFBM
所以 ZAMB=ZAFB-ZFBM=62°-130=49°o
答：从巡逻艇上看这两艘轮船的视角ZAMB 是49°。

例7如图6,求五角星各顶角Z 和.
分析:因为ZA 、ZB 、ZC 、ZD 、ZE 较分散，本例中又 不
知其度数，因此，应设法将它们集屮起来，将问题转化为三角 形
来处理.根据三角形外角性质和内角和定理可以求解.
解:因为 Z1 = ZC+ZE,Z2=ZB+ZD,
又 因 为 Z1+Z2+ZA 二180。

， 所 以 ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.
评注 此题还对以连接CD 求解.当我们求多个角之和不能直接计算
时，应考虑转化为三 角形求解.
四、整体思想
研究某些数学问题吋，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将待解决的问题看 作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构做整体处理后，达到解决问题的目的.
例 8 如图 7,求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG 的 度数.
分析:观察图形可得，图由一个四边形和一个三角形构 成，可
根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和.
解:因为 ZA+ZC+ZE=180°,
又因为 ZB+ZD+ZF+ZG=360。

， 所以 Z A+ Z B+Z C+ Z D+ Z E+ Z F+ Z G=540。

.
评注:例题小若直接求出每一角的度数再求其和显然 是做不
到的.因此，设法整体求值是解题的关键.事实上,有些数学问题，如果从局部去考虑，拘泥 于常规，则举步维艰.如果从全局着手，突破常规，则会柳暗花明.
五、数形结合思想
例9 如图8,在AABC 中，已知AD 是角平分线，ZB=60°,ZC=45°,求ZADB 和ZADC 的度数. 分析:在AABD 中,ZADB 是一个内角,它等于180°-ZB-ZBAD,故求tllZBAD 即可求出 ZADB 的度数，这由已知条件不难求得;同理可求出ZADC 的度数.
▲ A
解:在Z\ABC 中， J ZB 二60。

，ZC=45°, ZB+ZC+ZBAC=180°,
/ \ A ZBAC= 180°-ZB-ZC= 180o -60°-45o =75°. / \
又 VAD 是角平分线，・・・ ZBAD=ZDAC=^ ZBAC=37.5°. / ---------- ----------- \
A
D
在厶ABD 44,ZADB=180O -ZB-ZBAD=180O -60O -37.5O =82.5°.
同理 Z ADO 180°-ZC-ZDAC= 180°-45o -37.5o =97.5°.
评注 几何与代数是患难兄弟，密不可分.在求解几何题中，通常数与形要结合起来才 能打开思路，进行运算.否则，一头舞水，扑朔迷离，茫然不知所措.
六、数学建模思想
针对要解决的问题，构建适当的数学模型，再通过对数学模型的研究来达到解决问题的 目的的思维方式就是数学建模思想。

例10 —个零件的形状如图1所示，按规定，ZCAB 应等于900, ZC 、ZB 应分别等 于200和300。

李师傅量得ZCDB=1420,就断定了这个零件不合格，你能说出其中的道理
吗？
分析 解决实际问题时，善于将实际问题抽象成 数学问题，建立适
当的数学模型。

由ZA 、ZB 、ZC 的度数计算1UZBDC 的大小，即作 出判断。

本题需
将ZBDC 转化为三角形的外角。

解：延长 BD 交 AC 于 E,则ZCDB 二ZC+ZCED ； 又ZCED
二ZCAB+ZB,所以ZCDB=ZC+ZCAB+ZB=1400o 而实际测量ZCDB=1420,所以可以断定这个零件不合格。

（此题还有其它解法，图中给出了辅助线） 数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，它反映了数学的本质特征，是对数学概 念、原理和方法的本质认识，是分析和处理数学问题的指导思想，数学思想方法是具体数学 知识技能转化为能力的纽带，是知识与技能的升华.在《三角形》这一章屮，蕴涵着许多重 要的数学思想 、C
图10。