2020年山东高考数学金榜冲刺卷04(含解析)

2020年高考金榜冲刺卷（四）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求．
1．已知集合{}1,2,3A =，集合{}
,,B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合B 中元素的个数为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2．已知角α的终边经过点(,2)P x ，且cos α=x =（ ） A ．4- B ．2- C ．2
D ．4
3．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） A ．6升
B ．8升
C ．10升
D ．12升
4．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥
D ．若αβ⊥，则m α⊥
5．已知平面向量a b v v ，满足
(1,1)a =-v ，||1b =u u v ，2a b +=v
v a v 与b v 的夹角为（ ） A ．
6
π
B ．
56
π C ．
4
π D ．
34
π 6．函数()cos()(0,0,||)f x A x A ωφωφπ=+>><的部分图象如图所示，现将此图象向左平移12
π
个单位
长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）
A ．()2sin 2=-g x x
B ．7()2cos 212g x x π⎛⎫=-
⎪⎝
⎭ C ．()2sin 2g x x =
D ．5()2cos 26
g x x π⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
7．2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去,,A B C 三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为（ ）
A ．
1
12
B ．18
C ．16
D ．14
8．已知直线l 不过坐标原点O ，且与椭圆22
:143
x y C +=相交于不同的两点,,A B OAB ∆
2
2
OA OB +的值是（ ）
A ．4
B ．7
C ．3
D ．不能确定
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部
选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） A ．若复数3i z =+，则
131010
i
z =-． B ．复数z 满足21z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2
221x y +-=．
C ．若复数1z ，2z 满足21z z =，则120z z ≥．
D ．复数13z i =-的虚部是3．
10．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方
程为22
1169
x y -
=的是（ ） A ．离心率为
54
B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．渐近线方程为340±=x y
D ．实轴长为4
11．已知函数()2x f x =，2
()g x x ax =+（其中a R ∈）.对于不相等的实数1x ，2x ，设()()
1212
f x f x m x x -=
-，
()()
1212
g x g x n x x -=
-下列说法正确的是（ ）
A ．对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；
B ．对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >；
C ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =；
D ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-.
12．三棱锥P−ABC 的各顶点都在同一球面上，PC ⊥底面ABC ，若1PC AC ==，2AB =，且60BAC ∠=︒，则下列说法正确的是（ ） A ．PAB ∆是钝角三角形
B ．此球的表面积等于5π
C ．BC ⊥平面P AC
D ．三棱锥A−PBC 的体积为
2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设命题p ：x R ∀∈，()2cos 30x
x π-->，则p ⌝为__________．
14．已知二项式2n
x
⎛
⎝
的展开式中，第5项是常数项，则n =__________；二项式系数最大的项的系
数是__________．（本题第一空3分，第二空2分）
15．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且()
21n n n a a a n N *
++⋅=∈，则2019a 的值为__________．
16．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点的的个数是__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量2
(cos ,2cos
1)2
C
m B =-r
，(,2)n c b a =-r
且0m n ⋅=u r r ．
（1）求角C 的大小；
（2）若ABC ∆
的面积为6a b +=，求c ．
18．（12分）在①325256a a a b =+=，；①234323b a a b =+=，；①345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．
（2）记n
n n
a c
b =
，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
19．（12分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除点,A B 外的一个动点，DC 垂直于O e 所在的平面，垂足为C ，//DC EB ，且1DC EB ==，4AB =.
（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；
（2）当C 为半圆弧的中点时，求二面角D AE B --的余弦值.
20．（12分）某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x （单位：只）的统计情况如下表：
这300天内（假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡()71418a a ≤≤只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a 只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56a -元的价钱处理.
（1）若16a =，求养鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于需求量x （单位：只，*N x ∈）的函数解析式；
（2）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？
21．（12分）如图，已知点F 为抛物线C ：2
2y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交
于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.
（1）求抛物线C 的方程.
（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
22．（12分）已知函数()2ln ()a
f x ax x a R x
=-
-∈. （1）若()f x 是定义域上的增函数，求a 的取值范围； （2）设35
a >
，,m n 分别为()f x 的极大值和极小值，若S m n =-，求S 的取值范围.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求．
1．已知集合{}1,2,3A =，集合{}
,,B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合B 中元素的个数为（ ） A ．4 B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】{}1,2,3A Q =，{}
,,B z z x y x A y A ==-∈∈，1,2,3x ∴=，1,2,3y =.当1x =时，
0,1,2x y -=--;当2x =时，1,0,1x y -=-；当3x =时，2,1,0x y -=.即2,1,0,1,2x y -=--，即
{}2,1,0,1,2B =--共有5个元素.故选B.
2．已知角α的终边经过点(,2)P x ，且cos α=x =（ ） A ．4- B ．2- C ．2
D ．4
【答案】A
【解析】
cos 5α=
=-，∴2
2445x x =+，且0x <，解得4x =-，故答案A. 3．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A ．6升
B ．8升
C ．10升
D ．12升
【答案】B
【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
48
1008600
⨯=升，故选B. 4．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则m α⊥
【答案】C
【解析】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误；对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误；对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确；对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误.故选：C.
5．已知平面向量a b v v ，满足
(1,1)a =-v ，||1b =u u v ，2a b +=v
v a v 与b v 的夹角为（ ） A ．
6
π
B ．
56
π C ．
4
π D ．
34
π 【答案】D
【解析】因为(1,1)a =-r ,则
a =r ,因为|2|a
b +=r r 等式两边同时平方可得
22
442a a b b +⋅+=r r r r ,代入
a =r ,||1
b =u u r 可得1a b ⋅=-r r ,设,a b r r 夹角为α,则由平面向量数量积的定义可
得
2cos a b a b α⋅==-⋅=r r r r ,因为0απ≤≤,所以34
πα=,故答案为 D. 6．函数()cos()(0,0,||)f x A x A ωφωφπ=+>><的部分图象如图所示，现将此图象向左平移12
π
个单位
长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）
A ．()2sin 2=-g x x
B ．7()2cos 212g x x π⎛⎫=-
⎪⎝
⎭ C ．()2sin 2g x x =
D ．5()2cos 26
g x x π⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
【答案】C
【解析】由图像可知2A =,且周期为236πππ⎡⎤⎛⎫⨯-= ⎪⎢
⎥⎝⎭⎣
⎦,故22πωπ==,故()2cos(2)f x x φ=+. 又()23
f π=可得22,3
k k Z π
φπ⨯
+=∈,又||φπ<,故23π
φ=-
.故2()2cos(2)3
f x x π=-.所以()
g x 的解析式为22cos 22cos 22sin 21232x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫+-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
.故选C. 7．2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去,,A B C 三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为（ ）
A ．
1
12
B ．18
C ．16
D ．14
【答案】C
【解析】由题意将甲乙看成一个整体,满足要求的安排方式种类有3
36m A ==,总的安排方式的种类有23
4336n A =⨯=ð,所以甲乙被安排到同一个场馆的概率为1
P 6
m n =
=.故选C.
8．已知直线l 不过坐标原点O ，且与椭圆22
:143
x y C +=相交于不同的两点,,A B OAB ∆
22
OA OB +的值是（ ）
A ．4
B ．7
C ．3
D ．不能确定
【答案】B
【解析】由题直线斜率k 不存在时，设直线x=t>0，则
=解
则2
2
7OA OB +=,k 存在时，设()()1122,,,A x y B x y ，y kx m,=+ 与椭圆22
:143
x y C +=联
立得(
)
(
)(
)
()
22
2
2
22
121222
438348430,4843,,3434m km k
x kmx m k m x x x x k k
--+++-=∆=+-+==++,
AB =，点O 到直线l 的距离
12AOB
S n ∴===得22342k m +=，即22
23
4m k -=①,又2222
11221,1,4343x y x y +=+= ()()()2222
22
2
22
121212221186182462664434k m m k OA OB x x x x x x k -++⎡⎤+=++=+-+=+⎣⎦+=22224
86182464m
k m m k -+++ 将①代入得22
7OA OB +=,故选B. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部
选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） A ．若复数3i z =+，则
131010
i z =-． B ．复数z 满足21z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2
221x y +-=．
C ．若复数1z ，2z 满足21z z =，则120z z ≥．
D ．复数13z i =-的虚部是3． 【答案】ABC
【解析】由()()11333i 3i 3i 1010
i i z -===-++-，故A 正确； 由z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()221z i x y i -=+-=
1=，
则()2
221x y +-=，故B 正确；
设复数1z a bi =+，则2z a bi =-，所以()()2
1220a bi a b z bi z a +-=+=≥，故C 正确；复数13z i =-的
虚部是-3，故D 不正确.故选：ABC.
10．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方
程为22
1169
x y -
=的是（ ） A ．离心率为
54
B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．渐近线方程为340±=x y
D ．实轴长为4
【答案】ABC
【解析】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；
A 选项，若离心率为54
，则4a =，所以222
9b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；
B 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22
2
22
812516125
a b a b c ⎧
⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：22
1169x y -=，故B 正确；
C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22
(0)169
x y m m -=>，所以
2
16925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：22
1169
x y -
=，故C 正确；D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以2
2
2
21b c a =-=，此时双曲线的方程为：22
4121
x y -
=，故D 错误；故选：ABC. 11．已知函数()2x f x =，2
()g x x ax =+（其中a R ∈）.对于不相等的实数1x ，2x ，设()()
1212
f x f x m x x -=
-，
()()1212
g x g x n x x -=-下列说法正确的是（ ）
A ．对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；
B ．对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >；
C ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =；
D ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 【答案】AD
【解析】对于A,由指数函数的单调性可得()f x 在R 上递增,即有0m >,则A 正确; 对于B,由二次函数的单调性可得()g x 在(,)2
a -∞-递减,在(2
a
-
,)+∞递增,则0n >不恒成立,则B 错误; 对于C,若m n =,可得1212()()()()f x f x g x g x -=-,即为1122()()()()g x f x g x f x -=-,
设2()2x h x x ax =+-,则应有12()()h x h x =,
而()22ln 2x h x x a '=+-,当a →-∞,()h x '
小于0,()h x 单调递减,则C 错误;
对于D,若m n =-,可得1212()()[()()]f x f x g x g x -=--,即为1122()()()()f x g x f x g x +==+
设2()2x h x x ax =++,则应有12()()h x h x =,而()22ln 2x h x x a '=++,对于任意的a ,()h x '
不恒大于0或小于0,
即()h x 在定义域上有增有减,则D 正确.故选:AD.
12．三棱锥P−ABC 的各顶点都在同一球面上，PC ⊥底面ABC ，若1PC AC ==，2AB =，且60BAC ∠=︒，则下列说法正确的是（ ） A ．PAB ∆是钝角三角形
B ．此球的表面积等于5π
C ．BC ⊥平面P AC
D ．三棱锥A−PBC 【答案】BC 【解析】如图，
在底面三角形ABC 中，由1AC =，2AB =，60BAC ∠=︒，
利用余弦定理可得：BC == ①222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，由于PC ⊥底面ABC ，①PC AC ⊥，PC BC ⊥， ①PC AC C =I ，①BC ⊥平面P AC ，故C 正确；
①2PB AB =
==，由于222
0PB AB PA +->，即PBA ∠为锐角，
①PAB ∆是顶角为锐角的等腰三角形，故A 错误；
取D 为AB 中点，则D 为BAC V 的外心，可得三角形ABC 外接圆的半径为1，
设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，连接OP ，则2OP ==，
即三棱锥P ABC -的外接球的半径为R =，①三棱锥球的外接球的表面积等于2
452ππ⎛⨯= ⎝⎭
，故
B 正确；1111326
P ABC V -=
⨯⨯=
，故D 错误；故选：BC . 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设命题p ：x R ∀∈，()2cos 30x
x π-->，则p ⌝为__________．
【答案】0x R ∃∈，()002cos 30x
x π--≤
【解析】命题p 是全称命题，则p ⌝为特称命题，故将“x R ∀∈”改为“0x R ∃∈”，将“()2cos 30x
x π-->”
改为“()002cos 30x
x π--≤”，即p ⌝为0x R ∃∈，()002cos 30x
x π--≤，故答案为：0x R ∃∈，
()002cos 30x x π--≤.
14．已知二项式2n
x
⎛
⎝
的展开式中，第5项是常数项，则n =__________；二项式系数最大的项的系
数是__________．（本题第一空3分，第二空2分） 【答案】6 160
【解析】二项式2n x
⎛ ⎝
展开式的通项为()3
2
1C 22C r
n r n r r n r r r n n T x x
---+==，因为第5项是常数项，所以3402
n -
⨯=，即6n =.当3r =时，二项式系数6C r
最大，故二项式系数最大的项的系数是63362C 160-=.
15．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且()
21n n n a a a n N *
++⋅=∈，则2019a 的值为__________．
【答案】2
【解析】因为(
)*
21n n n a a a n N
++⋅=∈，
由1
1a =，22a =，得32a =；由22a =，32a =，得41a =；由32a =，
41a =，得512a =
；由41a =，512a =，得612a =；由51
2a =，612a =，得71a =；由612
a =，71a =，得82a =L ,由此推理可得数列{}n a 是一个周期为6的周期数列，所以201932a a ==.
16．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点的的个数是__________． 【答案】11
【解析】由于()()11f x f x -=+，所以，函数()y f x =的周期为2，且函数()y f x =为偶函数，由
()0h x =，得出()()f x g x =，问题转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，作出函数()y f x =与函数()y g x =的图象如下图所示，
由图象可知，()01f x ≤≤
，当10x >时，()lg 1g x x =>，则函数()y f x =与函数()y g x =在()10,+∞上没有交点，结合图像可知，函数()y f x =与函数()y g x =图象共有11个交点. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量2
(cos ,2cos
1)2
C
m B =-r
，(,2)n c b a =-r
且0m n ⋅=u r r ．
（1）求角C 的大小；
（2）若ABC ∆的面积为6a b +=，求c ．
【解析】（1）①()cos ,cos m B C =r ，(),2n c b a =-r ，0m n ⋅=r r
， ①()cos 2cos 0c B b a C +-=，①()sin cos sin 2sin cos 0C B B A C +-=，
即sin 2sin cos A A C = ，又①sin 0A ≠，①1cos 2C =
，又①()0,C π∈，①3
C π=． （2）
①1sin 2
ABC S ab C ∆==①8ab =，又2222cos c a b ab C =+-，即()2
23a b ab c +-=，
①212c =，
故c =．
18．（12分）在①325256a a a b =+=，；①234323b a a b =+=，；①345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．
（2）记n
n n
a c
b =
，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
【解析】方案一：选条件①
（1）325211561a a a b a b d q d ====>Q ，＋，，，,11125256a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩或1256
512a d ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（舍去）
112
b q =⎧∴⎨=⎩,()1–1n n d αα∴=＋21n =-,11
12n n n b b q --==. （2）n n n a c b =
Q ,1
1211(21)()22
n n n n c n ---∴==-⨯, 2
2
1
1111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L
231
11111135(23)(21)222222n n
n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
L
211111112(21)22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
L 1
11122112(21)1212
n n
n -⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭
- 13(23)2n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭,1
16(23)2n n T n -⎛⎫
∴=-+⨯ ⎪
⎝⎭
.
方案二：选条件①
（1）2343112,3,,,1b a a b a b d q d =+===>Q ,12112
253a d a d a d =⎧∴⎨+=⎩,
112256a d a d d =⎧∴⎨+=⎩ , 解得112a d =⎧⎨=⎩或112
a d =-⎧⎨=-⎩（舍去）,112
b q =⎧∴⎨
=⎩,1(1) =n a a n d ∴+-=2n-1,11
12n n n b b q --== . （2）n n n a c b =
Q ,1
1211(21)()22
n n n n c n ---∴==-⨯ , 2
2
1
1111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
L
2
3
1
11111135(23)(21)222222n n
n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L
211111112(21)22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
L 1
11122112(21)1212
n n
n -⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭
-13(23)2n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，1
16(23)2n n T n -⎛⎫
∴=-+⨯ ⎪
⎝⎭
.
方案三：选条件①
3452119,8,,,1S a a b a b d q d ∴=+===>,1113278a d a d a d
+=⎧∴⎨+=⎩,o 解得112a d =⎧⎨=⎩或1218
38a d ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（舍去）.
112
b q =⎧⎨
=⎩.1(1)n a a n d ∴=+-21n =-,1
1n n b b q -=12n -=. （2）n n n a c b =Q ,1
1211(21)22n n n n c n ---⎛⎫∴==-⨯ ⎪⎝⎭
, 22
1
1111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
L
2
3
1
11111135(23)(21)222222n n
n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L
211111112(21)22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦L 1
11122112(21)1212
m n
n -⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣
⎦
=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭
-
13(23)2n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭,1
16(23)2n n T n -⎛⎫
∴=-+⨯ ⎪
⎝⎭
.
19．（12分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除点,A B 外的一个动点，DC 垂直于O e 所在的平面，垂足为C ，//DC EB ，且1DC EB ==，4AB =.
（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；
（2）当C 为半圆弧的中点时，求二面角D AE B --的余弦值.
【解析】（1）证明：因为AB 是半圆O 的直径，所BC AC ⊥.因为DC 垂直于O e 所在的平面，BC O ⊂e ， 所以DC BC ⊥，所以BC ⊥平面ACD .因为//DC EB ，且1DC EB ==，所以四边形BCDE 为平行四边形.所以//BC DE ，所以DE ⊥平面ACD ，因为DE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面ACD . （2
）由题意，AC BC ==，CA 、CB 、CD 两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系.
则(0,0,1)D
，(0,E
，A
，(0,B
，所以(AB =-u u u r ，(0,0,1)BE =u u u r
，
DE =u u u r
，1)DA =-u u u r
.设平面DAE 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r ，
则110,0,n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v
u v u u u v
即1110,0,
z ⎧
=⎪⎨-=⎪⎩令11x =
，则1(1n =u r . 设平面ABE 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r ，则220,0,n BE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v
u u v u u u v
即2220,
0,
z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 则2(1,1,0)n =u u r
，则
121212
cos ,6n n n n n n ⋅===u r u u r
u r u u r u r u u r . 因为二面角D AE B --是钝角，所以二面角D AE B --
的余弦值为6
-
.
20．（12分）某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x （单位：只）的统计情况如下表：
这300天内（假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡()71418a a ≤≤只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a 只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56a -元的价钱处理.
（1）若16a =，求养鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于需求量x （单位：只，*N x ∈）的函数解析式；
（2）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？
【解析】（1）当x a <时，()()()()2
704056401416y x a a x a x a a =-+--⋅-=++-， 当x a ≥时，30y a =，()()2*1416,N 30,a x a a x a y x a x a
⎧++-<=∈⎨≥⎩，当16a =时，()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩. （2）若出栏112只，则16a =，
由（1）知，当16a =时，()
*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩，记1Y 表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润. 1Y 可取420，450，480，
()14200.15P Y ==，()14500.2P Y ==，()14800.65P Y ==，
1Y 的分布列为：
()14200.154500.24800.65465E Y =⨯+⨯+⨯=，
若出栏119只，则17a =，记2Y 表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润.
当17a =时，()
*3117,17N 510,17x x y x x -<⎧=∈⎨≥⎩，
2Y 可取417，448，479，510，
()24170.15P Y ==，()24480.2P Y ==，()24790.25P Y ==，()25100.4P Y ==，
2Y 的分布列为：
()24170.154480.24790.255100.4475.9E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.
综上可知，()()1277E Y E Y <，则养鸡厂出栏119只时，利润最大.
21．（12分）如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交
于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.
（1）求抛物线C 的方程.
（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，
,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭Q ，l ∴的方程为2p y x =-.由2,22,
p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2
2304p x px -+=. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=，①12416x x p M p N ++===，4p =，
①抛物线C 的方程为28y x =.
（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ，
①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），
由()22,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()
22224840k x k x k -++=，()22222484464640k k k k ∆=+-⋅⋅=+>， 212248k x x k
++=，124x x =.①直线PM ，PN 关于x 轴对称， ①0PM PN k k +=，()112PM k x k x a -=-，()222PN k x k x a
-=-. ①()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k
+--+--=-+++=-
=⎡⎤⎣⎦， ①2a =-时，此时()2,0P -. ①当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可.
综上，存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称.
22．（12分）已知函数()2ln ()a f x ax x a R x
=--∈. （1）若()f x 是定义域上的增函数，求a 的取值范围；
（2）设35
a >，,m n 分别为()f x 的极大值和极小值，若S m n =-，求S 的取值范围. 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a ax x a f x a x x x
-+'=+-= ①()f x 在定义域内单调递增，①()0f x '≥，即220ax x a -+≥对0x >恒成立. 则221x a x ≥+恒成立. ①2max
21x a x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭，①2211x x ≤+，，①1a ≥. 所以，a 的取值范围是[
)1,+∞. （2）将S 表示为关于1x 的函数，由2440a ∆=->且35a >，得315
a <<， 设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<.
则()1m f x =，()2n f x =，①121=x x ，122x x a +=,①11121023x x a <+=<,①1113x <<, 1122122ln 2ln a a S m n ax x ax x x x ⎛⎫=-=----- ⎪⎝⎭
1111111112ln 2ln 22ln a a a ax x ax x ax x x x x ⎛⎫⎛⎫=----+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ①21120ax x a -+=, ①12121x a x =+代入得222111122111114ln 4ln 112x x S x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
, 令21x t =，则119t <<，得()11ln 12t g t t t -=-+，119
t <<，则()4S g t =, ()()()2
21021t g t t t --'=<+, ①()g t 而且1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭
上递减，从而()()119g g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,
即()40ln 35g t <<-, ①1604ln 35
S <<-.。